Принцип предельного поглощения

В математике принцип предельного поглощения (LAP) — это концепция теории операторов и теории рассеяния , которая заключается в выборе «правильной» резольвенты в линейного оператора существенном спектре на основе поведения резольвенты вблизи существенного спектра. Этот термин часто используется для обозначения того, что резольвента, если ее рассматривать не в исходном пространстве (которым обычно является $L^{2}$ space ), но в определенных весовых пространствах (обычно $L_{s}^{2}$ , см. ниже), имеет предел при приближении спектрального параметра к существенному спектру.Эта концепция возникла из идеи введения комплексного параметра в уравнение Гельмгольца $(\Delta +k^{2})u(x)=-F(x)$ для выбора конкретного решения. Эта идея принадлежит Владимиру Игнатовскому , который рассматривал распространение и поглощение электромагнитных волн в проводе. ^[1]Оно тесно связано с условием излучения Зоммерфельда и принципом предельной амплитуды (1948).Терминологию – и принцип предельного поглощения, и принцип предельной амплитуды – ввел Алексей Свешников . ^[2]

Формулировка

Чтобы найти какое решение уравнения Гельмгольца с ненулевой правой частью

\Delta v(x)+k^{2}v(x)=-F(x),\quad x\in \mathbb {R} ^{3},

с некоторыми фиксированными $k>0$ , соответствует уходящим волнам,человек считает предел ^[2]^[3]

v(x)=-\lim _{\epsilon \to +0}(\Delta +k^{2}-i\epsilon )^{-1}F(x).

Связь с поглощением можно проследить к выражению $E(t,x)=Ae^{i(\omega t+\varkappa x)}$ для электрического поля, использованного Игнатовским: поглощение соответствует ненулевой мнимой части $\varkappa$ , и уравнение, которому удовлетворяет $E(t,x)$ задается уравнением Гельмгольца (или приведенным волновым уравнением ) $(\Delta +\varkappa ^{2}/\omega ^{2})E(t,x)=0$ , с

\varkappa ^{2}={\frac {\mu \varepsilon \omega ^{2}}{c^{2}}}-i4\pi \sigma \mu \omega

имеющая отрицательную мнимую часть (и, следовательно, с $\varkappa ^{2}/\omega ^{2}$ больше не принадлежит спектру $-\Delta$ ).Выше, $\mu$ проницаемость магнитная , $\sigma$ электропроводность , $\varepsilon$ проницаемость диэлектрическая ,и $c$ это скорость света в вакууме . ^[1]

Пример и связь с принципом предельной амплитуды

Можно рассмотреть оператор Лапласа в одном измерении, который является неограниченным оператором $A=-\partial _{x}^{2},$ действуя в $L^{2}(\mathbb {R} )$ и определен в домене $D(A)=H^{2}(\mathbb {R} )$ , пространство Соболева . Опишем ее резольвенту , $R(z)=(A-zI)^{-1}$ . Учитывая уравнение

(-\partial _{x}^{2}-z)u(x)=F(x),\quad x\in \mathbb {R} ,\quad F\in L^{2}(\mathbb {R} )

,

тогда для спектрального параметра $z$ из резольвентного множества $\mathbb {C} \setminus [0,+\infty )$ , решение $u\in L^{2}(\mathbb {R} )$ дается $u(x)=(R(z)F)(x)=(G(\cdot ,z)*F)(x),$ где $G(\cdot ,z)*F$ является сверткой F $G$ с решением $:$ фундаментальным

(G(\cdot ,z)*F)(x)=\int _{\mathbb {R} }G(x-y;z)F(y)\,dy,

где фундаментальное решение имеет вид

G(x;z)={\frac {1}{2{\sqrt {-z}}}}e^{-|x|{\sqrt {-z}}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus [0,+\infty ).

Чтобы получить оператор, ограниченный в $L^{2}(\mathbb {R} )$ , необходимо использовать ветвь квадратного корня, которая имеет положительную действительную часть (которая затухает при больших абсолютных значениях $x$ ), так что свертка $G$ с $F\in L^{2}(\mathbb {R} )$ имеет смысл.

Можно также рассмотреть предел фундаментального решения $G(x;z)$ как $z$ приближается к спектру $-\partial _{x}^{2}$ , заданный $\sigma (-\partial _{x}^{2})=[0,+\infty )$ .Предположим, что $z$ подходы $k^{2}$ , с некоторыми $k>0$ . В зависимости от того, $z$ подходы $k^{2}$ в комплексной плоскости сверху ( $\Im (z)>0$ ) или снизу ( $\Im (z)<0$ ) вещественной оси будут два разных предельных выражения: $G_{+}(x;k^{2})=\lim _{\varepsilon \to 0+}G(x;k^{2}+i\varepsilon )=-{\frac {1}{2ik}}e^{i|x|k}$ когда $z\in \mathbb {C}$ подходы $k^{2}\in (0,+\infty )$ сверху и $G_{-}(x;k^{2})=\lim _{\varepsilon \to 0+}G(x;k^{2}-i\varepsilon )={\frac {1}{2ik}}e^{-i|x|k}$ когда $z$ подходы $k^{2}\in (0,+\infty )$ снизу.Резольвента $R_{+}(k^{2})$ (свертка с $G_{+}(x;k^{2})$ ) соответствует уходящим волнам неоднородного уравнения Гельмгольца $(-\partial _{x}^{2}-k^{2})u(x)=F(x)$ , пока $R_{-}(k^{2})$ соответствует приходящим волнам.Это напрямую связано с принципом ограничения амплитуды :найти, какое решение соответствует уходящим волнам,рассматривается неоднородное волновое уравнение

