Пространство Фреше

Эта статья о пространствах Фреше в функциональном анализе. О пространствах Фреше в общей топологии см. Пространство T1 . Чтобы узнать о типе секвенциального пространства, см. Пространство Фреше – Урысона .

В функциональном анализе и смежных областях пространства математики Фреше , названные в честь Мориса Фреше , представляют собой специальные топологические векторные пространства . Они являются обобщениями банаховых пространств ( нормированных векторных пространств , полных относительно метрики, индуцированной нормой ) . Все банаховые и гильбертовы пространства являются пространствами Фреше. Пространства бесконечно дифференцируемых функций являются типичными примерами пространств Фреше, многие из которых обычно не являются банаховыми пространствами.

Пространство Фреше $X$ определяется как локально выпуклое метризуемое топологическое векторное пространство (TVS), полное как TVS , это означает, что каждая последовательность Коши в $X$ сходится к некоторой точке $X$ (более подробную информацию см. в сноске).

Важное примечание : не все авторы требуют, чтобы пространство Фреше было локально выпуклым (обсуждается ниже).

Топология каждого пространства Фреше индуцируется некоторой трансляционно-инвариантной полной метрикой . Обратно, если топология локально выпуклого пространства $X$ индуцируется трансляционно-инвариантной полной метрикой, то $X$ является пространством Фреше.

Фреше был первым, кто использовал термин « банахово пространство », а Банах, в свою очередь, затем ввёл термин «пространство Фреше» для обозначения полного метризуемого топологического векторного пространства без требования локальной выпуклости (такое пространство сегодня часто называют « F- пространством»). космос "). Требование локальной выпуклости было добавлено позже Николя Бурбаки . Важно отметить, что значительное количество авторов (например, Шефер) используют «F-пространство» для обозначения (локально выпуклого) пространства Фреше, в то время как другие не требуют, чтобы «пространство Фреше» было локально выпуклым. Более того, некоторые авторы даже используют « F -пространство» и «пространство Фреше» как синонимы. При чтении математической литературы читателю рекомендуется всегда проверять, требует ли данное в книге или статье определение « F -пространства» и «пространства Фреше» локальной выпуклости.

Определения

Пространства Фреше можно определить двумя эквивалентными способами: первый использует трансляционно-инвариантную метрику , второй — счетное семейство полунорм .

Определение инвариантной метрики

Топологическое векторное пространство $X$ является пространством Фреше тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим трем свойствам:

1. Оно локально выпукло .
2. Его топология может быть индуцирована трансляционно-инвариантной метрикой, т. е. метрикой $d:X\times X\to \mathbb {R}$ такой, что $d(x,y)=d(x+z,y+z)$ для всех $x,y,z\in X.$ Это означает, что подмножество $U$ из $X$ открыт тогда и только тогда , когда для каждого $u\in U$ существует $r>0$ такой, что $\{v:d(v,u)<r\}$ является подмножеством $U.$
3. Некоторая (или, что то же самое, каждая) трансляционно-инвариантная метрика на $X$ создание топологии $X$ завершен ​ .
   • Если предположить, что два других условия выполнены, это условие эквивалентно $X$ будучи полным топологическим векторным пространством , это означает, что $X$ является полным однородным пространством , если оно наделено канонической однородностью (эта каноническая однородность не зависит от какой-либо метрики на $X$ и полностью определяется в терминах векторного вычитания и $X$окрестности происхождения; более того, однородность, индуцированная любой (определяющей топологию) трансляционно-инвариантной метрикой на $X$ тождественно этой канонической однородности).

Обратите внимание, что не существует естественного понятия расстояния между двумя точками пространства Фреше: множество различных трансляционно-инвариантных метрик могут вызывать одну и ту же топологию.

