Закон Вейля

В математике , особенно в спектральной теории , закон Вейля описывает асимптотическое поведение собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами . Это описание было обнаружено в 1911 г. (в $d=2,3$ случае) Германа Вейля для собственных значений оператора Лапласа–Бельтрами, действующего на функции, обращающиеся в нуль на границе ограниченной области $\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}$. В частности, он доказал, что число $N(\lambda )$, собственных значений Дирихле (с учетом их кратностей), меньших или равных $\lambda$ удовлетворяет

$\lim _{\lambda \rightarrow \infty }{\frac {N(\lambda )}{\lambda ^{d/2}}}=(2\pi )^{-d}\omega _{d}\mathrm {vol} (\Omega )$

где $\omega _{d}$ – объем единичного шара в $\mathbb {R} ^{d}$. В 1912 году он предоставил новое доказательство, основанное на вариационных методах . Закон Вейля может быть распространен на замкнутые римановы многообразия , где другое доказательство может быть дано с использованием дзета-функции Минакшисундарама–Плейеля .

Обобщения

Закон Вейля был распространен на более общие области и операторы. Для оператора Шрёдингера

$H=-h^{2}\Delta +V(x)$

оно было распространено на

$N(E,h)\sim (2\pi h)^{-d}\int _{\{|\xi |^{2}+V(x)<E\}}dxd\xi$

как $E$ склонен к $+\infty$ или к низу существенного спектра и/или $h\to +0$.

Здесь $N(E,h)$ - число собственных значений $H$ ниже $E$ если нет существенного спектра ниже $E$ в этом случае $N(E,h)=+\infty$.

В разработке спектральной асимптотики решающую роль сыграли вариационные методы и микролокальный анализ .

Контрпримеры

Расширенный закон Вейля в определенных ситуациях не работает. не существует В частности, расширенный закон Вейля «утверждает», что существенного спектра тогда и только тогда, когда правое выражение конечно для всех $E$.

Если рассматривать области с точками возврата (т.е. «сжимающиеся выходы до бесконечности»), то (расширенный) закон Вейля утверждает, что существенного спектра не существует тогда и только тогда, когда объем конечен. Однако для лапласиана Дирихле не существует существенного спектра, даже если объем бесконечен, пока точки возврата сжимаются на бесконечности (поэтому конечность объема не обязательна).

С другой стороны, для лапласиана Неймана существует существенный спектр, если только точки возврата не сжимаются на бесконечности быстрее, чем отрицательный показатель степени (поэтому конечности объема недостаточно).

Гипотеза Вейля

Вейль предположил, что

$N(\lambda )=(2\pi )^{-d}\lambda ^{d/2}\omega _{d}\mathrm {vol} (\Omega )\mp {\frac {1}{4}}(2\pi )^{1-d}\omega _{d-1}\lambda ^{(d-1)/2}\mathrm {area} (\partial \Omega )+o(\lambda ^{(d-1)/2})$

где остаточный член отрицателен для граничных условий Дирихле и положителен для Неймана.Оценка остатка была улучшена многими математиками.

В 1922 году Ришар Курант доказал, что $O(\lambda ^{(d-1)/2}\log \lambda )$.В 1952 году Борис Левитан доказал более тесную границу $O(\lambda ^{(d-1)/2})$ для компактных закрытых коллекторов. Роберт Сили расширил это правило, включив в него некоторые евклидовы области в 1978 году. В 1975 году Ганс Дуйстермаат и Виктор Гиймен доказали предел $o(\lambda ^{(d-1)/2})$ когда множество периодических бихарактеристик имеет меру 0. Окончательно это обобщил Виктор Иврий в 1980 году. Это обобщение предполагает, что множество периодических траекторий биллиарда в $\Omega$ имеет меру 0, которая, по предположению Иврия, выполняется для всех ограниченных евклидовых областей с гладкими границами. С тех пор аналогичные результаты были получены и для более широких классов операторов.