Принцип максимума

В математических областях дифференциальных уравнений и геометрического анализа принцип максимума является одним из самых полезных и известных инструментов исследования. Решения дифференциального неравенства в области D удовлетворяют принципу максимума , если они достигают своего максимума на границе D .

Принцип максимума позволяет получать информацию о решениях дифференциальных уравнений без явного знания самих решений. В частности, принцип максимума является полезным инструментом численной аппроксимации решений обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных, а также определения границ погрешностей таких аппроксимаций. ^[1]

В простом двумерном случае рассмотрим функцию двух переменных $u (x, y)$ такую, что

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.

Слабый принцип максимума в этом случае говорит, что для любого открытого предкомпактного подмножества $M$ области определения $u$ максимум $u$ при замыкании $M$ достигается на границе $M$ . Сильный принцип максимума гласит, что, если $u$ не является постоянной функцией, максимум не может быть достигнут нигде на $M.$ самом

Подобные утверждения дают поразительную качественную картину решений данного дифференциального уравнения. Такую качественную картину можно распространить на многие виды дифференциальных уравнений. Во многих ситуациях такие принципы максимума также можно использовать для получения точных количественных выводов о решениях дифференциальных уравнений, например, для контроля размера их градиента . Не существует единого или наиболее общего принципа максимума, применимого ко всем ситуациям одновременно.

В области выпуклой оптимизации существует аналогичное утверждение, утверждающее, что максимум выпуклой функции на компакте выпуклом достигается на границе . ^[2]

Интуиция [ править ]

сильного максимума Частичная формулировка принципа

Здесь мы рассматриваем простейший случай, хотя те же рассуждения можно распространить и на более общие сценарии. Пусть $M$ — открытое подмножество евклидова пространства и пусть $u$ — $C 2$ функция на $M$ такая, что

\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}=0

для каждого $i$ и $j$ между 1 и $n$ где $a ij$ — функция на $M$ с $a ij = a ji$ .

Исправьте некоторый выбор $x$ в $M$ . Согласно спектральной теореме линейной алгебры, все собственные значения матрицы $[a ij (x)]$ вещественны, и существует ортонормированный базис $ℝ н$ состоящее из собственных векторов. Обозначим собственные значения через $λ i$ соответствующие собственные векторы через $vi n$ , для $i$ от 1 до $и$ . Тогда дифференциальное уравнение в точке $x$ можно перефразировать как

\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\left.{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\right|_{t=0}{\big (}u(x+tv_{i}){\big )}=0.

Сущность принципа максимума заключается в простом наблюдении: если каждое собственное значение положительно (что соответствует определенной формулировке «эллиптичности» дифференциального уравнения), то приведенное выше уравнение требует определенного балансирования вторых производных решения по направлению. В частности, если одна из вторых производных по направлению отрицательна, то другая должна быть положительной. В гипотетической точке, где $u$ максимально, все вторые производные по направлениям автоматически неположительны, и «балансировка», представленная приведенным выше уравнением, требует, чтобы все вторые производные по направлениям были тождественно равны нулю.

Можно утверждать, что это элементарное рассуждение представляет собой бесконечно малую формулировку сильного принципа максимума, который утверждает, при некоторых дополнительных предположениях (таких как непрерывность $a$ ), что $u$ должно быть постоянным, если существует точка $M$ , где $u$ максимизируется.

Обратите внимание, что приведенные выше рассуждения не изменятся, если рассматривать более общее уравнение в частных производных

\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0,

поскольку добавленный член автоматически равен нулю в любой гипотетической максимальной точке. На рассуждения также не повлияет, если принять во внимание более общее условие

\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0,

в котором можно даже отметить дополнительные явления наличия явного противоречия, если $существует строгое неравенство ( >,$ а не $\geq$ в этом условии в гипотетической точке максимума ). Это явление важно для формального доказательства классического слабого принципа максимума.