Определение счетного семейства полунорм

Альтернативное и несколько более практичное определение следующее: топологическое векторное пространство. $X$ является пространством Фреше тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим трем свойствам:

1. Это пространство Хаусдорфа .
2. Его топология может быть индуцирована счетным семейством полунорм. $(\|\cdot \|_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}$. Это означает, что подмножество $U\subseteq X$ открыт тогда и только тогда, когда для каждого $u\in U$ существуют $K\geq 0$ и $r>0$ такой, что $\{v\in X:\|v-u\|_{k}<r{\text{ for all }}k\leq K\}$ является подмножеством $U$.
3. Оно полно относительно семейства полунорм.

Семья ${\mathcal {P}}$ полунорм по $X$ дает топологию Хаусдорфа тогда и только тогда, когда $$\bigcap _{\|\cdot \|\in {\mathcal {P}}}\{x\in X:\|x\|=0\}=\{0\}.$$

Последовательность $\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ в $X$ сходится к $x$ в пространстве Фреше, определенном семейством полунорм тогда и только тогда, когда оно сходится к $x$ относительно каждой из заданных полунорм.

Как перепончатые пространства Бэра

Теорема  (де Уайльд, 1978) - Топологическое векторное пространство. $X$ является пространством Фреше тогда и только тогда, когда оно является одновременно перепончатым пространством и пространством Бэра .

Сравнение с банаховыми пространствами

В отличие от банаховых пространств , полная трансляционно-инвариантная метрика не обязательно возникает из нормы. Однако топология пространства Фреше возникает как из полной паранормы , так и из F -нормы ( F означает Фреше).

Несмотря на то, что топологическая структура пространств Фреше более сложна, чем у банаховых пространств из-за потенциального отсутствия нормы, многие важные результаты функционального анализа, такие как теорема об открытом отображении , теорема о замкнутом графике и теорема Банаха – Штейнхауза , еще держись.

Построение пространств Фреше

Напомним, что полунорма $\|\cdot \|$ это функция из векторного пространства $X$ действительным числам, удовлетворяющим трем свойствам. Для всех $x,y\in X$ и все скаляры $c,$ $$\|x\|\geq 0$$ $$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$$ $$\|c\cdot x\|=|c|\|x\|$$

Если $\|x\|=0\iff x=0$, затем $\|\cdot \|$ на самом деле это норма. Однако полунормы полезны тем, что позволяют нам строить пространства Фреше следующим образом:

Чтобы построить пространство Фреше, обычно начинают с векторного пространства. $X$ и определяет счетное семейство полунорм $\|\cdot \|_{k}$ на $X$ со следующими двумя свойствами:

• если $x\in X$ и $\|x\|_{k}=0$ для всех $k\geq 0,$ затем $x=0$;
• если $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ представляет собой последовательность в $X$ что является Коши относительно каждой полунормы $\|\cdot \|_{k},$ тогда существует $x\in X$ такой, что $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ сходится к $x$ относительно каждой полунормы $\|\cdot \|_{k}.$

Тогда топология, индуцированная этими полунормами (как объяснялось выше), превращается в $X$ в пространство Фреше; первое свойство гарантирует, что оно является Хаусдорфом, а второе свойство гарантирует, что оно полно. Трансляционно-инвариантная полная метрика, индуцирующая ту же топологию на $X$ тогда может быть определено с помощью $$d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty }2^{-k}{\frac {\|x-y\|_{k}}{1+\|x-y\|_{k}}}\qquad x,y\in X.$$

Функция $u\mapsto {\frac {u}{1+u}}$ карты $[0,\infty )$ монотонно к $[0,1),$ и поэтому приведенное выше определение гарантирует, что $d(x,y)$ «маленький» тогда и только тогда, когда существует $K$ «большой» такой, что $\|x-y\|_{k}$ является «маленьким» для $k=0,\ldots ,K.$

Примеры

Из чистого функционального анализа

• Каждое банахово пространство является пространством Фреше, поскольку норма индуцирует трансляционно-инвариантную метрику, и пространство полно относительно этой метрики.
• Пространство ​ $\mathbb {R} ^{\omega }$ всех действительных последовательностей (также обозначаемых $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$) становится пространством Фреше, если мы определим $k$-я полунорма последовательности должна быть абсолютным значением $k$-й элемент последовательности. Сходимость в этом пространстве Фреше эквивалентна поэлементной сходимости.

