Разложение спектра (функциональный анализ)

Спектр ​ оператора линейного $T$ который работает в банаховом пространстве $X$ является фундаментальной концепцией функционального анализа . Спектр состоит из всех скаляров $\lambda$ такой, что оператор $T-\lambda$ не имеет ограниченного обратного к $X$. Спектр имеет стандартное разложение на три части:

• точечный спектр , состоящий из собственных значений $T$;
• непрерывный спектр , состоящий из скаляров, которые не являются собственными значениями, но составляют диапазон $T-\lambda$ собственное плотное подмножество пространства;
• остаточный спектр , состоящий из всех остальных скаляров спектра.

Это разложение актуально для изучения дифференциальных уравнений и имеет приложения во многих областях науки и техники. Хорошо известным примером из квантовой механики является объяснение дискретных спектральных линий и непрерывной полосы света, излучаемого возбужденными атомами водорода .

Разложение на точечный спектр, непрерывный спектр и остаточный спектр.

Для операторов ограниченного банахового пространства

Пусть X — банахово пространство , B ( X ) — семейство ограниченных операторов на X и T ∈ B ( X ) . По определению , комплексное число λ находится в спектре T и обозначается σ ( T ), если T − λ не имеет обратного числа в B ( X ).

Если T − λ и взаимно однозначен на , т. е. биективен , то его инверсия ограничена; это следует непосредственно из теоремы об открытом отображении функционального анализа. Итак, λ находится в спектре T тогда и только тогда, когда T − λ не взаимно однозначно или не на. Различают три отдельных случая:

1. T − λ не инъективен . То есть существуют два различных элемента x , y в X такие, что ( T - λ )( x ) = ( T - λ )( y ) . Тогда z = x − y — ненулевой вектор такой, что T ( z ) = λz . Другими словами, λ — собственное значение T в смысле линейной алгебры . В этом случае спектре говорят, что λ находится в T , точечном обозначаемом σ _p ( T ) .
2. T − λ инъективен, и его образ является плотным подмножеством R из X ; не весь X. но это Другими словами, существует некоторый элемент x в X такой, что ( T − λ )( y ) может быть настолько близок к x , насколько это необходимо, с y в X ; но никогда не равен x . Можно доказать, что в этом случае T − λ не ограничено снизу (т. е. оно раздвигает элементы X слишком близко друг к другу). Эквивалентно, обратный линейный оператор ( T − λ ) ⁻¹ , который определен на плотном подмножестве R , не является ограниченным оператором и, следовательно, не может быть распространен на все X . Тогда что λ принадлежит непрерывному спектру σc _, ( T ) оператора T. говорят
3. T − λ инъективен, но не имеет плотного диапазона. То есть существует некоторый элемент x в X и окрестность N x такие , что ( T − λ )( y ) никогда не находится в N . В этом случае отображение ( T − λ ) ⁻¹ x → x может быть ограниченным или неограниченным, но в любом случае не допускает однозначного расширения до ограниченного линейного отображения на всем X . Тогда остаточном говорят, что λ находится спектре T в , σ _r ( T ) .

Итак, σ ( T ) — это непересекающееся объединение этих трех множеств, $$\sigma (T)=\sigma _{p}(T)\cup \sigma _{c}(T)\cup \sigma _{r}(T).$$Дополнение спектра $\sigma (T)$ известно как резольвентное множество $\rho (T)$ то есть $\rho (T)=\mathbb {C} \setminus \sigma (T)$.

Сюръективность T − λ	Инъективность T − λ
	Инъективный и ограниченный снизу	Инъективный, но не ограниченный снизу	не инъективный
Сюръективный	Резольвентный набор ρ ( T )	Несуществующий	Точечный спектр σ p ( T )
Не сюръективен, но имеет плотный диапазон	Несуществующий	Непрерывный спектр σ c ( T )
Не имеет плотного диапазона	Остаточный спектр σ r ( T )

Кроме того, когда T − λ не имеет плотного диапазона, независимо от того, является ли он инъективным или нет, то λ , что находится в спектре сжатия T говорят , σ _cp ( T ). Спектр сжатия состоит из всего остаточного спектра и части точечного спектра.