Неприменимость максимума принципа сильного

Однако приведенные выше рассуждения больше не применимы, если принять во внимание условие

\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\leq 0,

поскольку теперь условие «балансировки», оцененное в гипотетической точке максимума $u$ , говорит только о том, что средневзвешенное значение явно неположительных величин является неположительным. Это тривиально верно, и поэтому из этого нельзя сделать какой-либо нетривиальный вывод. Об этом свидетельствует множество конкретных примеров, таких как тот факт, что

{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\big (}{-x}^{2}-y^{2}{\big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}{\big (}{-x}^{2}-y^{2}{\big )}\leq 0,

и в любой открытой области, содержащей начало координат, функция $- x 2 - и 2$ конечно имеет максимум.

Классический слабый принцип максимума для эллиптического линейного УЧП

Основная идея [ править ]

Обозначим через $M$ открытое подмножество евклидова пространства. Если гладкая функция $u:M\to \mathbb {R}$ максимизируется в точке $p$ , то автоматически получается:

$(du)(p)=0$
$(\nabla ^{2}u)(p)\leq 0,$ как матричное неравенство.

Уравнение в частных производных можно рассматривать как наложение алгебраического соотношения между различными производными функции. Итак, если $u$ является решением уравнения в частных производных, то возможно, что приведенные выше условия на первую и вторую производные $u$ образуют противоречие с этим алгебраическим соотношением. В этом суть принципа максимума. Очевидно, что применимость этой идеи сильно зависит от конкретного рассматриваемого уравнения в частных производных.

Например, если $вы$ решаете дифференциальное уравнение

\Delta u=|du|^{2}+2,

тогда это явно невозможно $\Delta u\leq 0$ и $du=0$ в любой точке домена. Итак, следуя приведенному выше наблюдению, невозможно $принять$ максимальное значение. Если вместо этого $вы$ решили дифференциальное уравнение $\Delta u=|du|^{2}$ тогда не было бы такого противоречия, а приведенный до сих пор анализ не предполагает ничего интересного. Если $вы$ решили дифференциальное уравнение $\Delta u=|du|^{2}-2,$ тогда тот же анализ показал бы, что $u$ не может принять минимальное значение.

Возможность такого анализа не ограничивается даже уравнениями в частных производных. Например, если $u:M\to \mathbb {R}$ это такая функция, что

\Delta u-|du|^{4}=\int _{M}e^{u(x)}\,dx,

которое является своего рода «нелокальным» дифференциальным уравнением, то автоматическая строгая положительность правой части показывает, посредством того же анализа, что и выше, что $u$ не может достичь максимального значения.

Существует множество методов, позволяющих различными способами расширить применимость такого рода анализа. Например, если $u$ — гармоническая функция, то указанное выше противоречие непосредственно не возникает, поскольку существует точка $p$ , в которой $\Delta u(p)\leq 0$ не противоречит требованию $\Delta u=0$ повсюду. можно рассмотреть $Однако для произвольного действительного числа s$ функцию $u s$ , определенную формулой

u_{s}(x)=u(x)+se^{x_{1}}.

Это легко увидеть

\Delta u_{s}=se^{x_{1}}.

Согласно приведенному выше анализу, если $s>0$ тогда $мы не$ сможем достичь максимального значения. Можно было бы рассмотреть предел от $s$ до 0, чтобы заключить, что $u$ также не может достичь максимального значения. Однако поточечный предел последовательности функций без максимумов может иметь максимумы. Тем не менее, если $M$ имеет границу такую, что $M$ вместе с ее границей компактна, то, если предположить, что $u$ можно непрерывно продлить до границы, из этого немедленно следует, что и $u,$ и $u s$ достигают максимального значения на $M\cup \partial M.$ Поскольку мы показали, что $u s$ , как функция на $M$ , не имеет максимума, отсюда следует, что точка максимума $us s$ для любого $s$ находится на $\partial M.$ В силу секвенциальной компактности $\partial M,$ отсюда следует, что максимум $u$ достигается на $\partial M.$ Это слабый принцип максимума для гармонических функций. Это само по себе не исключает возможности того, что максимум $u$ также достигается где-то на $M$ . Таково содержание «сильного принципа максимума», которое требует дальнейшего анализа.