Из гладких многообразий

• Векторное пространство $C^{\infty }([0,1])$ всех бесконечно дифференцируемых функций $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ становится пространством Фреше с полунормами $$\|f\|_{k}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [0,1]\}$$ для каждого неотрицательного целого числа $k.$ Здесь, $f^{(k)}$ обозначает $k$-я производная от $f,$ и $f^{(0)}=f.$ В этом пространстве Фреше последовательность $\left(f_{n}\right)\to f$ функций сходится к элементу $f\in C^{\infty }([0,1])$ тогда и только тогда, когда для каждого неотрицательного целого числа $k\geq 0,$ последовательность $\left(f_{n}^{(k)}\right)\to f^{(k)}$ сходится равномерно .
• Векторное пространство $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ всех бесконечно дифференцируемых функций $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ становится пространством Фреше с полунормами $$\|f\|_{k,n}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [-n,n]\}$$ для всех целых чисел $k,n\geq 0.$ Тогда последовательность функций $\left(f_{n}\right)\to f$ сходится тогда и только тогда, когда для каждого $k,n\geq 0,$ последовательности $\left(f_{n}^{(k)}\right)\to f^{(k)}$ компактно сходятся .
• Векторное пространство $C^{m}(\mathbb {R} )$ из всех $m$-раз непрерывно дифференцируемые функции $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ становится пространством Фреше с полунормами $$\|f\|_{k,n}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [-n,n]\}$$ для всех целых чисел $n\geq 0$ и $k=0,\ldots ,m.$
• Если $M$ представляет собой компактный $C^{\infty }$- многообразие и $B$ является банаховым пространством , то множество $C^{\infty }(M,B)$ всех бесконечно часто дифференцируемых функций $f:M\to B$ можно превратить в пространство Фреше, используя в качестве полунорм верхние границы норм всех частных производных. Если $M$ (не обязательно компактный) $C^{\infty }$-многообразие, допускающее счетную последовательность $K^{n}$ компактных подмножеств, так что каждое компактное подмножество $M$ содержится хотя бы в одном $K^{n},$ тогда пробелы $C^{m}(M,B)$ и $C^{\infty }(M,B)$ естественным образом также являются пространством Фреше. В частном случае каждое гладкое конечномерное полное многообразие $M$ можно превратить в такое вложенное объединение компактных подмножеств: снабдить его римановой метрикой $g$ что индуцирует метрику $d(x,y),$ выбирать $x\in M,$ и пусть $$K_{n}=\{y\in M:d(x,y)\leq n\}\ .$$ Позволять $X$ быть компактным $C^{\infty }$- многообразие и $V$ векторное расслоение над $X.$ Позволять $C^{\infty }(X,V)$ обозначим пространство гладких участков $V$ над $X.$ Выбрать на расслоениях римановы метрики и связности, существование которых гарантировано. $TX$ и $V.$ Если $s$ — сечение, обозначим его j ^й ковариантная производная по $D^{j}s.$ Затем $$\|s\|_{n}=\sum _{j=0}^{n}\sup _{x\in M}|D^{j}s|$$ (где $\|\,\cdot \,\|$ — норма, индуцированная римановой метрикой) — семейство полунорм, составляющих $C^{\infty }(M,V)$ в пространство Фреше.

Из голоморфности

• Позволять $H$ — пространство целых (всюду голоморфных ) функций на комплексной плоскости. Тогда семейство полунорм $$\left|f\right|_{n}=\sup\{\left|f(z)\right|:|z|\leq n\}$$ делает $H$ в пространство Фреше.
• Позволять $H$ — пространство целых (всюду голоморфных) функций экспоненциального типа $\tau .$ Тогда семейство полунорм $$\left|f\right|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]\left|f(z)\right|$$ делает $H$ в пространство Фреше.

Не все векторные пространства с полными трансляционно-инвариантными метриками являются пространствами Фреше. Примером может служить пространство $L^{p}([0,1])$ с $p<1.$ Хотя это пространство не является локально выпуклым, оно является F-пространством .