Для неограниченных операторов

Спектр неограниченного оператора можно разделить на три части так же, как и в ограниченном случае, но поскольку оператор определен не везде, определения области определения, обратного и т. д. являются более сложными.

Примеры

Оператор умножения

Учитывая σ-конечное пространство с мерой ( S , Σ , µ ), рассмотрим банахово пространство L ^п ( мкм ) . Функция h : S → C называется существенно ограниченной , если h ограничена µ -почти всюду. Существенно ограниченный h индуцирует ограниченный оператор Th _{умножения} на L ^п ( м ): $$(T_{h}f)(s)=h(s)\cdot f(s).$$

Операторная норма T является существенной верхней границей h . Существенная область h ε определяется следующим образом: комплексное число λ находится в существенной области h , если для всех > 0 прообраз открытого шара B _ε ( λ ) относительно h имеет строго положительную меру. Сначала мы покажем, что ( Th ) _σ совпадает с существенным диапазоном h , а затем рассмотрим его различные части.

Если λ не находится в существенном диапазоне h , возьмем ε > 0 такое, что h ⁻¹ ( Bε _. ( λ )) имеет нулевую меру Функция g ( s ) = 1/( h ( s ) − λ ) почти всюду ограничена величиной 1/ ε . Оператор умножения T _g удовлетворяет условию T _g · ( T _час - λ ) знак равно ( T _час - λ ) · T _g знак равно I . Значит, λ не принадлежит спектру T _h . С другой стороны, если λ лежит в существенной области h , рассмотрим последовательность множеств { S _n = час ⁻¹ ( B _{1/ п} ( λ ))} . Каждое Sn _. имеет положительную меру Пусть fn _— характеристическая Sn _{функция} . Мы можем вычислить напрямую $$\|(T_{h}-\lambda )f_{n}\|_{p}^{p}=\|(h-\lambda )f_{n}\|_{p}^{p}=\int _{S_{n}}|h-\lambda \;|^{p}d\mu \leq {\frac {1}{n^{p}}}\;\mu (S_{n})={\frac {1}{n^{p}}}\|f_{n}\|_{p}^{p}.$$

Это показывает, что T _h − λ не ограничен снизу и, следовательно, не обратим.

Если λ таково, что µ ( h ⁻¹ ({ λ })) > 0, то λ лежит в точечном спектре T _h следующим образом. Пусть f — характеристическая функция измеримого множества h ⁻¹ ( λ ), то, рассмотрев два случая, находим $$\forall s\in S,\;(T_{h}f)(s)=\lambda f(s),$$поэтому λ является собственным значением T _h .

Любой λ в существенном диапазоне h , который не имеет прообраза положительной меры, находится в непрерывном спектре T _h . Чтобы показать это, мы должны показать, что T _h − λ имеет плотный диапазон. Учитывая f ∈ L ^п ( µ ) , снова рассмотрим последовательность множеств { S _n = h ⁻¹ ( B _1/n ( λ ))} . Пусть g _{n —} характеристическая функция S − S _n . Определять $$f_{n}(s)={\frac {1}{h(s)-\lambda }}\cdot g_{n}(s)\cdot f(s).$$

Непосредственный расчет показывает, что f _n ∈ L ^п ( µ ), при этом $\|f_{n}\|_{p}\leq n\|f\|_{p}$. Тогда по о доминируемой сходимости теореме $$(T_{h}-\lambda )f_{n}\rightarrow f$$в Л ^п ( μ ) норма.

Следовательно, операторы умножения не имеют остаточного спектра. В частности, по спектральной теореме нормальные операторы в гильбертовом пространстве не имеют остаточного спектра.