(\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2})\psi (t,x)=F(x)e^{-ikt},\quad t\geq 0,\quad x\in \mathbb {R} ,

с нулевыми исходными данными $\psi (0,x)=0,\,\partial _{t}\psi (t,x)|_{t=0}=0$ . Частное решение неоднородного уравнения Гельмгольца, соответствующее уходящим волнам, получено как предел $\psi (t,x)e^{ikt}$ на большие сроки. ^[3]

Оценки в весовых пространствах

Позволять $A:\,X\to X$ — линейный оператор в банаховом пространстве $X$ , определенный в домене $D(A)\subset X$ .Для значений спектрального параметра из резольвентного множества оператора $z\in \rho (A)\subset \mathbb {C}$ , резольвента $R(z)=(A-zI)^{-1}$ ограничен, если рассматривать его как линейный оператор, действующий из $X$ самому себе, $R(z):\,X\to X$ , но его оценка зависит от спектрального параметра $z$ и стремится к бесконечности, так как $z$ приближается к спектру оператора, $\sigma (A)=\mathbb {C} \setminus \rho (A)$ . Точнее, существует соотношение

\Vert R(z)\Vert \geq {\frac {1}{\operatorname {dist} (z,\sigma (A))}},\qquad z\in \rho (A).

Многие учёные ссылаются на «принцип предельного поглощения», когда хотят сказать, что резольвента $R(z)$ конкретного оператора $A$ , если рассматривать его как действующий в определенных весовых пространствах, имеет предел (и/или остается равномерно ограниченным) как спектральный параметр $z$ приближается к существенному спектру , $\sigma _{\mathrm {ess} }(A)$ . Например, в приведенном выше примере оператора Лапласа в одном измерении: $A=-\partial _{x}^{2}:\,L^{2}(\mathbb {R} )\to L^{2}(\mathbb {R} )$ , определенный в домене $D(A)=H^{2}(\mathbb {R} )$ , для $z>0$ , оба оператора $R_{\pm }(z)$ с целыми ядрами $G_{\pm }(x-y;z)$ не ограничены $L^{2}$ (то есть как операторы из $L^{2}$ самому себе), но оба будут равномерно ограничены, если рассматривать их как операторы

R_{\pm }(z):\;L_{s}^{2}(\mathbb {R} )\to L_{-s}^{2}(\mathbb {R} ),\quad s>1/2,\quad z\in \mathbb {C} \setminus [0,+\infty ),\quad |z|\geq \delta ,

с фиксированным $\delta >0$ . Пространства $L_{s}^{2}(\mathbb {R} )$ определяются как пространства локально интегрируемых функций таких, что их $L_{s}^{2}$ -норма,

\Vert u\Vert _{L_{s}^{2}(\mathbb {R} )}^{2}=\int _{\mathbb {R} }(1+x^{2})^{s}|u(x)|^{2}\,dx,

конечно. ^[4]^[5]

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б В.в. Игнатовский (1905). «Отражение электромагнитных волн на сквозняке» . Анналы физики . 18 (13): 495–522. Бибкод : 1905АнП...323..495И . дои : 10.1002/andp.19053231305 .
^ Jump up to: ^а ^б Sveshnikov, A.G. (1950). "Radiation principle" . Doklady Akademii Nauk SSSR . Novaya Seriya. 5 : 917–920.
^ Jump up to: ^а ^б Смирнов, В.И. (1974). Курс высшей математики . Том. 4 (6-е изд.). Москва, Наука.
^ Агмон, С. (1975). «Спектральные свойства операторов Шрёдингера и теория рассеяния» (PDF) . Энн. Скуола Норм. Как дела. Пиза Кл. наук. (4) . 2 : 151–218.
^ Рид, Майкл С .; Саймон, Барри (1978). Методы современной математической физики. Анализ операторов . Том. 4. Академическая пресса. ISBN 0-12-585004-2 .

[ignatowsky1905reflexion-1] Jump up to: ^а ^б В.в. Игнатовский (1905). «Отражение электромагнитных волн на сквозняке» . Анналы физики . 18 (13): 495–522. Бибкод : 1905АнП...323..495И . дои : 10.1002/andp.19053231305 .

[sveshnikov1950radiation-2] Jump up to: ^а ^б Sveshnikov, A.G. (1950). "Radiation principle" . Doklady Akademii Nauk SSSR . Novaya Seriya. 5 : 917–920.

[smirnov-3] Jump up to: ^а ^б Смирнов, В.И. (1974). Курс высшей математики . Том. 4 (6-е изд.). Москва, Наука.

[4] Агмон, С. (1975). «Спектральные свойства операторов Шрёдингера и теория рассеяния» (PDF) . Энн. Скуола Норм. Как дела. Пиза Кл. наук. (4) . 2 : 151–218.

[5] Рид, Майкл С .; Саймон, Барри (1978). Методы современной математической физики. Анализ операторов . Том. 4. Академическая пресса. ISBN 0-12-585004-2 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]