Принцип ограничения амплитуды

В математике принцип предельной амплитуды — это концепция теории операторов и теории рассеяния, используемая для выбора конкретного решения уравнения Гельмгольца . Выбор осуществляется путем рассмотрения конкретной нестационарной задачи о вынужденных колебаниях, обусловленных действием периодической силы.Принцип был введен Андреем Николаевичем Тихоновым и Александром Андреевичем Самарским . Он тесно связан с принципом предельного поглощения (1905 г.) и условием излучения Зоммерфельда (1912 г.).Терминологию - как принцип предельного поглощения, так и принцип предельной амплитуды - ввел Алексей Свешников .

Формулировка

Чтобы найти какое решение уравнения Гельмгольца с ненулевой правой частью

$\Delta v(x)+k^{2}v(x)=-F(x),\quad x\in \mathbb {R} ^{3},$

с некоторыми фиксированными $k>0$, соответствует уходящим волнам,рассматривается волновое уравнение с исходным членом,

$(\Delta -\partial _{t}^{2})u(x,t)=-F(x)e^{-ikt},\quad t\geq 0,\quad x\in \mathbb {R} ^{3},$

с нулевыми исходными данными $u(x,0)=0,\,\partial _{t}u(x,0)=0$. Частное решение уравнения Гельмгольца, соответствующее уходящим волнам, получается как предел

$v(x)=\lim _{t\to +\infty }u(x,t)e^{ikt}$

на большие сроки.

См. также

• Принцип предельного поглощения
• Радиационное состояние Зоммерфельда