Использование специальной функции $e^{x_{1}}$ выше было совершенно несущественно. Все, что имело значение, — это иметь функцию, которая непрерывно продолжается до границы и чей лапласиан строго положителен. Поэтому мы могли бы использовать, например,

u_{s}(x)=u(x)+s|x|^{2}

с тем же эффектом.

Классический сильный принцип максимума для эллиптического линейного УЧП

доказательств изложение Краткое

Пусть $M$ — открытое подмножество евклидова пространства. Позволять $u:M\to \mathbb {R}$ — дважды дифференцируемая функция, достигающая своего максимального значения $C$ . Предположим, что

a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0.

Предположим, что можно найти (или доказать существование):

компактное подмножество $Ω$ в $M$ с непустой внутренностью такое, что $u (x) < C$ для всех $x$ внутри $Ω$ , и такое, что существует $x 0$ на границе $Ω$ с $u (x 0) = C$ .
непрерывная функция $h:\Omega \to \mathbb {R}$ дважды дифференцируемый внутри $Ω$ и с

a_{ij}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+b_{i}{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}\geq 0,

и такой, что

u + h \leq C

на границе

Ω

с

h (x 0) = 0

Тогда $L (u + h - C) \geq 0$ на $Ω$ с $u + h - C ⩽ 0$ на границе $Ω$ ; согласно слабому принципу максимума, $u + h - C ⩽ 0$ на $Ω$ . Это можно реорганизовать, чтобы сказать

-{\frac {u(x)-u(x_{0})}{|x-x_{0}|}}\geq {\frac {h(x)-h(x_{0})}{|x-x_{0}|}}

для всех $x$ в $Ω$ . можно сделать выбор $h$ так, чтобы правая часть имела явно положительный характер, то это приведет к противоречию с тем фактом, что $x0 Если$ является точкой максимума $u$ на $M$ , так что ее градиент должен обращаться в нуль.

Доказательство [ править ]

Вышеописанную «программу» можно осуществить. Выберите $Ω$ как сферическое кольцо; выбирается $его центр x c$ как точка, более близкая к замкнутому множеству $u -1 (C),$ чем к замкнутому множеству $\partial M$ , а внешний радиус $R$ выбирается как расстояние от этого центра до $u -1 (С)$ ; пусть $x 0$ будет точкой на этом последнем множестве, которая реализует расстояние. Внутренний радиус $ρ$ произволен. Определять

h(x)=\varepsilon {\Big (}e^{-\alpha |x-x_{\text{c}}|^{2}}-e^{-\alpha R^{2}}{\Big )}.

Теперь граница $Ω$ состоит из двух сфер; на внешней сфере $h = 0$ ; из-за выбора $R$ на этой сфере имеет место $u ⩽ C$ , и поэтому $u + h - C ⩽ 0$ на этой части границы выполняется $вместе с требованием h (x 0) = 0$ . На внутренней сфере $u < C$ . Ввиду непрерывности $u$ и компактности внутренней сферы можно выбрать $δ > 0$ такое, что $u + δ < C$ . Поскольку $h$ постоянна на этой внутренней сфере, можно выбрать $ε > 0$ так, чтобы $u + h ⩽ C$ на внутренней сфере и, следовательно, на всей границе $Ω$ .

Прямой расчет показывает

\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}=\varepsilon \alpha e^{-\alpha |x-x_{\text{c}}|^{2}}\left(4\alpha \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x){\big (}x^{i}-x_{\text{c}}^{i}{\big )}{\big (}x^{j}-x_{\text{c}}^{j}{\big )}-2\sum _{i=1}^{n}a_{ii}-2\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\big (}x^{i}-x_{\text{c}}^{i}{\big )}\right).

Существуют различные условия, при которых правая часть может быть гарантированно неотрицательной; см. формулировку теоремы ниже.

Наконец, обратите внимание, что производная $h$ по направлению в точке $x 0$ вдоль направленной внутрь радиальной линии кольца строго положительна. Как описано в приведенном выше резюме, это гарантирует, что производная $u$ по направлению в точке $x 0$ не равна нулю, что противоречит тому, что $x 0$ является максимальной точкой $u$ на открытом множестве $M$ .