Свойства и дополнительные понятия

Если пространство Фреше допускает непрерывную норму, то все полунормы, используемые для его определения, можно заменить нормами, добавив эту непрерывную норму к каждой из них. Банахово пространство, $C^{\infty }([a,b]),$ $C^{\infty }(X,V)$ с $X$ компактный и $H$ все признают нормы, в то время как $\mathbb {R} ^{\omega }$ и $C(\mathbb {R} )$ не.

Замкнутое подпространство пространства Фреше является пространством Фреше. Фактор пространства Фреше по замкнутому подпространству является пространством Фреше. Прямая сумма конечного числа пространств Фреше является пространством Фреше.

Произведение счетного числа пространств Фреше всегда снова является пространством Фреше. Однако произвольное произведение пространств Фреше будет пространством Фреше тогда и только тогда, когда все из них, за исключением не более чем счетного числа, тривиальны (т. е. имеют размерность 0). Следовательно, произведение бесчисленного числа нетривиальных пространств Фреше не может быть пространством Фреше (действительно, такое произведение даже не метризуемо, поскольку его начало не может иметь счетного базиса окрестности). Так, например, если $I\neq \varnothing$ это любой набор и $X$ — любое нетривиальное пространство Фреше (например, $X=\mathbb {R}$ например), то произведение $X^{I}=\prod _{i\in I}X$ является пространством Фреше тогда и только тогда, когда $I$ является счетным множеством.

Несколько важных инструментов функционального анализа, основанных на теореме Бэра о категориях, остаются верными и в пространствах Фреше; примерами являются теорема о замкнутом графике и теорема об открытом отображении . Теорема об открытом отображении означает, что если $\tau {\text{ and }}\tau _{2}$ топологии на $X$ это делает оба $(X,\tau )$ и $\left(X,\tau _{2}\right)$ на полные метризуемые TVS (такие как пространства Фреше), и если одна топология тоньше или грубее другой, то они должны быть равны (т. е. если $\tau \subseteq \tau _{2}{\text{ or }}\tau _{2}\subseteq \tau {\text{ then }}\tau =\tau _{2}$).

Каждый ограниченный линейный оператор из пространства Фреше в другое топологическое векторное пространство (ТВП) непрерывен.

Существует пространство Фреше $X$ наличие ограниченного подмножества $B$ а также плотное векторное подпространство $M$ такой, что $B$ содержится не в замыкании (в $X$) любого ограниченного подмножества $M.$

Все пространства Фреше являются пространствами стереотипов . В теории стереотипных пространств пространства Фреше являются объектами, двойственными пространствам Браунера . Все метризуемые пространства сепарабельны . Монтеля Сепарабельное слабо пространство Фреше является пространством Монтеля тогда и только тогда, когда каждая сходящаяся последовательность в своих непрерывных двойственных последовательность сходится сильно .

Сильное двойное пространство $X_{b}^{\prime }$ пространства Фреше (и, вообще, любого метризуемого локально выпуклого пространства ) $X$ является DF-пространством . Сильным двойственным DF-пространством является пространство Фреше. Сильным двойником рефлексивного пространства Фреше является борнологическое пространство. и пространство Птака . Каждое пространство Фреше является пространством Птака. Сильное бидуальное пространство (т. е. сильное двойственное к сильному двойственному пространству) метризуемого локально выпуклого пространства является пространством Фреше.

Нормы и нормируемость

Смотрите также: Метризируемое топологическое векторное пространство § Нормируемость

Если $X$ является локально выпуклым пространством, то топология $X$ может быть задано семейством непрерывных норм на $X$ ( норма является положительно определенной полунормой ) тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна непрерывная норма на $X.$ Даже если пространство Фреше имеет топологию, которая определяется (счетным) семейством норм (все нормы также являются полунормами), то оно, тем не менее, может не быть нормируемым пространством (это означает, что его топология не может быть определена какой-либо одной нормой). ). Пространство всех последовательностей $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ (с топологией произведения) является пространством Фреше. Не существует хаусдорфовой локально выпуклой топологии на $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ это строго грубее, чем эта топология продукта. Пространство $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ не является нормируемым , что означает, что его топология не может быть определена никакой нормой . Кроме того, не существует какой-либо непрерывной нормы о $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.$ В самом деле, как показывает следующая теорема, всякий раз, когда $X$ является пространством Фреше, на котором не существует никакой непрерывной нормы, то это целиком связано с наличием $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ как подпространство.

