Спектральная теорема

В математике , особенно в линейной алгебре и функциональном анализе , спектральная теорема — это результат того, когда линейный оператор или матрица может быть диагонализован (то есть представлен как диагональная матрица в некотором базисе). Это чрезвычайно полезно, поскольку вычисления с использованием диагонализуемой матрицы часто можно свести к гораздо более простым вычислениям с использованием соответствующей диагональной матрицы. Концепция диагонализации относительно проста для операторов в конечномерных векторных пространствах, но требует некоторой модификации для операторов в бесконечномерных пространствах. В общем, спектральная теорема определяет класс линейных операторов , которые можно смоделировать операторами умножения , которые настолько просты, насколько можно надеяться найти. Говоря более абстрактным языком, спектральная теорема — это утверждение о коммутативных C*-алгебрах . См. также спектральную теорию для исторической перспективы.

Примерами операторов, к которым применима спектральная теорема, являются самосопряженные операторы или, в более общем смысле, нормальные операторы в гильбертовых пространствах .

Спектральная теорема также обеспечивает каноническое разложение, называемое спектральным разложением основного векторного пространства, на котором действует оператор.

Огюстен-Луи Коши доказал спектральную теорему для симметричных матриц , т. е. что каждая вещественная симметричная матрица диагонализуема. Кроме того, Коши был первым, кто систематически подходил к детерминантам . ^[1]^[2] Спектральная теорема, обобщенная Джоном фон Нейманом, сегодня является, пожалуй, самым важным результатом теории операторов .

В этой статье основное внимание уделяется простейшей спектральной теореме для самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве. Однако, как отмечалось выше, спектральная теорема справедлива и для нормальных операторов в гильбертовом пространстве.

Конечномерный случай [ править ]

Эрмитова карта матрица эрмитова и

Начнем с рассмотрения эрмитовой матрицы на $\mathbb {C} ^{n}$ (но следующее обсуждение можно адаптировать к более ограничительному случаю симметричных матриц на $\mathbb {R} ^{n}$ ). Мы рассматриваем эрмитово отображение $A$ на конечномерном комплексном пространстве скалярного произведения $V,$ наделенном положительно определенным полуторалинейным скалярным произведением. $\ \langle \cdot ,\cdot \rangle ~.$ Эрмитово условие на $\ A\$ означает, что для всех $x, y \in V$ ,

\ \langle \ Ax,y\ \rangle =\langle \ x,Ay\ \rangle ~.

Эквивалентное условие состоит в том, что $A * = А$ , где $А *$ является эрмитовым сопряжением $A$ . В случае, когда $A$ отождествляется с эрмитовой матрицей, матрица $A *$ равно его сопряженному транспонированию . (Если $A$ — действительная матрица , то это эквивалентно $A Т = A$ , то есть $A$ — симметричная матрица .)

Из этого условия следует, что все собственные значения эрмитова отображения вещественны: чтобы убедиться в этом, достаточно применить его к случаю, когда $x = y$ является собственным вектором. (Напомним, что собственный вектор линейного отображения $A$ — это ненулевой вектор $v$ такой, что $A v = λv$ для некоторого скаляра $λ$ . Значение $λ$ является соответствующим собственным значением . Более того, собственные значения являются корнями характеристического многочлена .)

Теорема . Если $A$ эрмитово на $V$ то существует ортонормированный базис V $,$ состоящий из собственных векторов $A.$ , Каждое собственное значение $A$ действительно.

Мы приводим набросок доказательства для случая, когда основным полем скаляров являются комплексные числа .

По фундаментальной теореме алгебры , примененной к характеристическому многочлену A $который по определению должен быть$ , существует по крайней мере одно комплексное собственное значение $λ 1$ и соответствующий собственный вектор $v 1$ , отличен от нуля. Тогда с тех пор

\ \lambda _{1}\ \langle \ v_{1},v_{1}\ \rangle =\langle \ A(v_{1}),v_{1}\ \rangle =\langle \ v_{1},A(v_{1})\ \rangle ={\bar {\lambda }}_{1}\ \langle \ v_{1},v_{1}\ \rangle \ ,

мы находим, что

λ 1

веществен. Теперь рассмотрим пространство

\ {\mathcal {K}}^{n-1}={\text{span}}\left(\ v_{1}\ \right)^{\perp }\ ,

ортогональное дополнение к

v 1

. По Эрмитичности,

\ {\mathcal {K}}^{n-1}\

является подпространством A

.

