Эллиптический оператор

Решение уравнения Лапласа, определенное на кольце . Оператор Лапласа — самый известный пример эллиптического оператора.

В теории производных уравнений в частных эллиптические операторы — это дифференциальные операторы , обобщающие оператор Лапласа . Они определяются условием, что коэффициенты при производных высшего порядка положительны, что подразумевает ключевое свойство, состоящее в том, что главный символ является обратимым, или, что то же самое, отсутствие реальных характеристических направлений.

Эллиптические операторы типичны для теории потенциала и часто встречаются в электростатике и механике сплошных сред . Эллиптическая регулярность означает, что их решения имеют тенденцию быть гладкими функциями (если коэффициенты в операторе гладкие). Стационарные решения гиперболических и параболических уравнений обычно решают эллиптические уравнения.

Определения

Позволять $L$ — линейный дифференциальный оператор порядка m в области $\Omega$ в Р ^н данный

$$Lu=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }u$$

где $\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$ обозначает мультииндекс и $\partial ^{\alpha }u=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{n}^{\alpha _{n}}u$ обозначает частную производную порядка $\alpha _{i}$ в $x_{i}$.

Затем $L$ называется эллиптическим , если для каждого x из $\Omega$ и каждое ненулевое $\xi$ в Р ^н ,

$$\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }\neq 0,$$

где $\xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}$.

Во многих приложениях это условие недостаточно строгое, и вместо него можно наложить условие равномерной эллиптичности для операторов порядка m = 2k :

$$(-1)^{k}\sum _{|\alpha |=2k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }>C|\xi |^{2k},$$

где C — положительная константа. Обратите внимание, что эллиптичность зависит только от членов высшего порядка.

Нелинейный оператор

$$L(u)=F\left(x,u,\left(\partial ^{\alpha }u\right)_{|\alpha |\leq m}\right)$$

является эллиптическим, если его линеаризация такова; т. е. разложение Тейлора первого порядка по u и его производным относительно любой точки является эллиптическим оператором.

Пример 1

Отрицательный лапласиан в R ^д данный

$$-\Delta u=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}^{2}u$$

— равномерно эллиптический оператор. Оператор Лапласа часто встречается в электростатике. Если ρ — плотность заряда в некоторой области Ω, потенциал Φ должен удовлетворять уравнению

$$-\Delta \Phi =4\pi \rho .$$

Пример 2

Дана матрица-функция A ( x ), которая симметрична и положительно определена для каждого x , имеющая компоненты a ^ij , оператор

$$Lu=-\partial _{i}\left(a^{ij}(x)\partial _{j}u\right)+b^{j}(x)\partial _{j}u+cu$$

является эллиптическим. Это наиболее общая форма дивергентного линейного эллиптического дифференциального оператора второго порядка. Оператор Лапласа получается, если A = I. взять Эти операторы встречаются также в электростатике в поляризованных средах.

Пример 3

Если p — неотрицательное число, p-лапласиан — это нелинейный эллиптический оператор, определяемый формулой

$$L(u)=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}\left(|\nabla u|^{p-2}\partial _{i}u\right).$$

Похожий нелинейный оператор встречается в механике ледников . Тензор напряжений Коши льда, согласно закону течения Глена , определяется выражением

$$\tau _{ij}=B\left(\sum _{k,l=1}^{3}\left(\partial _{l}u_{k}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{3}}}\cdot {\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}u_{i}+\partial _{i}u_{j}\right)$$

для некоторой B. константы Тогда скорость ледяного покрова в установившемся состоянии будет решать нелинейную эллиптическую систему.

$$\sum _{j=1}^{3}\partial _{j}\tau _{ij}+\rho g_{i}-\partial _{i}p=Q,$$

где ρ — плотность льда, g — вектор гравитационного ускорения, p — давление, а Q — фактор воздействия.

Теорема

Пусть L — эллиптический оператор порядка 2k с коэффициентами, имеющими 2k непрерывных производных. Задача Дирихле для L состоит в том, чтобы найти функцию u по заданной функции f и некоторым подходящим граничным значениям, такую, что Lu = f и такую, что u имеет соответствующие граничные значения и нормальные производные. Теория существования эллиптических операторов, использующая неравенство Гординга и лемму Лакса–Милграма , гарантирует только существование слабого решения u в пространстве Соболева H. ^к .

Эта ситуация в конечном итоге неудовлетворительна, поскольку у слабого решения u может не хватить производных, чтобы выражение Lu было корректно определено в классическом смысле.

Теорема об эллиптической регулярности гарантирует, что при условии, что f интегрируемо с квадратом, u фактически будет иметь 2k слабых производных, интегрируемых с квадратом. В частности, если f бесконечно часто дифференцируема, то и u тоже .

Любой дифференциальный оператор, обладающий этим свойством, называется гипоэллиптическим оператором ; таким образом, каждый эллиптический оператор гипоэллиптичен. Это свойство также означает, что каждое фундаментальное решение эллиптического оператора бесконечно дифференцируемо в любой окрестности, не содержащей 0.

В качестве приложения предположим, что функция $f$ удовлетворяет уравнениям Коши–Римана . Поскольку уравнения Коши-Римана образуют эллиптический оператор, отсюда следует, что $f$ гладкий.

Общее определение

Позволять $D$ быть (возможно, нелинейным) дифференциальным оператором между векторными расслоениями любого ранга. Возьмите его главный символ $\sigma _{\xi }(D)$ относительно одной формы $\xi$. (По сути, мы заменяем ковариантные производные высшего порядка $\nabla$ по векторным полям $\xi$.)

Мы говорим $D$ является слабо эллиптическим, если $\sigma _{\xi }(D)$ является линейным изоморфизмом для любого ненулевого $\xi$.

Мы говорим $D$ является (равномерно) сильно эллиптическим , если для некоторой постоянной $c>0$,

$$\left([\sigma _{\xi }(D)](v),v\right)\geq c\|v\|^{2}$$

для всех $\|\xi \|=1$ и все $v$. Важно отметить, что определение эллиптичности в предыдущей части статьи — сильная эллиптичность . Здесь $(\cdot ,\cdot )$ является внутренним продуктом. Обратите внимание, что $\xi$ являются ковекторными полями или одноформами, но $v$ являются элементами векторного расслоения, на котором $D$ действует.

Типичным примером (сильно) эллиптического оператора является лапласиан ( или его отрицательный оператор, в зависимости от соглашения). Нетрудно это увидеть $D$ Чтобы сильная эллиптичность была возможной, она должна быть ровного порядка. В противном случае просто рассмотрите возможность подключения обоих $\xi$ и его негатив. С другой стороны, слабо эллиптический оператор первого порядка, такой как оператор Дирака, может превратиться в сильно эллиптический оператор, такой как оператор Лапласа. Композиция слабо эллиптических операторов является слабо эллиптической.

Тем не менее, слабая эллиптичность достаточно сильна для альтернативы Фредгольма , оценок Шаудера и теоремы об индексе Атьи–Зингера . С другой стороны, нам нужна сильная эллиптичность для принципа максимума и для того, чтобы гарантировать, что собственные значения дискретны, а их единственная предельная точка — бесконечность.

См. также

• Гипоэллиптический оператор
• Эллиптическое уравнение в частных производных
• Гиперболическое уравнение в частных производных
• Параболическое уравнение в частных производных
• Принцип максимума Хопфа
• Эллиптический комплекс
• Ультрагиперболическое волновое уравнение
• Полуэллиптический оператор
• Лемма Вейля

Ссылки

• Эванс, LC (2010) [1998], Уравнения в частных производных , Аспирантура по математике , том. 19 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-4974-3 , МР   2597943
  Обзор:
  Раух, Дж. (2000). «Уравнения в частных производных Л. К. Эванса» (PDF) . Журнал Американского математического общества . 37 (3): 363–367. дои : 10.1090/s0273-0979-00-00868-5 .
• Гилбарг, Д.; Трудингер, Н.С. (1983) [1977], Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка , Основные учения математических наук, вып. 224 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-13025-3 , МР   0737190
• Шубин, М.А. (2001) [1994], «Эллиптический оператор» , Энциклопедия Математики , EMS Press

Внешние ссылки

• Линейные эллиптические уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.
• Нелинейные эллиптические уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.