Смены

Основная статья: Сдвиг пространства

В частном случае, когда S — множество натуральных чисел, а µ — считающая мера, соответствующий L ^п ( µ ) обозначается l ^п . Это пространство состоит из комплексных последовательностей { x _n } таких, что $$\sum _{n\geq 0}|x_{n}|^{p}<\infty .$$

При 1 < p < ∞ l ^п является рефлексивным . Определим сдвиг влево T : l ^п → л ^п к $$T(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\dots ).$$

T — частичная изометрия с операторной нормой 1. Таким образом, σ ( T ) лежит в замкнутом единичном круге комплексной плоскости.

T* — правый сдвиг (или односторонний сдвиг ), который представляет собой изометрию на l ^д , где 1/ p + 1/ q = 1: $$T^{*}(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(0,x_{1},x_{2},\dots ).$$

Для λ ∈ C с | λ | < 1, $$x=(1,\lambda ,\lambda ^{2},\dots )\in l^{p}$$и Т Икс знак равно λ Икс . Следовательно, точечный спектр оператора T содержит открытый единичный диск. Теперь T* не имеет собственных значений, т. е. σ _p ( T* ) пусто. Таким образом, используя рефлексивность и теорему из Spectrum_(functional_analysis)#Spectrum_of_the_adjoint_operator (что σ _p ( T ) ⊂ σ _r ( T *) ∪ σ _p ( T *)), мы можем сделать вывод, что открытый единичный диск лежит в остаточном спектре Т * .

Спектр ограниченного оператора замкнут, откуда следует единичная окружность { | λ | знак равно 1 } ⊂ C , находится в σ ( T ). Опять же по рефлексивности l ^п и из приведенной выше теоремы (на этот раз о том, что σ _r ( T ) ⊂ σ _p ( T *) ), мы имеем, что σ _r ( T ) также пусто. Следовательно, для комплексного числа λ с единичной нормой должно быть λ ∈ σ _p ( T ) или λ ∈ σ _c ( T ). Теперь, если | λ | = 1 и $$Tx=\lambda x,\qquad i.e.\;(x_{2},x_{3},x_{4},\dots )=\lambda (x_{1},x_{2},x_{3},\dots ),$$затем $$x=x_{1}(1,\lambda ,\lambda ^{2},\dots ),$$чего не может быть в л ^п , противоречие. Это означает, что единичный круг должен лежать в непрерывном спектре T .

для левого сдвига T Таким образом , σ _p ( T ) — это открытый единичный диск, а σ _c ( T ) — единичный круг, тогда как для правого сдвига T * σ r ₍ T * ) — это открытый единичный диск, а σ _c ( T* ) — единичный круг.

Для p = 1 можно провести аналогичный анализ. Результаты не будут точно такими же, поскольку рефлексивность больше не соблюдается.

Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве

Гильбертовые пространства являются банаховыми пространствами, поэтому приведенное выше обсуждение применимо и к ограниченным операторам в гильбертовых пространствах. Тонкий момент касается спектра Т *. Для банахова пространства T * обозначает транспонирование и σ ( T * ) = σ ( T ). Для гильбертова пространства T * обычно обозначает сопряженный оператор T ∈ B ( H ), а не транспонирование, а σ ( T * ) не является σ ( T ), а скорее его образом при комплексном сопряжении.

Для самосопряженного T ∈ B ( H ) функциональное исчисление Бореля дает дополнительные способы естественного разбиения спектра.

Борелевское функциональное исчисление

Дополнительная информация: функциональное исчисление Бореля.