Теорема - Позволять $X$ быть пространством Фреше над полем $\mathbb {K} .$ Тогда следующие условия эквивалентны:

1. $X$ не допускает непрерывной нормы (т. е. никакой непрерывной полунормы на $X$ может не быть нормой).
2. $X$ содержит векторное подпространство, TVS-изоморфное $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.$
3. $X$ содержит дополняемое векторное подпространство , TVS-изоморфное $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.$

Если $X$ — ненормируемое пространство Фреше, на котором существует непрерывная норма, то $X$ содержит замкнутое векторное подпространство, не имеющее топологического дополнения .

Метризуемое локально выпуклое пространство нормируется тогда и только тогда, когда его сильное двойственное пространство является локально выпуклым пространством Фреше–Урысона . В частности, если локально выпуклое метризуемое пространство $X$ (например, пространство Фреше) не является нормируемым (что может произойти только в том случае, если $X$ бесконечномерно), то его сильное двойственное пространство $X_{b}^{\prime }$ не является пространством Фреше–Урысона и, следовательно, это полное хаусдорфово локально выпуклое пространство $X_{b}^{\prime }$ также не является ни метризуемым, ни нормируемым.

Сильное двойственное пространство к пространству Фреше (и, в более общем смысле, к борнологическим пространствам , таким как метризуемые TVS) всегда является полным TVS и поэтому, как и любое полное TVS, оно нормируемо тогда и только тогда, когда его топология может быть индуцирована полной нормой ( то есть тогда и только тогда, когда его можно превратить в банахово пространство , имеющее ту же топологию). Если $X$ является пространством Фреше, тогда $X$ нормируется тогда и только тогда, когда существует полная норма в его непрерывном сопряженном пространстве. $X'$ такая, что норма индуцировала топологию на $X'$ тоньше , чем топологияweak-*. Следовательно, если пространство Фреше не является нормируемым (что может произойти только в том случае, если оно бесконечномерно), то и его сильное двойственное пространство не является нормируемым.

Теорема Андерсона – Кадека

Теорема Андерсона-Кадека . Каждое бесконечномерное сепарабельное вещественное пространство Фреше гомеоморфно $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },$ декартово произведение счетного числа копий реальной строки $\mathbb {R} .$

Заметим, что гомеоморфизм, описанный в теореме Андерсона–Кадека, не обязательно линеен.

Эйдельгейта Теорема . Пространство Фреше либо изоморфно банаховому пространству, либо имеет фактор-пространство, изоморфное банаховому пространству. $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.$

Дифференциация функций

Основная статья: Дифференцирование в пространствах Фреше

Если $X$ и $Y$ являются пространствами Фреше, то пространство $L(X,Y)$ состоящий из всех непрерывных линейных отображений из $X$ к $Y$ является не естественным образом пространством Фреше. Это главное различие между теорией банаховых пространств и теорией пространств Фреше, которое требует другого определения непрерывной дифференцируемости функций, определенных в пространствах Фреше, производной Гато :

Предполагать $U$ является открытым подмножеством пространства Фреше $X,$ $P:U\to Y$ это функция со значением в пространстве Фреше $Y,$ $x\in U$ и $h\in X.$ Карта $P$ дифференцируема в $x$ в направлении $h$ если предел $$D(P)(x)(h)=\lim _{t\to 0}\,{\frac {1}{t}}\left(P(x+th)-P(x)\right)$$ существует. Карта $P$ называется непрерывно дифференцируемой по $U$ если карта $$D(P):U\times X\to Y$$ является непрерывным. Поскольку произведение пространств Фреше снова является пространством Фреше, мы можем попытаться дифференцировать $D(P)$ и определим высшие производные $P$ таким образом.