инвариантным Чтобы убедиться в этом, рассмотрим любой

\ k\in {\mathcal {K}}^{n-1}

так что

\ \langle \ k,v_{1}\ \rangle =0\

по определению

{\mathcal {K}}^{n-1}~.

Чтобы обеспечить инвариантность, нам нужно проверить,

\ A(k)\in {\mathcal {K}}^{n-1}~.

Это правда, потому что

\ \langle \ A(k),v_{1}\ \rangle =\langle \ k,A(v_{1})\ \rangle =\langle \ k,\lambda _{1}\ v_{1}\ \rangle =0~.

Применяя тот же аргумент к

\ {\mathcal {K}}^{n-1}\

показывает, что

A

имеет хотя бы одно действительное собственное значение.

\lambda _{2}

и соответствующий собственный вектор

\ v_{2}\in {\mathcal {K}}^{n-1}\perp v_{1}~.

Это можно использовать для построения другого инвариантного подпространства.

\ {\mathcal {K}}^{n-2}={\text{span}}\left(\ \{v_{1},v_{2}\}\ \right)^{\perp }~.

Конечная индукция завершает доказательство.

Матричное представление $A$ в базисе собственных векторов диагонально, и по построению доказательство дает базис взаимно ортогональных собственных векторов; выбрав их в качестве единичных векторов, можно получить ортонормированный базис собственных векторов. $A$ можно записать как линейную комбинацию попарно ортогональных проекторов, называемую ее спектральным разложением . Позволять

\ V_{\lambda }=\{\ v\in V\ :\ A\ v=\lambda \ v\ \}\

быть собственным пространством, соответствующим собственному значению

\ \lambda ~.

Обратите внимание, что определение не зависит от выбора конкретных собственных векторов. В общем случае

V

— ортогональная прямая сумма пространств

\ V_{\lambda }\

где

\ \lambda \

колеблется в спектра пределах

\ A~.

Когда разлагаемая матрица является эрмитовой, спектральное разложение является частным случаем разложения Шура (см. доказательство в случае нормальных матриц ниже).

сингулярным по Спектральное разложение и разложение значениям

Спектральное разложение является частным случаем разложения по сингулярным значениям , которое утверждает, что любая матрица $\ A\in \mathbb {C} ^{m\times n}\$ может быть выражено как $\ A=U\ \Sigma \ V^{*}\ ,$ где $\ U\in \mathbb {C} ^{m\times m}\$ и $\ V\in \mathbb {C} ^{n\times n}\$ являются унитарными матрицами и $\ \Sigma \in \mathbb {R} ^{m\times n}\$ является диагональной матрицей. Диагональные записи $\ \Sigma \$ однозначно определяются $\ A\$ и известны как значения сингулярные $\ A~.$ Если $\ A\$ является эрмитовым, то $\ A^{*}=A\$ и $\ V\ \Sigma \ U^{*}=U\ \Sigma \ V^{*}\$ что подразумевает $\ U=V~.$

Нормальные матрицы [ править ]

Спектральная теорема распространяется на более общий класс матриц. Пусть $A$ — оператор в конечномерном пространстве внутреннего произведения. $А$ называется нормальным , если $А * А = АА *$ .

Можно показать, что $A$ является нормальным тогда и только тогда, когда оно унитарно диагонализируемо с помощью разложения Шура . То есть любую матрицу можно записать как $A = UTU *$ , где $U$ унитарно, $T$ верхнетреугольное а . Если $A$ нормальный, то видно, что $TT * = Т * Т.$ Следовательно, $T$ должно быть диагональным, поскольку нормальная верхняя треугольная матрица диагональна (см. нормальную матрицу ). Обратное очевидно.

Другими словами, $A$ является нормальной тогда и только тогда, когда существует унитарная матрица $U$ такая, что

\ A=U\ D\ U^{*}\ ,

где

D

— диагональная матрица . Тогда элементы диагонали

D

являются собственными A

значениями

. Векторы-столбцы

U

являются собственными векторами

A

и ортонормированы. В отличие от эрмитова случая, элементы

D

не обязательно должны быть действительными.

