Оператор умножения

В теории операторов оператором умножения называется оператор Tf _, определенный в некотором векторном пространстве функций и значение которого в функции φ задается умножением на фиксированную функцию f . То есть,

$$T_{f}\varphi (x)=f(x)\varphi (x)\quad$$

для всех φ в области T ) _f и всех x в области φ (которая совпадает с областью определения f .

Операторы умножения обобщают понятие оператора, заданного диагональной матрицей . Точнее, одним из результатов теории операторов является спектральная теорема , утверждающая, что каждый самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве оператору унитарно эквивалентен умножения в L ² космос .

Эти операторы часто противопоставляются операторам композиции , которые аналогичным образом индуцируются любой фиксированной функцией f . Они также тесно связаны с операторами Теплица , которые представляют собой сжатие операторов умножения на окружности в пространство Харди .

Свойства

• Оператор умножения $T_{f}$ на $L^{2}(X)$, X где $\sigma$-finite ограничен f тогда и только тогда, когда находится в $L^{\infty }(X)$. В этом случае его операторная норма равна $\|f\|_{\infty }$.

• Сопряженный к оператору умножения $T_{f}$ является $T_{\overline {f}}$, где ${\overline {f}}$ является -сопряженным f . комплексно Как следствие, $T_{f}$ является самосопряженным тогда и только тогда, когда f вещественнозначна.

• Спектр умножения ограниченного оператора $T_{f}$ – существенный f ; диапазон вне этого спектра, обратное $(T_{f}-\lambda )$ это оператор умножения $T_{\frac {1}{f-\lambda }}.$

• Два ограниченных оператора умножения $T_{f}$ и $T_{g}$ на $L^{2}$ равны, если f и g равны почти всюду .

Пример

Рассмотрим гильбертово пространство X = L ² [−1, 3] функций комплекснозначных , интегрируемых с квадратом на интервале [−1, 3] . С f ( x ) = x ² , определим оператор

$$T_{f}\varphi (x)=x^{2}\varphi (x)$$

для любой функции φ из X . Это будет самосопряженный ограниченный линейный оператор со всей областью определения X = L. ² [−1, 3] и с нормой 9 . Его спектром будет интервал [0, 9] ( диапазон значений функции x ↦ x ² определено на [−1, 3] ). Действительно, для любого комплексного числа λ оператор T _f − λ задается формулой

$$(T_{f}-\lambda )(\varphi )(x)=(x^{2}-\lambda )\varphi (x).$$

Он обратим тогда и только тогда, когда λ не находится в [0, 9] и тогда его обратным является

$$(T_{f}-\lambda )^{-1}(\varphi )(x)={\frac {1}{x^{2}-\lambda }}\varphi (x),$$

это еще один оператор умножения.

Этот пример можно легко обобщить для характеристики нормы и спектра оператора умножения на любом L ^п космос .

См. также

• Оператор перевода
• Оператор смены
• Оператор трансфера
• Разложение спектра (функциональный анализ)

Ссылки

• Конвей, Дж. Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике. Том. 96. Спрингер Верлаг . ISBN  0-387-97245-5 .