В этом подразделе кратко описывается развитие этого исчисления. Идея состоит в том, чтобы сначала установить непрерывное функциональное исчисление, а затем перейти к измеримым функциям с помощью теоремы о представлении Рисса–Маркова–Какутани . Для непрерывного функционального исчисления ключевыми ингредиентами являются следующие:

1. Если T самосопряженный, то для любого полинома P норма оператора удовлетворяет условию $$\|P(T)\|=\sup _{\lambda \in \sigma (T)}|P(\lambda )|.$$
2. Теорема Стоуна -Вейерштрасса , из которой следует, что семейство многочленов (с комплексными коэффициентами) плотно в C ( σ ( T )), непрерывных функциях на σ ( T ).

Семейство C ( σ ( T )) является банаховой алгеброй , если оно наделено равномерной нормой. Итак, отображение $$P\rightarrow P(T)$$является изометрическим гомоморфизмом плотного подмножества C ( σ ( T )) в B ( H ). Расширение отображения посредством непрерывности дает f ( T ) для f ∈ C( σ ( T )): пусть P _n — многочлены такие, что P _n → f равномерно, и определим f ( T ) = lim P _n ( T ). Это непрерывное функциональное исчисление.

При фиксированном h ∈ H замечаем, что $$f\rightarrow \langle h,f(T)h\rangle$$— положительный линейный функционал на C ( σ ( T )). Согласно теореме о представлении Рисса–Маркова–Какутани существует единственная мера µ _h на σ ( T ) такая, что $$\int _{\sigma (T)}f\,d\mu _{h}=\langle h,f(T)h\rangle .$$

Эту меру иногда называют спектральной мерой, связанной с h . Спектральные меры можно использовать для расширения непрерывного функционального исчисления на ограниченные борелевские функции. Для ограниченной функции g , измеримой по Борелю, определите для предложенного g ( T ) $$\int _{\sigma (T)}g\,d\mu _{h}=\langle h,g(T)h\rangle .$$

С помощью тождества поляризации можно восстановить (поскольку H предполагается комплексным) $$\langle k,g(T)h\rangle .$$и, следовательно, g ( T ) h для произвольного h .

В данном контексте спектральные меры в сочетании с результатами теории меры дают разложение σ ( T ).

Разложение на абсолютно непрерывную, сингулярно-непрерывную и чистую точку.

Пусть h ∈ H и µh _— соответствующая ему спектральная мера на σ ( T ⊂ R. ) Согласно уточнению теоремы Лебега о разложении , µ _h можно разложить на три взаимно сингулярные части: $$\mu _{h}=\mu _{\mathrm {ac} }+\mu _{\mathrm {sc} }+\mu _{\mathrm {pp} }$$где µac _µpp непрерывна относительно меры Лебега, µsc _– сингулярна относительно меры Лебега и безатомна, а абсолютно _чисто точечная мера.

Все три типа мер инвариантны относительно линейных операций. Пусть Hac _— подпространство, состоящее из векторов, спектральные меры которых абсолютно непрерывны относительно меры Лебега . Определите H _pp и H _sc аналогичным образом. Эти подпространства инвариантны относительно T . Например, h ∈ Hac ₌ и k если Th . Пусть χ — характеристическая функция некоторого борелевского множества в σ ( T ), тогда $$\langle k,\chi (T)k\rangle =\int _{\sigma (T)}\chi (\lambda )\cdot \lambda ^{2}d\mu _{h}(\lambda )=\int _{\sigma (T)}\chi (\lambda )\;d\mu _{k}(\lambda ).$$Так $$\lambda ^{2}d\mu _{h}=d\mu _{k}$$и k ∈ Hac _​ . Более того, применение спектральной теоремы дает $$H=H_{\mathrm {ac} }\oplus H_{\mathrm {sc} }\oplus H_{\mathrm {pp} }.$$

Это приводит к следующим определениям:

1. Спектр T ограниченный Hac _, называется абсолютно непрерывным спектром T , σac ( _, T ) .
2. Спектр T , ограниченный H _sc, называется его сингулярным спектром , σ _sc ( T ).
3. Набор собственных значений оператора T называется чисто точечным спектром оператора T , σ _pp ( T ).