Компактные самосопряженные операторы [ править ]

В более общей ситуации гильбертовых пространств, которые могут иметь бесконечную размерность, формулировка спектральной теоремы для компактных самосопряженных операторов практически такая же, как и в конечномерном случае.

Теорема . Предположим $что A$ — компактный самосопряженный оператор в (вещественном или комплексном) гильбертовом пространстве $V.$ , Тогда существует ортонормированный базис V $,$ состоящий из собственных векторов $A$ . Каждое собственное значение действительно.

Что касается эрмитовых матриц, то ключевым моментом является доказательство существования хотя бы одного ненулевого собственного вектора. Нельзя полагаться на определители, чтобы показать существование собственных значений, но можно использовать аргумент максимизации, аналогичный вариационной характеристике собственных значений.

Если снять предположение о компактности, то неверно , что каждый самосопряженный оператор имеет собственные векторы. Например, оператор умножения $M_{x}$ на $L^{2}([0,1])$ который занимает каждый $\psi (x)\in L^{2}([0,1])$ к $x\psi (x)$ ограничено и самосопряжено, но не имеет собственных векторов. Однако его спектр, определенный соответствующим образом, по-прежнему равен $[0,1]$ см. спектр ограниченного оператора .

Ограниченные самосопряженные операторы [ править ]

собственных векторов Возможное отсутствие

Следующее обобщение, которое мы рассматриваем, — это обобщение ограниченных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Такие операторы могут не иметь собственных векторов: например, пусть $A$ — оператор умножения на $t$ на $L^{2}([0,1])$ , то есть, ^[3]

[A\varphi ](t)=t\varphi (t).

Этот оператор не имеет собственных векторов . $L^{2}([0,1])$ , хотя у него есть собственные векторы в большем пространстве. А именно распределение $\varphi (t)=\delta (t-t_{0})$ , где $\delta$ — дельта-функция Дирака , — собственный вектор, если его интерпретировать в соответствующем смысле. Однако дельта-функция Дирака не является функцией в классическом смысле и не лежит в гильбертовом пространстве $L. 2 [0, 1]$ или любое другое банахово пространство . Таким образом, дельта-функции являются «обобщенными собственными векторами» $A$ но не собственные векторы в обычном смысле.

и проекционные меры Спектральные подпространства

В отсутствие (истинных) собственных векторов можно искать «спектральное подпространство», состоящее из почти собственного вектора , т. е. замкнутого подпространства. $V_{E}$ из $H$ связанный с множеством Бореля $E\subset \sigma (A)$ в спектре $A$ . Это подпространство можно рассматривать как замкнутую область обобщенных собственных векторов для $A$ с собственными значениями в $E$ . ^[4] В приведенном выше примере, где $[A\varphi ](t)=t\varphi (t),\;$ мы могли бы рассмотреть подпространство функций, поддерживаемых на небольшом интервале $[a,a+\varepsilon ]$ внутри $[0,1]$ . Это пространство инвариантно относительно $A$ и для любого $\varphi$ в этом подпространстве, $A\varphi$ очень близко к $a\varphi$ . Каждое подпространство, в свою очередь, кодируется соответствующим оператором проецирования, а совокупность всех подпространств затем представляется мерой со значением проекции .

Одна из формулировок спектральной теоремы выражает оператор $A$ как интеграл координатной функции по спектру оператора. $\sigma (A)$ относительно проекционной меры. ^[5]

A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,d\pi (\lambda ).

Когда рассматриваемый самосопряженный оператор компактен , эта версия спектральной теоремы сводится к чему-то похожему на приведенную выше конечномерную спектральную теорему, за исключением того, что оператор выражается как конечная или счетно бесконечная линейная комбинация проекций, то есть мера состоит только из атомов.

Версия оператора умножения [ править ]

Альтернативная формулировка спектральной теоремы гласит, что каждый ограниченный самосопряженный оператор унитарно эквивалентен оператору умножения. Значение этого результата состоит в том, что операторы умножения во многих отношениях легко понять.

Теорема ^[6]— Пусть $A$ — ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве $H$ . Тогда существует пространство с мерой $(X, Σ, µ)$ и вещественнозначная существенно ограниченная измеримая функция $f$ на $X$ и унитарный оператор $U : H \to L 2 (X, µ)$ такой, что

U^{*}TU=A,

где

T

— оператор умножения :

[T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x),

и

\|T\|=\|f\|_{\infty }

.