Формулировка теоремы [ править ]

Ниже приводится формулировка теоремы в книгах Морри и Смоллера, следующая за оригинальным утверждением Хопфа (1927):

Пусть $M$ — открытое подмножество евклидова пространства $ℝ н$ . Для каждого $i$ и $j$ между 1 и $n$ пусть $a ij$ и $b i$ — непрерывные функции на $M$ с $a ij = a ji$ . что для всех $x$ в $M$ симметричная матрица $[aij Предположим ,]$ положительно определена. Если $u$ — непостоянная $C 2$ функция на $M$ такая, что
$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0$
на $M$ , то $u$ не достигает максимального значения $M.$ на

Суть предположения о непрерывности состоит в том, что непрерывные функции ограничены на компактах, причем соответствующим компактом здесь является сферическое кольцо, фигурирующее в доказательстве. Кроме того, по тому же принципу существует число $λ$ такое, что для всех $x$ в кольце матрица $[a ij (x)]$ имеет все собственные значения, большие или равные $λ$ . Тогда $α$ , как следует из доказательства, принимается большим по сравнению с этими границами. В книге Эванса есть немного более слабая формулировка, в которой предполагается наличие положительного числа $λ,$ которое является нижней границей собственных значений $[a ij]$ для всех $x$ в $M$ .

Эти предположения о непрерывности явно не являются наиболее общими для того, чтобы доказательство работало. Например, ниже приводится формулировка теоремы Гилбарга и Трудингера, следующая за тем же доказательством:

Пусть $M$ — открытое подмножество евклидова пространства $ℝ н$ . Для каждого $i$ и $j$ между 1 и $n$ пусть $a ij$ и $b i$ являются функциями на $M$ с $a ij = a ji$ . Предположим, что для всех $x$ в $M$ симметричная матрица $[a ij]$ положительно определена, и пусть $λ(x)$ обозначает ее наименьшее собственное значение. Предположим, что $\textstyle {\frac {a_{ii}}{\lambda }}$ и $\textstyle {\frac {|b_{i}|}{\lambda }}$ являются ограниченными функциями на $M$ для каждого $i$ от 1 до $n$ . Если $u$ — непостоянная $C 2$ функция на $M$ такая, что
$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0$
на $M$ , то $u$ не достигает максимального значения $M.$ на

Нельзя наивно распространить эти утверждения на общее линейное эллиптическое уравнение второго порядка, как уже было видно в одномерном случае. Например, обыкновенное дифференциальное уравнение $y ″ + 2 y = 0$ имеет синусоидальные решения, которые заведомо имеют внутренние максимумы. Это распространяется на случай более высокой размерности, когда часто встречаются решения уравнений «собственных функций» $Δ u + cu = 0,$ которые имеют внутренние максимумы. Знак c имеет значение, как это также видно в одномерном случае; например, решения задачи $y ″ - 2 y = 0$ являются экспонентами, и характер максимумов таких функций совершенно иной, чем у синусоидальных функций.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Проттер, Мюррей Х.; Вайнбергер, Ганс Феликс (1984). Принципы максимума в дифференциальных уравнениях . Нью-Йорк Берлин Гейдельберг [и др.]: Springer. ISBN 978-3-540-96068-3 .
^ Глава 32 Рокафеллара (1970).

Ссылки [ править ]

Научные статьи [ править ]