Замыкание собственных значений представляет собой спектр T , ограниченный H _pp . Так $$\sigma (T)=\sigma _{\mathrm {ac} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {sc} }(T)\cup {{\bar {\sigma }}_{\mathrm {pp} }(T)}.$$

Сравнение

Ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве тем более является ограниченным оператором в банаховом пространстве. можно применить и Поэтому к T полученное выше разложение спектра для ограниченных операторов в банаховом пространстве. В отличие от формулировки банахового пространства, союз $$\sigma (T)={{\bar {\sigma }}_{\mathrm {pp} }(T)}\cup \sigma _{\mathrm {ac} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {sc} }(T)$$не обязательно должны быть непересекающимися. Он дизъюнктен, когда оператор T имеет равномерную кратность, скажем, m , т.е. если T унитарно эквивалентен умножению на λ прямой суммы $$\bigoplus _{i=1}^{m}L^{2}(\mathbb {R} ,\mu _{i})$$для некоторых мер Бореля $\mu _{i}$. Когда в приведенном выше выражении появляется более одной меры, мы видим, что объединение трех типов спектров может не быть непересекающимся. Если λ ∈ σac _{вложенным} ( T ) ∩ σpp _T ( абсолютно ) , λ иногда называют собственным значением, в непрерывный спектр.

Когда T унитарно эквивалентно умножению на λ на $$L^{2}(\mathbb {R} ,\mu ),$$разложение σ ( T ) из борелевского функционального исчисления является уточнением случая банахового пространства.

Квантовая механика

Предыдущие комментарии можно распространить на неограниченные самосопряженные операторы, поскольку уравнение Рисса-Маркова справедливо для локально компактных хаусдорфовых пространств .

В квантовой механике наблюдаемые — это (часто неограниченные) самосопряженные операторы , а их спектры — возможные результаты измерений.

Спектр чистой точки соответствует связанным состояниям следующим образом:

• Квантовое состояние является связанным состоянием тогда и только тогда, когда оно конечно нормируемо во все времена. $t\in \mathbb {R}$.
• Наблюдаемая имеет чисто точечный спектр тогда и только тогда, когда ее собственные состояния образуют ортонормированный базис $H$.

Говорят, что частица находится в связанном состоянии, если она остается «локализованной» в ограниченной области пространства. Интуитивно можно было бы подумать, что «дискретность» спектра тесно связана с «локализацией» соответствующих состояний. Однако тщательный математический анализ показывает, что в целом это не так. Например, рассмотрим функцию

$f(x)={\begin{cases}n&{\text{if }}x\in \left[n,n+{\frac {1}{n^{4}}}\right]\\0&{\text{else}}\end{cases}},\quad \forall n\in \mathbb {N} .$

Эта функция нормируема (т.е. $f\in L^{2}(\mathbb {R} )$) как

$\int _{n}^{n+{\frac {1}{n^{4}}}}n^{2}\,dx={\frac {1}{n^{2}}}\Rightarrow \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.$

Этот ряд, известный как Базельская проблема , сходится к ${\textstyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$. Еще, $f$ увеличивается по мере $x\to \infty$, т. е. состояние «убегает в бесконечность». Явления локализации Андерсона и динамической локализации описывают случаи локализации собственных функций в физическом смысле. Локализация Андерсона означает, что собственные функции затухают экспоненциально как $x\to \infty$. Динамическую локализацию определить сложнее.

Иногда при проведении квантово-механических измерений встречаются « собственные состояния », которые не локализованы, например, квантовые состояния, не лежащие в L ² ( Р ). Это свободные состояния, принадлежащие абсолютно непрерывному спектру. В спектральной теореме для неограниченных самосопряженных операторов эти состояния называются «обобщенными собственными векторами» наблюдаемой с «обобщенными собственными значениями», которые не обязательно принадлежат ее спектру. В качестве альтернативы, если настаивать на том, что понятие собственных векторов и собственных значений сохраняется при переходе к строгости, можно рассмотреть операторы в оснащенных гильбертовых пространствах .