Спектральная теорема положила начало обширной области исследований функционального анализа, называемой теорией операторов ; см. также спектральную меру .

Существует также аналогичная спектральная теорема для ограниченных нормальных операторов в гильбертовых пространствах. Единственная разница в выводе состоит в том, что теперь $f$ может быть комплексным.

Прямые интегралы [ править ]

Существует также формулировка спектральной теоремы в терминах прямых интегралов . Она похожа на формулировку оператора умножения, но более канонична.

Позволять $A$ — ограниченный самосопряженный оператор и пусть $\sigma (A)$ быть спектром $A$ . Формулировка спектральной теоремы в виде прямого интеграла связывает две величины с $A$ . Во-первых, мера $\mu$ на $\sigma (A)$ и, во-вторых, семейство гильбертовых пространств $\{H_{\lambda }\},\,\,\lambda \in \sigma (A).$ Затем мы формируем прямое интегральное гильбертово пространство

\int _{\mathbf {R} }^{\oplus }H_{\lambda }\,d\mu (\lambda ).

Элементами этого пространства являются функции (или «разделы»).

s(\lambda ),\,\,\lambda \in \sigma (A),

такой, что

s(\lambda )\in H_{\lambda }

для всех

\lambda

. Прямо-интегральная версия спектральной теоремы может быть выражена следующим образом: ^[7]

Теорема — Если $A$ — ограниченный самосопряженный оператор, то $A$ унитарно эквивалентно «умножению на $\lambda$ "оператор на

\int _{\mathbf {R} }^{\oplus }H_{\lambda }\,d\mu (\lambda )

для некоторой меры

\mu

и немного семьи

\{H_{\lambda }\}

гильбертовых пространств. Мера

\mu

однозначно определяется

A

с точностью до теоретико-мерной эквивалентности; то есть любые две меры, связанные с одним и тем же

A

имеют одинаковые множества меры нуль. Размерности гильбертовых пространств

H_{\lambda }

однозначно определяются

A

до набора

\mu

-измерить ноль.

Пространства $H_{\lambda }$ можно рассматривать как нечто вроде «собственных пространств» для $A$ . Однако обратите внимание, что если только одноэлементное множество $\lambda$ имеет положительную меру, пространство $H_{\lambda }$ на самом деле не является подпространством прямого интеграла. Таким образом $H_{\lambda }$ следует рассматривать как «обобщенное собственное пространство», то есть элементы $H_{\lambda }$ являются «собственными векторами», которые на самом деле не принадлежат гильбертову пространству.

Хотя и оператор умножения, и формулировка спектральной теоремы с прямым интегралом выражают самосопряженный оператор как унитарно эквивалентный оператору умножения, подход прямого интеграла более каноничен. Во-первых, множество, по которому имеет место прямой интеграл (спектр оператора), является каноническим. Во-вторых, функция, на которую мы умножаем, канонична в подходе прямого интеграла: просто функция $\lambda \mapsto \lambda$ .

Циклические векторы простой спектр и

Вектор $\varphi$ называется циклическим вектором для $A$ если векторы $\varphi ,A\varphi ,A^{2}\varphi ,\ldots$ охватывают плотное подпространство гильбертова пространства. Предполагать $A$ — ограниченный самосопряженный оператор, для которого существует циклический вектор. В этом случае нет различия между формулировками спектральной теоремы, сформулированными в виде прямого интеграла и оператора умножения. Действительно, в этом случае существует мера $\mu$ на спектре $\sigma (A)$ из $A$ такой, что $A$ унитарно эквивалентно «умножению на $\lambda$ "оператор на $L^{2}(\sigma (A),\mu )$ . ^[8] Этот результат представляет $A$ одновременно как оператор умножения и как прямой интеграл, поскольку $L^{2}(\sigma (A),\mu )$ это просто прямой интеграл, в котором каждое гильбертово пространство $H_{\lambda }$ просто $\mathbb {C}$ .

