Оператор Теплица

В теории операторов оператор Теплица представляет собой сжатие оператора умножения на окружности в пространство Харди .

Подробности

Позволять $S^{1}$ — комплексная единичная окружность со стандартной мерой Лебега и $L^{2}(S^{1})$ — гильбертово пространство функций, интегрируемых с квадратом. Ограниченная измеримая функция $g$ на $S^{1}$ определяет оператор умножения $M_{g}$ на $L^{2}(S^{1})$ . Позволять $P$ быть проекцией от $L^{2}(S^{1})$ в пространство Харди $H^{2}$. Оператор Теплица с символом $g$ определяется

$T_{g}=PM_{g}\vert _{H^{2}},$

где «|» означает ограничение.

Ограниченный оператор на $H^{2}$ является Теплицем тогда и только тогда, когда его матричное представление в базисе $\{z^{n},z\in \mathbb {C} ,n\geq 0\}$, имеет постоянные диагонали.

Теоремы

• Теорема: Если $g$ является непрерывным , то $T_{g}-\lambda$ является Фредгольмовым тогда и только тогда, когда $\lambda$ нет в наборе $g(S^{1})$. Если это Фредгольм, его индекс равен минус числу витков кривой, очерченной $g$ относительно происхождения.

Доказательство см. у Дугласа (1972 , стр. 185). Он приписывает теорему Марку Крейну , Гарольду Уидому и Аллену Девинацу. Это можно рассматривать как важный частный случай теоремы об индексе Атьи-Зингера .

• Теорема Экслера - Чанга - Сарасона : оператор $T_{f}T_{g}-T_{fg}$ компактен когда тогда и только тогда, $H^{\infty }[{\bar {f}}]\cap H^{\infty }[g]\subseteq H^{\infty }+C^{0}(S^{1})$.

Здесь, $H^{\infty }$ обозначает замкнутую подалгебру $L^{\infty }(S^{1})$ аналитических функций (функций с нулевыми отрицательными коэффициентами Фурье), $H^{\infty }[f]$ является замкнутой подалгеброй $L^{\infty }(S^{1})$ созданный $f$ и $H^{\infty }$, и $C^{0}(S^{1})$ — пространство (как алгебраическое множество) непрерывных функций на окружности. См. С.Акслер, С.Ю. Чанг, Д. Сарасон (1978) .

См. также

• Матрица Теплица - Матрица со сдвигом строк.

Ссылки

• С.Акслер, С.Ю. Чанг, Д. Сарасон (1978), «Продукты операторов Теплица», Интегральные уравнения и теория операторов , 1 (3): 285–309, doi : 10.1007/BF01682841 , S2CID   120610368 {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Бетчер, Альбрехт; Грудский, Сергей М. (2000), Матрицы Теплица, асимптотическая линейная алгебра и функциональный анализ , Биркхойзер , ISBN  978-3-0348-8395-5 .
• Бетчер, А .; Зильберманн, Б. (2006), Анализ операторов Теплица , Монографии Спрингера по математике (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-32434-8 .
• Дуглас, Рональд (1972), Методы банаховой алгебры в теории операторов , Academic Press .
• Розенблюм, Марвин; Ровняк, Джеймс (1985), Классы Харди и теория операторов , Oxford University Press . Перепечатано Dover Publications, 1997 г., ISBN   978-0-486-69536-5 .