Пространство Морри – Кампанато

В математике пространства Морри-Кампанато (названные в честь Чарльза Б. Морри-младшего и Серджио Кампанато ) $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ являются банаховыми пространствами , которые расширяют понятие функций ограниченного среднего колебания , описывая ситуации, когда колебание функции в шаре пропорционально некоторой степени радиуса, отличной от размера. Они используются в теории эллиптических уравнений в частных производных , поскольку при определенных значениях $\lambda$, элементы пространства $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ являются гельдеровскими функциями в области $\Omega$.

Полунорма выражением пространств Морри определяется

${\bigl (}[u]_{\lambda ,p}{\bigr )}^{p}=\sup _{0<r<\operatorname {diam} (\Omega ),x_{0}\in \Omega }{\frac {1}{r^{\lambda }}}\int _{B_{r}(x_{0})\cap \Omega }|u(y)|^{p}dy.$

Когда $\lambda =0$, пространство Морри такое же, как и обычное $L^{p}$ космос. Когда $\lambda =n$, пространственная размерность, пространство Морри эквивалентно $L^{\infty }$, в силу теоремы Лебега о дифференцировании . Когда $\lambda >n$, пространство содержит только функцию 0.

Обратите внимание, что это норма для $p\geq 1$.

Полунорма пространства Кампанато определяется выражением

${\bigl (}[u]_{\lambda ,p}{\bigr )}^{p}=\sup _{0<r<\operatorname {diam} (\Omega ),x_{0}\in \Omega }{\frac {1}{r^{\lambda }}}\int _{B_{r}(x_{0})\cap \Omega }|u(y)-u_{r,x_{0}}|^{p}dy$

где

$u_{r,x_{0}}={\frac {1}{|B_{r}(x_{0})\cap \Omega |}}\int _{B_{r}(x_{0})\cap \Omega }u(y)dy.$

Известно, что пространства Морри с $0\leq \lambda <n$ эквивалентны пространствам Кампанато с тем же значением $\lambda$ когда $\Omega$ является достаточно регулярной областью, то есть когда существует константа A такая, что $|\Omega \cap B_{r}(x_{0})|>Ar^{n}$ для каждого $x_{0}\in \Omega$ и $r<\operatorname {diam} (\Omega )$.

Когда $n=\lambda$пространство Кампанато есть пространство функций ограниченного среднего колебания . Когда $n<\lambda \leq n+p$пространство Кампанато — это пространство непрерывных по Гельдеру функций $C^{\alpha }(\Omega )$ с $\alpha ={\frac {\lambda -n}{p}}$. Для $\lambda >n+p$, пространство содержит только постоянные функции.

Ссылки

• Кампанато, Серджио (1963), «Свойства гельдеровости некоторых классов функций», Ann. Нормальная школа Суп. Пиза (3) , 17 : 175–188.
• Джаквинта, Мариано (1983), Множественные интегралы в вариационном исчислении и нелинейных эллиптических системах , Анналы математических исследований, том. 105, Издательство Принстонского университета , ISBN  978-0-691-08330-8