Не каждый ограниченный самосопряженный оператор допускает циклический вектор; действительно, в силу единственности разложения в прямой интеграл это может произойти только тогда, когда все $H_{\lambda }$ имеет размерность один. Когда это происходит, мы говорим, что $A$ имеет «простой спектр» в смысле теории спектральной кратности . То есть ограниченный самосопряженный оператор, допускающий циклический вектор, следует рассматривать как бесконечномерное обобщение самосопряженной матрицы с различными собственными значениями (т. е. каждое собственное значение имеет кратность единица).

Хотя не каждый $A$ допускает циклический вектор, легко видеть, что мы можем разложить гильбертово пространство как прямую сумму инвариантных подпространств, на которых $A$ имеет циклический вектор. Это наблюдение является ключом к доказательству операторной формы умножения и прямого интеграла спектральной теоремы.

Функциональное исчисление [ править ]

Одним из важных применений спектральной теоремы (в любой форме) является идея определения функционального исчисления . То есть, учитывая функцию $f$ определяется по спектру $A$ , мы хотим определить оператор $f(A)$ . Если $f$ это просто положительная сила, $f(x)=x^{n}$ , затем $f(A)$ это просто $n$ -я степень $A$ , $A^{n}$ . Интересны случаи, когда $f$ является неполиномиальной функцией, такой как квадратный корень или экспонента. Любая из версий спектральной теоремы обеспечивает такое функциональное исчисление. ^[9] Например, в прямоинтегральном варианте $f(A)$ действует как «умножение на $f$ " оператор в прямом интеграле:

[f(A)s](\lambda )=f(\lambda )s(\lambda ).

То есть каждое пространство

H_{\lambda }

в прямом интеграле является (обобщенным) собственным пространством для

f(A)

с собственным значением

f(\lambda )

.

Неограниченные самосопряженные операторы [ править ]

Многие важные линейные операторы, встречающиеся в анализе , например, дифференциальные операторы , не ограничены . также спектральная теорема для самосопряженных операторов В этих случаях применима . Например, каждый дифференциальный оператор с постоянным коэффициентом унитарно эквивалентен оператору умножения. Действительно, унитарным оператором, реализующим эту эквивалентность, является преобразование Фурье ; оператор умножения является разновидностью множителя Фурье .

В общем, спектральная теорема для самосопряженных операторов может принимать несколько эквивалентных форм. ^[10]Примечательно, что все формулировки, приведенные в предыдущем разделе для ограниченных самосопряженных операторов — версия с проекционнозначной мерой, версия с оператором умножения и версия с прямым интегралом — продолжают справедливы для неограниченных самосопряженных операторов с малыми технические модификации для решения проблем с доменом. В частности, единственная причина, по которой оператор умножения $A$ на $L^{2}([0,1])$ ограничено, связано с выбором области определения $[0,1]$ . Тот же оператор, например, $L^{2}(\mathbb {R} )$ было бы неограниченным.

Понятие «обобщенных собственных векторов» естественным образом распространяется на неограниченные самосопряженные операторы, поскольку они характеризуются как ненормируемые собственные векторы. Однако, в отличие от случая почти собственных векторов , собственные значения могут быть действительными или комплексными и, даже если они действительны, не обязательно принадлежат спектру. Однако для самосопряженных операторов всегда существует вещественное подмножество «обобщенных собственных значений», такое, что соответствующий набор собственных векторов является полным . ^[11]

См. также [ править ]

Теорема Хана-Хеллингера - линейный оператор, равный собственным сопряженным
Спектральная теория компактных операторов
Спектральная теория нормальных C*-алгебр
Борелевское функциональное исчисление
Спектральная теория
Разложение матрицы
Каноническая форма
Жорданово разложение , частным случаем которого является спектральное разложение.
Разложение по сингулярным значениям — обобщение спектральной теоремы на произвольные матрицы.
Собственное разложение матрицы
Теорема Винера – Хинчина

Примечания [ править ]

^ Хокинс, Томас (1975). «Коши и спектральная теория матриц» . История Математики . 2 : 1–29. дои : 10.1016/0315-0860(75)90032-4 .
^ Краткая история теории операторов Эванса М. Харрелла II
^ Зал 2013 г., раздел 6.1.
^ Холл, 2013 г. Теорема 7.2.1
^ Холл, 2013 г. Теорема 7.12.
^ Холл, 2013. Теорема 7.20.
^ Холл, 2013 г., Теорема 7.19.
^ Холл 2013. Лемма 8.11.
^ Например, Холл, 2013 г., определение 7.13.
^ См. раздел 10.1 Hall 2013.
^ из Мадрида Модино, 2001 г. , стр. 95–97.