Калаби, Э. Расширение принципа максимума Э. Хопфа с применением к римановой геометрии. Герцог Мат. Дж. 25 (1958), 45–56.
Ченг, Ю.Ю.; Яу, С.Т. Дифференциальные уравнения на римановых многообразиях и их геометрические приложения. Комм. Чистое приложение. Математика. 28 (1975), вып. 3, 333–354.
Гидас, Б.; Ни, Вэй Мин; Ниренберг, Л. Симметрия и связанные с ней свойства через принцип максимума. Комм. Математика. Физ. 68 (1979), вып. 3, 209–243.
Гидас, Б.; Ни, Вэй Мин; Ниренберг, Л. Симметрия положительных решений нелинейных эллиптических уравнений в $R н$ . Математический анализ и приложения, Часть А, стр. 369–402, Адв. по математике. Доп. Stud., 7a, Academic Press, Нью-Йорк-Лондон, 1981.
Гамильтон, Ричард С. Четырехмногообразия с оператором положительной кривизны. Дж. Дифференциальная геометрия. 24 (1986), вып. 2, 153–179.
Э. Хопф. Элементарные замечания. О решениях уравнений в частных производных второго порядка эллиптического типа. Ситбер. Пруссия. Академическая наука Берлин 19 (1927), 147–152.
Хопф, Эберхард. Замечание о линейных эллиптических дифференциальных уравнениях второго порядка. Учеб. амер. Математика. Соц. 3 (1952), 791–793.
Ниренберг, Луис. Сильный принцип максимума для параболических уравнений. Комм. Чистое приложение. Математика. 6 (1953), 167–177.
Омори, Хидеки. Изометрические погружения римановых многообразий. Дж. Математика. Соц. Япония. 19 (1967), 205–214.
Яу, Шинг Тунг. Гармонические функции на полных римановых многообразиях. Комм. Чистое приложение. Математика. 28 (1975), 201–228.
Крейберг, HJA О максимальном принципе оптимального управления в экономических процессах, 1969 (Тронхейм, NTH, Институт экономической экономики https://www.worldcat.org/title/on-the-maximum-principle-of-optimal-control- in- Economic-processes/oclc/23714026 )

Учебники [ править ]

Каффарелли, Луис А .; Ксавье Кабре (1995). Полностью нелинейные эллиптические уравнения . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 31–41. ISBN 0-8218-0437-5 .
Эванс, Лоуренс К. Уравнения в частных производных. Второе издание. Аспирантура по математике, 19. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2010. xxii+749 стр. ISBN 978-0-8218-4974-3
Фридман, Авнер. Уравнения в частных производных параболического типа. Prentice-Hall, Inc., Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, 1964 xiv+347 стр.
Гилбарг, Дэвид; Трудингер, Нил С. Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка. Перепечатка издания 1998 года. Классика по математике. Springer-Verlag, Берлин, 2001. xiv+517 стр. ISBN 3-540-41160-7
Ладыженская, ОА ; Солонников В.А.; Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. Перевод с русского С. Смита. Переводы математических монографий, Vol. 23 Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1968 xi+648 стр.
Ладыженская Ольга Александровна ; Уральцева, Нина Н. Линейные и квазилинейные эллиптические уравнения. Перевод с русского выполнен компанией Scripta Technica, Inc. Редактор перевода: Леон Эренпрейс. Academic Press, Нью-Йорк-Лондон, 1968 xviii+495 стр.
Либерман, Гэри М. Параболические дифференциальные уравнения второго порядка. World Scientific Publishing Co., Inc., Ривер Эдж, Нью-Джерси, 1996. xii+439 стр. ISBN 981-02-2883-Х
Морри, Чарльз Б. мл. Множественные интегралы в вариационном исчислении. Перепечатка издания 1966 года. Классика по математике. Springer-Verlag, Берлин, 2008. x+506 стр. ISBN 978-3-540-69915-6
Проттер, Мюррей Х.; Вайнбергер, Ханс Ф. Принципы максимума в дифференциальных уравнениях. Исправленная перепечатка оригинала 1967 года. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1984. x+261 стр. ISBN 0-387-96068-6
Рокафеллар, RT (1970). Выпуклый анализ . Принстон: Издательство Принстонского университета.
Смоллер, Джоэл. Ударные волны и уравнения реакции-диффузии. Второе издание. Фундаментальные принципы математических наук, 258. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1994. xxiv+632 стр. ISBN 0-387-94259-9

[1] Проттер, Мюррей Х.; Вайнбергер, Ганс Феликс (1984). Принципы максимума в дифференциальных уравнениях . Нью-Йорк Берлин Гейдельберг [и др.]: Springer. ISBN 978-3-540-96068-3 .

[2] Глава 32 Рокафеллара (1970).

[1]

[2]