Обычный оператор

В математике , особенно в функциональном анализе , нормальный оператор в комплексном гильбертовом пространстве H — это непрерывный линейный оператор N : H → H , который коммутирует со своим эрмитовым сопряженным N* , то есть: NN* = N*N . ^[1]

Нормальные операторы важны, поскольку спектральная теорема для них справедлива . Класс нормальных операторов хорошо изучен. Примеры обычных операторов:

унитарные операторы : N* = N ⁻¹
Эрмитовы операторы (т.е. самосопряженные операторы): N* = N
косоэрмитовые операторы: N* = − N
положительные операторы : N = MM* для некоторого M (поэтому N самосопряжено).

Нормальная матрица — это матричное выражение нормального оператора в гильбертовом пространстве C ^н.

Свойства [ править ]

Нормальные операторы характеризуются спектральной теоремой . Компактный нормальный оператор (в частности, нормальный оператор в конечномерном пространстве скалярных произведений ) унитарно диагонализируем . ^[2]

Позволять $T$ быть ограниченным оператором. Следующие действия эквивалентны.

$T$ нормально.
$T^{\star }$ нормально.
$\|Tx\|=\|T^{*}x\|$ для всех $x$ (использовать $\|Tx\|^{2}=\langle T^{*}Tx,x\rangle =\langle TT^{*}x,x\rangle =\|T^{*}x\|^{2}$ ).
Самосопряженная и антисамосопряженная части $T$ добираться. То есть, если $T$ написано как $T=T_{1}+iT_{2}$ с $T_{1}:={\frac {T+T^{*}}{2}}$ и $i\,T_{2}:={\frac {T-T^{*}}{2}},$ затем $T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}.$ ^{[примечание 1]}

Если $N$ является обычным оператором, то $N$ и $N^{*}$ имеют одинаковое ядро и одинаковый диапазон. Следовательно, диапазон $N$ плотно тогда и только тогда, когда $N$ является инъективным. ^{[ нужны разъяснения ]}Другими словами, ядро нормального оператора является ортогональным дополнением его диапазона. Отсюда следует, что ядро оператора $N^{k}$ совпадает с таковым $N$ для любого $k.$ Таким образом, каждое обобщенное собственное значение нормального оператора является подлинным. $\lambda$ является собственным значением нормального оператора $N$ тогда и только тогда, когда оно комплексно сопряжено ${\overline {\lambda }}$ является собственным значением $N^{*}.$ Собственные векторы нормального оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны, а нормальный оператор стабилизирует ортогональное дополнение каждого из своих собственных пространств. ^[3]Отсюда следует обычная спектральная теорема: каждый нормальный оператор в конечномерном пространстве диагонализуем унитарным оператором. Существует также бесконечномерная версия спектральной теоремы, выраженная в терминах проекционнозначных мер . Остаточный спектр нормального оператора пуст. ^[3]

Продукт нормальных коммутирующих операторов снова является нормальным; это нетривиально, но следует непосредственно из теоремы Фугледа , которая утверждает (в форме, обобщенной Патнэмом):

Если

N_{1}

и

N_{2}

являются нормальными операторами, и если

A

— ограниченный линейный оператор такой, что

N_{1}A=AN_{2},

затем

N_{1}^{*}A=AN_{2}^{*}

.

Операторная норма нормального оператора равна его числовому радиусу ^{[ нужны разъяснения ]} и спектральный радиус .

Нормальный оператор совпадает со своим преобразованием Алутге .

Свойства в конечномерном случае [ править ]

Если нормальный оператор T на конечномерном вещественном ^{[ нужны разъяснения ]} или комплексное гильбертово пространство (пространство внутреннего произведения) H стабилизирует подпространство V , затем оно также стабилизирует его ортогональное дополнение V ^⊥. (Это утверждение тривиально в случае, когда T самосопряжено.)

Доказательство. Пусть P _V — ортогональный проектор на V . Тогда ортогональная проекция на V ^⊥ ЧАС 1 - п _V . Тот факт, что T стабилизирует V, выразить как ( 1 _H − P _V ) TP _V = 0 или TP _V = PV _V TP _можно . Цель состоит в том, чтобы показать, что P _V T ( 1 _H − P _V ) = 0.

Пусть X знак равно п _V Т ( 1 _ЧАС - п _V ). Поскольку ( A , B ) ↦ tr( AB* ) является скалярным произведением в пространстве эндоморфизмов H , достаточно показать, что tr( XX* ) = 0. Прежде всего заметим, что

{\begin{aligned}XX^{*}&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})^{2}T^{*}P_{V}\\&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})T^{*}P_{V}\\&=P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}.\end{aligned}}

Теперь, используя свойства следа и ортогональных проекций, имеем:

{\begin{aligned}\operatorname {tr} (XX^{*})&=\operatorname {tr} \left(P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}\right)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*}P_{V})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (TP_{V}T^{*})&&{\text{using the hypothesis that }}T{\text{ stabilizes }}V\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}T^{*}T)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}(TT^{*}-T^{*}T))\\&=0.\end{aligned}}

Тот же аргумент справедлив и для компактных нормальных операторов в бесконечномерных гильбертовых пространствах, где используется скалярное произведение Гильберта-Шмидта , определяемое формулой tr( AB* ), интерпретируемое соответствующим образом. ^[4] Однако для ограниченных нормальных операторов ортогональное дополнение к стабильному подпространству может быть неустойчивым. ^[5]Отсюда следует, что гильбертово пространство, вообще говоря, не может быть затянуто собственными векторами нормального оператора. Рассмотрим, например, двусторонний сдвиг (или двусторонний сдвиг), действующий на $\ell ^{2}$ , что является нормальным, но не имеет собственных значений.

Инвариантные подпространства сдвига, действующего на пространство Харди, характеризуются теоремой Берлинга .

Нормальные элементы алгебр [ править ]

Понятие нормальных операторов обобщается на инволютивную алгебру:

Элемент x инволютивной алгебры называется нормальным, если xx* = x*x .

Самосопряженные и унитарные элементы являются нормальными.

Наиболее важный случай — когда такая алгебра является С*-алгеброй .

Неограниченные нормальные операторы [ править ]

Определение нормальных операторов естественным образом обобщается на некоторый класс неограниченных операторов. Явно замкнутый оператор N называется нормальным, если

N^{*}N=NN^{*}.

Здесь существование присоединенного N* требует, чтобы область определения N была плотной, а равенство включает утверждение, что область определения N*N равна области определения NN* , что в общем случае не обязательно так.

Эквивалентно нормальные операторы — это именно те, для которых ^[6]

\|Nx\|=\|N^{*}x\|\qquad

с

{\mathcal {D}}(N)={\mathcal {D}}(N^{*}).

Спектральная теорема по-прежнему справедлива для неограниченных (нормальных) операторов. Доказательства основаны на сведении к ограниченным (нормальным) операторам. ^[7]^[8]

Обобщение [ править ]

Успех теории нормальных операторов привел к нескольким попыткам обобщения путем ослабления требования коммутативности. Классы операторов, включающие нормальные операторы (в порядке включения):

См. также [ править ]

Непрерывный линейный оператор
Сжатие (теория операторов) - Ограниченные операторы с субъединичной нормой

Примечания [ править ]

^ Напротив, для важного класса операторов рождения и уничтожения , например, квантовой теории поля , они не коммутируют.

Ссылки [ править ]

^ Хоффман, Кеннет; Кунце, Рэй (1971), Линейная алгебра (2-е изд.), Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc., стр. 312, МР 0276251
^ Хоффман и Кунце (1971) , с. 317.
^ Перейти обратно: ^а ^б Нейлор, Арч В.; Продать Джорджа Р. (1982). Теория линейных операторов в технике и науке . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-95001-3 . Архивировано из оригинала 26 июня 2021 г. Проверено 26 июня 2021 г.
^ Андо, Цуёси (1963). «Замечание об инвариантных подпространствах компактного нормального оператора». Архив математики . 14 : 337–340. дои : 10.1007/BF01234964 . S2CID 124945750 .
^ Гаррет, Пол (2005). «Операторы в гильбертовых пространствах» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 18 сентября 2011 г. Проверено 1 июля 2011 г.
^ Вайдман, Линейные операторы в гильбертовых пространствах, глава 4, раздел 3
^ Александр Фрей, Спектральные меры, Обмен математическими стеками, Существование , архивировано 26 июня 2021 г. в Wayback Machine , Уникальность , архивировано 26 июня 2021 г. в Wayback Machine
^ Джон Б. Конвей , Курс функционального анализа, второе издание, глава X, раздел §4

[3] Напротив, для важного класса операторов рождения и уничтожения , например, квантовой теории поля , они не коммутируют.

[1] Хоффман, Кеннет; Кунце, Рэй (1971), Линейная алгебра (2-е изд.), Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc., стр. 312, МР 0276251

[FOOTNOTEHoffmanKunze1971317-2] Хоффман и Кунце (1971) , с. 317.

[Naylor-4] Перейти обратно: ^а ^б Нейлор, Арч В.; Продать Джорджа Р. (1982). Теория линейных операторов в технике и науке . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-95001-3 . Архивировано из оригинала 26 июня 2021 г. Проверено 26 июня 2021 г.

[5] Андо, Цуёси (1963). «Замечание об инвариантных подпространствах компактного нормального оператора». Архив математики . 14 : 337–340. дои : 10.1007/BF01234964 . S2CID 124945750 .

[Garrett-6] Гаррет, Пол (2005). «Операторы в гильбертовых пространствах» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 18 сентября 2011 г. Проверено 1 июля 2011 г.

[7] Вайдман, Линейные операторы в гильбертовых пространствах, глава 4, раздел 3

[Frei-8] Александр Фрей, Спектральные меры, Обмен математическими стеками, Существование , архивировано 26 июня 2021 г. в Wayback Machine , Уникальность , архивировано 26 июня 2021 г. в Wayback Machine

[Conway-9] Джон Б. Конвей , Курс функционального анализа, второе издание, глава X, раздел §4

[1]

[2]

[примечание 1]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

v т Это Спектральная теория и ^*-алгебры
Basic concepts	Involution/-algebra Banach algebra B-algebra C-algebra Noncommutative topology Projection-valued measure Spectrum Spectrum of a C-algebra Spectral radius Operator space
Main results	Gelfand–Mazur theorem Gelfand–Naimark theorem Gelfand representation Polar decomposition Singular value decomposition Spectral theorem Spectral theory of normal C*-algebras
Special Elements/Operators	Isospectral Normal operator Hermitian/Self-adjoint operator Unitary operator Unit
Spectrum	Krein–Rutman theorem Normal eigenvalue Spectrum of a C*-algebra Spectral radius Spectral asymmetry Spectral gap
Decomposition	Decomposition of a spectrum Continuous Point Residual Approximate point Compression Direct integral Discrete Spectral abscissa
Spectral Theorem	Borel functional calculus Min-max theorem Positive operator-valued measure Projection-valued measure Riesz projector Rigged Hilbert space Spectral theorem Spectral theory of compact operators Spectral theory of normal C*-algebras
Special algebras	Amenable Banach algebra With an Approximate identity Banach function algebra Disk algebra Nuclear C*-algebra Uniform algebra Von Neumann algebra Tomita–Takesaki theory
Finite-Dimensional	Alon–Boppana bound Bauer–Fike theorem Numerical range Schur–Horn theorem
Generalizations	Dirac spectrum Essential spectrum Pseudospectrum Structure space (Shilov boundary)
Miscellaneous	Abstract index group Banach algebra cohomology Cohen–Hewitt factorization theorem Extensions of symmetric operators Fredholm theory Limiting absorption principle Schröder–Bernstein theorems for operator algebras Sherman–Takeda theorem Unbounded operator
Examples	Wiener algebra
Applications	Almost Mathieu operator Corona theorem Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue) Heat kernel Kuznetsov trace formula Lax pair Proto-value function Ramanujan graph Rayleigh–Faber–Krahn inequality Spectral geometry Spectral method Spectral theory of ordinary differential equations Sturm–Liouville theory Superstrong approximation Transfer operator Transform theory Weyl law Wiener–Khinchin theorem

v т Это гильбертовы пространства
Basic concepts	Adjoint Inner product and L-semi-inner product Hilbert space and Prehilbert space Orthogonal complement Orthonormal basis
Main results	Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Riesz representation
Other results	Hilbert projection theorem Parseval's identity Polarization identity (Parallelogram law)
Maps	Compact operator on Hilbert space Densely defined Hermitian form Hilbert–Schmidt Normal Self-adjoint Sesquilinear form Trace class Unitary
Examples	Cⁿ(K) with K compact & n<∞ Segal–Bargmann F