Ссылки [ править ]

Шелдон Экслер , Правильно сделанная линейная алгебра , Springer Verlag, 1997
Холл, Британская Колумбия (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H , ISBN 978-1461471158
Пол Халмос , «Что говорит спектральная теорема?» , American Mathematical Monthly , том 70, номер 3 (1963), страницы 241–247 Другая ссылка
де ла Мадрид Модино, Р. (2001). Квантовая механика на языке оснащенного гильбертова пространства (кандидатская диссертация). Университет Вальядолида.
М. Рид и Б. Саймон , Методы математической физики , тома I–IV, Academic Press, 1972.
Г. Тешль , Математические методы в квантовой механике с приложениями к операторам Шрёдингера , https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ , Американское математическое общество, 2009.
Вальтер Моретти (2017). Спектральная теория и квантовая механика; Математические основы квантовых теорий, симметрии и введение в алгебраические формулировки, 2-е издание . Спрингер. ISBN 978-3-319-70705-1 .

[1] Хокинс, Томас (1975). «Коши и спектральная теория матриц» . История Математики . 2 : 1–29. дои : 10.1016/0315-0860(75)90032-4 .

[2] Краткая история теории операторов Эванса М. Харрелла II

[3] Зал 2013 г., раздел 6.1.

[4] Холл, 2013 г. Теорема 7.2.1

[5] Холл, 2013 г. Теорема 7.12.

[6] Холл, 2013. Теорема 7.20.

[7] Холл, 2013 г., Теорема 7.19.

[8] Холл 2013. Лемма 8.11.

[9] Например, Холл, 2013 г., определение 7.13.

[10] См. раздел 10.1 Hall 2013.

[FOOTNOTEde_la_Madrid_Modino200195–97-11] из Мадрида Модино, 2001 г. , стр. 95–97.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

v т Это Спектральная теория и ^*-алгебры
Basic concepts	Involution/-algebra Banach algebra B-algebra C-algebra Noncommutative topology Projection-valued measure Spectrum Spectrum of a C-algebra Spectral radius Operator space
Main results	Gelfand–Mazur theorem Gelfand–Naimark theorem Gelfand representation Polar decomposition Singular value decomposition Spectral theorem Spectral theory of normal C*-algebras
Special Elements/Operators	Isospectral Normal operator Hermitian/Self-adjoint operator Unitary operator Unit
Spectrum	Krein–Rutman theorem Normal eigenvalue Spectrum of a C*-algebra Spectral radius Spectral asymmetry Spectral gap
Decomposition	Decomposition of a spectrum Continuous Point Residual Approximate point Compression Direct integral Discrete Spectral abscissa
Spectral Theorem	Borel functional calculus Min-max theorem Positive operator-valued measure Projection-valued measure Riesz projector Rigged Hilbert space Spectral theorem Spectral theory of compact operators Spectral theory of normal C*-algebras
Special algebras	Amenable Banach algebra With an Approximate identity Banach function algebra Disk algebra Nuclear C*-algebra Uniform algebra Von Neumann algebra Tomita–Takesaki theory
Finite-Dimensional	Alon–Boppana bound Bauer–Fike theorem Numerical range Schur–Horn theorem
Generalizations	Dirac spectrum Essential spectrum Pseudospectrum Structure space (Shilov boundary)
Miscellaneous	Abstract index group Banach algebra cohomology Cohen–Hewitt factorization theorem Extensions of symmetric operators Fredholm theory Limiting absorption principle Schröder–Bernstein theorems for operator algebras Sherman–Takeda theorem Unbounded operator
Examples	Wiener algebra
Applications	Almost Mathieu operator Corona theorem Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue) Heat kernel Kuznetsov trace formula Lax pair Proto-value function Ramanujan graph Rayleigh–Faber–Krahn inequality Spectral geometry Spectral method Spectral theory of ordinary differential equations Sturm–Liouville theory Superstrong approximation Transfer operator Transform theory Weyl law Wiener–Khinchin theorem