Принцип максимума Хопфа

Принцип максимума Хопфа является принципом максимума в теории эллиптических уравнений в частных производных второго порядка и был описан как «классический и основной результат» этой теории. Обобщая принцип максимума для гармонических функций , который был уже известен Гауссу в 1839 году, Эберхард Хопф доказал в 1927 году, что если функция удовлетворяет частному дифференциальному неравенству второго порядка определенного вида в области R ^н и достигает максимума в области определения, то функция постоянна. Простая идея, лежащая в основе доказательства Хопфа, и метод сравнения, который он ввел для этой цели, привели к огромному количеству важных приложений и обобщений.

Математическая формулировка

Пусть u = u ( x ), x = ( x ₁ , ..., x _n ) будет C ² функция, удовлетворяющая дифференциальному неравенству

$Lu=\sum _{ij}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\geq 0$

в открытой области (связное открытое подмножество R ^н ) Ω, где симметричная матрица a _ij = a _ji ( x ) локально равномерно положительно определена в Ω, а коэффициенты a _ij , b _i локально ограничены . Если u принимает максимальное значение M в Ω, то u ≡ M .

Коэффициенты aij _{являются} , bi _. просто функциями Если известно, что они непрерывны, то достаточно потребовать поточечной положительной определенности a _ij на области.

Обычно полагают, что принцип максимума Хопфа применим только к линейным дифференциальным L. операторам В частности, такой точки зрения придерживаются Куранта и Гильберта «Методы математической физики» . Однако в последующих разделах своей оригинальной статьи Хопф рассмотрел более общую ситуацию, которая допускает использование определенных нелинейных операторов L и в некоторых случаях приводит к утверждениям о единственности в задаче Дирихле для оператора средней кривизны и уравнения Монжа – Ампера .

Граничное поведение

Если домен $\Omega$ имеет свойство внутренней сферы (например, если $\Omega$ имеет гладкую границу), можно сказать немного больше. Если в дополнение к вышеизложенным предположениям, $u\in C^{1}({\overline {\Omega }})$ и u принимает максимальное значение M в точке x ₀ в $\partial \Omega$, то для любого направления ν наружу в точке x ₀ выполняется ${\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x_{0})>0$ пока не $u\equiv M$.

Ссылки

• Хопф, Эберхард (2002), Моравец, Кэтлин С.; Серрин, Джеймс Б.; Синай, Яков Г. (ред.), Избранные работы Эберхарда Хопфа с комментариями , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  0-8218-2077-Х , МР   1985954 .
• Пуччи, Патриция; Серрин, Джеймс (2004), «Возвращение к сильному принципу максимума», Journal of Differential Equations , 196 (1): 1–66, Bibcode : 2004JDE...196....1P , doi : 10.1016/j.jde. 2003.05.001 , МР   2025185 .