Оператор производной $P:C^{\infty }([0,1])\to C^{\infty }([0,1])$ определяется $P(f)=f'$ само по себе бесконечно дифференцируемо. Первая производная определяется выражением $$D(P)(f)(h)=h'$$ для любых двух элементов $f,h\in C^{\infty }([0,1]).$ Это главное преимущество пространства Фреше. $C^{\infty }([0,1])$ над банаховым пространством $C^{k}([0,1])$ для конечного $k.$

Если $P:U\to Y$ — непрерывно дифференцируемая функция, то дифференциальное уравнение $$x'(t)=P(x(t)),\quad x(0)=x_{0}\in U$$ не обязательно должно иметь какие-либо решения, а даже если и имеет, решения не обязательно должны быть уникальными. Это резко контрастирует с ситуацией в банаховых пространствах.

В общем, теорема об обратной функции неверна в пространствах Фреше, хотя ее частичной заменой является теорема Нэша – Мозера .

Многообразия Фреше и группы Ли

Основная статья: коллектор Фреше

можно определить Многообразия Фреше как пространства, которые «локально выглядят как» пространства Фреше (точно так же, как обычные многообразия определяются как пространства, которые локально выглядят как евклидово пространство). $\mathbb {R} ^{n}$), и тогда на эти многообразия можно распространить понятие группы Ли . Это полезно, поскольку для данного (обычного) компакта $C^{\infty }$ многообразие $M,$ набор всего $C^{\infty }$ диффеоморфизмы $f:M\to M$ в этом смысле образует обобщенную группу Ли, и эта группа Ли отражает симметрии $M.$ Некоторые отношения между алгебрами Ли и группами Ли остаются в силе и в этом случае.

Другим важным примером группы Ли Фреше является группа петель компактной группы Ли. $G,$ гладкий ( $C^{\infty }$) отображения $\gamma :S^{1}\to G,$ поточечно умноженное на $\left(\gamma _{1}\gamma _{2}\right)(t)=\gamma _{1}(t)\gamma _{2}(t)..$

Обобщения

Если отбросить требование локальной выпуклости пространства, мы получим F-пространства : векторные пространства с полными трансляционно-инвариантными метриками.

LF-пространства являются счетными индуктивными пределами пространств Фреше.

См. также

• Банахово пространство - полное нормированное векторное пространство.
• Пространство Браунера - полное компактно сгенерированное локально выпуклое пространство с последовательностью компактов Kₙ, такая что любой компакт содержится на некоторых страницах Kₙ, отображающих описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Полное метрическое пространство - Метрическая геометрия
• Полное топологическое векторное пространство - TVS, в котором точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда сходятся к одной точке.
• F-пространство - топологическое векторное пространство с полной трансляционно-инвариантной метрикой.
• Решетка Фреше - Топологическая векторная решетка
• Градуированное пространство Фреше – обобщение теоремы об обратной функции. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Гильбертово пространство - тип топологического векторного пространства.
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Метризуемое топологическое векторное пространство - топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.
• Сюръекция пространств Фреше - Характеристика сюръективности
• Ручное пространство Фреше – обобщение теоремы об обратной функции. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.

Ссылки

• «Пространство Фреше» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-90081-0 . ОСЛК   878109401 .
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-97245-9 . OCLC   21195908 .
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6 . ОСЛК   30593138 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . OCLC   8210342 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Прессли, Эндрю; Сигал, Грэм (1986). Группы циклов . Оксфордские математические монографии. Оксфордские научные публикации. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета . ISBN  0-19-853535-Х . МР   0900587 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Сергеев, Армен (2010). Кэлерова геометрия пространств петель . Мемуары Математического общества Японии. Том. 23. Мировое научное издательство . дои : 10.1142/e023 . ISBN  978-4-931469-60-0 .
• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том. 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-08662-8 . OCLC   297140003 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  978-0-8247-8643-4 . ОСЛК   24909067 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .