Субнормальный оператор

В математике , особенно в теории операторов , субнормальные операторы — это ограниченные операторы в гильбертовом пространстве , определенные путем ослабления требований к нормальным операторам . Некоторыми примерами субнормальных операторов являются изометрии и операторы Теплица с аналитическими символами.

Определение

Пусть H — гильбертово пространство. Ограниченный оператор A в H называется субнормальным , если A имеет нормальное расширение . Другими словами, A субнормальна, если существует гильбертово пространство K такое, что H можно вложить в K , и существует нормальный оператор N вида

$N={\begin{bmatrix}A&B\\0&C\end{bmatrix}}$

для некоторых ограниченных операторов

$B:H^{\perp }\rightarrow H,\quad {\mbox{and}}\quad C:H^{\perp }\rightarrow H^{\perp }.$

Нормальность, квазинормальность и субнормальность.

Обычные операторы

Каждый нормальный оператор субнормален по определению, но обратное, вообще говоря, неверно. Простой класс примеров можно получить, ослабив свойства унитарных операторов . Унитарный оператор — это изометрия с плотным диапазоном значений . Рассмотрим теперь изометрию A, диапазон которой не обязательно плотный. Конкретным примером такого явления является односторонний сдвиг , что не является нормальным. Но A субнормальна, и это можно показать явно. Определим оператор U на

$H\oplus H$

к

$U={\begin{bmatrix}A&I-AA^{*}\\0&-A^{*}\end{bmatrix}}.$

Непосредственный расчет показывает, что U является нормальным расширением A. унитарно и, следовательно , Оператор U называется унитарным расширением изометрии A .

Квазинормальные операторы

Оператор A называется квазинормальным , если A коммутирует с A*A . Таким образом, нормальный оператор квазинормален; обратное неверно. Противоположным примером, как указано выше, является односторонний сдвиг. Следовательно, семейство нормальных операторов является собственным подмножеством как квазинормальных, так и субнормальных операторов. Естественный вопрос: как связаны квазинормальный и субнормальный операторы?

Мы покажем, что квазинормальный оператор обязательно субнормален, но не наоборот. Таким образом, нормальные операторы являются собственным подсемейством квазинормальных операторов, которые, в свою очередь, содержатся в субнормальных операторах. Чтобы аргументировать утверждение о субнормальности квазинормального оператора, напомним следующее свойство квазинормальных операторов:

Факт: Ограниченный оператор A квазинормален тогда и только тогда, когда в его полярном разложении A = UP частичная изометрия U и положительный оператор P коммутируют.

Учитывая квазинормальное A , идея состоит в том, чтобы построить расширения для U и P достаточно хорошим способом, чтобы все коммутировало. Предположим на мгновение, что U — изометрия. Пусть V — унитарное расширение U ,

$V={\begin{bmatrix}U&I-UU^{*}\\0&-U^{*}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}U&D_{U^{*}}\\0&-U^{*}\end{bmatrix}}.$

Определять

$Q={\begin{bmatrix}P&0\\0&P\end{bmatrix}}.$

Оператор N = VQ, , является расширением A. очевидно Мы покажем, что это нормальное расширение прямым расчетом. Унитарность V означает

$N^{*}N=QV^{*}VQ=Q^{2}={\begin{bmatrix}P^{2}&0\\0&P^{2}\end{bmatrix}}.$

С другой стороны,

$NN^{*}={\begin{bmatrix}UP^{2}U^{*}+D_{U^{*}}P^{2}D_{U^{*}}&-D_{U^{*}}P^{2}U\\-U^{*}P^{2}D_{U^{*}}&U^{*}P^{2}U\end{bmatrix}}.$

Поскольку UP = PU и P самосопряженный, мы имеем U*P = PU* и D _U* P = D _U* P . Сравнение записей показывает, что N является нормальным. Это доказывает, что квазинормальность влечет за собой субнормальность.

что обратное неверно, снова рассмотрим односторонний сдвиг A. В качестве противоположного примера, показывающего , Оператор B = A + s для некоторого скаляра s остается субнормальным. Но если B квазинормально, простой расчет показывает, что A*A = AA* , что является противоречием.

Минимальное нормальное расширение

Неединственность нормальных расширений

Для субнормального оператора A его нормальное расширение B не уникально. Например, пусть A — односторонний сдвиг на l ² ( Н ). Одним из нормальных расширений является двусторонний сдвиг B на l. ² ( Z ) определяется формулой

$B(\ldots ,a_{-1},{{\hat {a}}_{0}},a_{1},\ldots )=(\ldots ,{{\hat {a}}_{-1}},a_{0},a_{1},\ldots ),$

где ˆ обозначает нулевую позицию. B можно выразить через операторную матрицу

$B={\begin{bmatrix}A&I-AA^{*}\\0&A^{*}\end{bmatrix}}.$

Другое нормальное расширение задается унитарным расширением B' A , определенным выше:

$B'={\begin{bmatrix}A&I-AA^{*}\\0&-A^{*}\end{bmatrix}}$

действие которого описывается

$B'(\ldots ,a_{-2},a_{-1},{{\hat {a}}_{0}},a_{1},a_{2},\ldots )=(\ldots ,-a_{-2},{{\hat {a}}_{-1}},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ).$

Минимальность

Таким образом, нас интересует нормальное расширение, которое в некотором смысле является наименьшим. Точнее, нормальный оператор B, действующий в гильбертовом пространстве K, называется минимальным расширением субнормального A если K' ⊂ K является приводящим подпространством B и H ⊂ K' , то K' = K. , (Подпространство является редуцирующим подпространством B , если оно инвариантно как относительно B, так и относительно B* .)

Можно показать, что если два оператора являются _и минимальными расширениями _B2 K1 и _на K2 соответственно _B1 , то существует унитарный оператор

$U:K_{1}\rightarrow K_{2}.$

Кроме того, имеют место следующие переплетающиеся отношения:

$UB_{1}=B_{2}U.\,$

Это можно показать конструктивно. Рассмотрим множество S, состоящее из векторов следующего вида:

$\sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i}=h_{0}+B_{1}^{*}h_{1}+(B_{1}^{*})^{2}h_{2}+\cdots +(B_{1}^{*})^{n}h_{n}\quad {\text{where}}\quad h_{i}\in H.$

Пусть K' ⊂ K ₁ — подпространство, замыкающее линейную оболочку S . По определению K' инвариантен относительно B ₁ * и содержит H . Из нормальности B ₁ и предположения, что H инвариантно относительно B _1, следует, что K' инвариантно относительно B ₁ . Следовательно, К' = К ₁ . Гильбертово пространство K ₂ можно определить точно так же. Теперь определим оператор U следующим образом:

$U\sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i}=\sum _{i=0}^{n}(B_{2}^{*})^{i}h_{i}$

Потому что

$\left\langle \sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i},\sum _{j=0}^{n}(B_{1}^{*})^{j}h_{j}\right\rangle =\sum _{ij}\langle h_{i},(B_{1})^{i}(B_{1}^{*})^{j}h_{j}\rangle =\sum _{ij}\langle (B_{2})^{j}h_{i},(B_{2})^{i}h_{j}\rangle =\left\langle \sum _{i=0}^{n}(B_{2}^{*})^{i}h_{i},\sum _{j=0}^{n}(B_{2}^{*})^{j}h_{j}\right\rangle ,$

, оператор U унитарен. предположение, что B ₁ и B ₂ являются расширениями A Непосредственное вычисление также показывает ( здесь необходимо )

${\text{if }}g=\sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i},$

${\text{then }}UB_{1}g=B_{2}Ug=\sum _{i=0}^{n}(B_{2}^{*})^{i}Ah_{i}.$

Когда B ₁ и B ₂ не считаются минимальными, тот же расчет показывает, что приведенное выше утверждение справедливо дословно, причем U является частичной изометрией .