Квадратно-интегрируемая функция

В математике — функция, интегрируемая с квадратом , также называемая функцией, интегрируемой с квадратом или $L^{2}$ функция или функция, суммируемая с квадратом , - это действительная или комплексная измеримая функция , для которой интеграл от квадрата абсолютного значения конечен. Таким образом, квадратичная интегрируемость на действительной прямой $(-\infty ,+\infty )$ определяется следующим образом.

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} {\text{ square integrable}}\quad \iff \quad \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty$

Можно также говорить о квадратичной интегрируемости на ограниченных интервалах, таких как $[a,b]$ для $a\leq b$.

$f:[a,b]\to \mathbb {C} {\text{ square integrable on }}[a,b]\quad \iff \quad \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty$

Эквивалентное определение состоит в том, чтобы сказать, что квадрат самой функции (а не ее абсолютного значения) интегрируем по Лебегу . Чтобы это было правдой, интегралы от положительных и отрицательных частей действительной части должны быть конечными, как и от мнимой части.

Векторное пространство (классов эквивалентности) суммируемых с квадратом функций (относительно меры Лебега) образует $L^{p}$ пространство с $p=2.$ Среди $L^{p}$ В пространствах класс функций, интегрируемых с квадратом, уникален тем, что совместим со скалярным произведением , что позволяет определить такие понятия, как угол и ортогональность. Наряду с этим скалярным произведением интегрируемые с квадратом функции образуют гильбертово пространство , поскольку все $L^{p}$ помещения заполнены согласно соответствующим $p$-нормы .

Часто термин используется не для обозначения конкретной функции, а для классов эквивалентности функций, равных почти всюду .

Свойства

Интегрируемые с квадратом функции (в упомянутом смысле, в котором «функция» на самом деле означает класс эквивалентности функций, которые равны почти всюду) образуют пространство внутреннего продукта с внутренним продуктом , определяемым выражением

$$\langle f,g\rangle =\int _{A}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x$$

где

• $f$ и $g$ являются квадратично интегрируемыми функциями,
• ${\overline {f(x)}}$ представляет собой сопряжение комплексное $f(x),$
• $A$ - это множество, по которому происходит интегрирование - в первом определении (данном во введении выше), $A$ является $(-\infty ,+\infty )$, во втором, $A$ является $[a,b]$.

С $|a|^{2}=a\cdot {\overline {a}}$, квадратичная интегрируемость - это то же самое, что сказать

$$\langle f,f\rangle <\infty .\,$$

Можно показать, что функции, интегрируемые с квадратом, образуют полное метрическое пространство относительно метрики, индуцированной скалярным произведением, определенным выше.Полное метрическое пространство также называется пространством Коши , поскольку последовательности в таких метрических пространствах сходятся тогда и только тогда, когда они являются Коши .Пространство, полное относительно метрики, индуцированной нормой, является банаховым пространством .Следовательно, пространство суммируемых с квадратом функций является банаховым пространством при метрике, индуцированной нормой, которая, в свою очередь, индуцируется скалярным произведением.Поскольку у нас есть дополнительное свойство скалярного произведения, это именно гильбертово пространство , поскольку пространство полно относительно метрики, индуцированной скалярным произведением.

Это внутреннее пространство продукта обычно обозначается $\left(L_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}\right)$ и много раз сокращенно $L_{2}.$Обратите внимание, что $L_{2}$ обозначает набор функций, интегрируемых с квадратом, но этим обозначением не определяется выбор метрики, нормы или внутреннего продукта.Набор вместе с конкретным внутренним продуктом $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}$ укажите внутреннее пространство продукта.

Пространство функций, интегрируемых с квадратом, — это $L^{p}$ пространство, в котором $p=2.$

Примеры

Функция ${\tfrac {1}{x^{n}}},$ определено на $(0,1),$ находится в $L^{2}$ для $n<{\tfrac {1}{2}}$ но не для $n={\tfrac {1}{2}}.$ Функция ${\tfrac {1}{x}},$ определено на $[1,\infty ),$ является квадратично интегрируемым.

Ограниченные функции, определенные на $[0,1],$ квадратично интегрируемы. Эти функции также есть в $L^{p},$ за любую стоимость $p.$

Непримеры

Функция ${\tfrac {1}{x}},$ определено на $[0,1],$ где значение в $0$ является произвольным. Кроме того, этой функции нет в $L^{p}$ за любую стоимость $p$ в $[1,\infty ).$

См. также

• Внутреннее пространство продукта
• $L^{p}$ пространство - функциональные пространства, обобщающие конечномерные пространства с нормой p.