Примером наблюдаемой, спектр которой чисто абсолютно непрерывен, является оператор положения свободной частицы, движущейся на всей вещественной прямой. Кроме того, поскольку оператор импульса унитарно эквивалентен оператору положения посредством преобразования Фурье , он также имеет чисто абсолютно непрерывный спектр.

Сингулярный спектр соответствует физически невозможным результатам. Некоторое время считалось, что сингулярный спектр — нечто искусственное. Однако примеры, такие как почти оператор Матье и случайные операторы Шредингера , показали, что все типы спектров естественным образом возникают в физике.

Разложение на существенный спектр и дискретный спектр.

Позволять $A:\,X\to X$ быть закрытым оператором, определенным в области определения $D(A)\subset X$ который плотен в X . Тогда происходит разложение спектра А в непересекающееся объединение , $$\sigma (A)=\sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)\sqcup \sigma _{\mathrm {d} }(A),$$где

1. $\sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)$ — пятый тип существенного спектра оператора A (если A — самосопряженный оператор , то $\sigma _{\mathrm {ess} ,k}(A)=\sigma _{\mathrm {ess} }(A)$ для всех $1\leq k\leq 5$);
2. $\sigma _{\mathrm {d} }(A)$ — дискретный спектр A , состоящий из нормальных собственных значений или, что то же самое, из изолированных точек $\sigma (A)$ такой, что соответствующий проектор Рисса имеет конечный ранг. Это собственное подмножество точечного спектра , т. е. $\sigma _{d}(A)\subset \sigma _{p}(A)$, поскольку набор собственных значений A не обязательно должен быть изолированными точками спектра.

См. также

• Спектр точки , набор собственных значений.
• Существенный спектр , спектр оператора по модулю компактных возмущений.
• Дискретный спектр (математика) , набор нормальных собственных значений .
• Спектральная теория нормальных C*-алгебр
• Спектр (функциональный анализ)

Ссылки

• Бланшар, Филипп; Брюнинг, Эрвин (2015). Математические методы в физике . Биркгаузер. ISBN  978-3-319-14044-5 .
• Данфорд, Н.; Шварц, Дж.Т. (1988). Линейные операторы. Часть 1: Общая теория . Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-60848-3 .
• Житомирская, С.; Саймон, Б. (1994). «Операторы с сингулярным непрерывным спектром: III. Почти периодические операторы Шрёдингера». Связь в математической физике . 165 (1): 201–205. дои : 10.1007/BF02099743 . ISSN   0010-3616 .
• де ла Мадрид Модино, Р. (2001). Квантовая механика на языке оснащенного гильбертова пространства (кандидатская диссертация). Университет Вальядолида.
• Рид, М.; Саймон, Б. (1980). Методы современной математической физики: I: Функциональный анализ . Академическая пресса. ISBN  978-0-12-585050-6 .
• Рюэль, Д. (1969). «Замечание о связанных состояниях в теории потенциального рассеяния» (PDF) . Иль Нуово Чименто А. 61 (4). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа». дои : 10.1007/bf02819607 . ISSN   0369-3546 .
• Саймон, Б. (1978). «Обзор строгой теории рассеяния» .
• Саймон, Б.; Штольц, Г. (1996). «Операторы с сингулярным непрерывным спектром, В. Разреженные потенциалы» . Труды Американского математического общества . 124 (7): 2073–2080. дои : 10.1090/S0002-9939-96-03465-X . ISSN   0002-9939 .
• Саймон, Барри (2005). Ортогональные многочлены на единичной окружности. Часть 1. Классическая теория . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Том. 54. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-3446-6 . МР   2105088 .
• Тешль, Г. (2014). Математические методы в квантовой механике . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое соц. ISBN  978-1-4704-1704-8 .