ФК-пространство

В функциональном анализе и смежных областях математики ФК -пространство или координатное пространство Фреше представляет собой пространство последовательностей, снабженное топологической структурой, так что оно становится пространством Фреше . FK-пространства с нормируемой топологией называются BK-пространствами .

Существует только одна топология, позволяющая превратить пространство последовательностей в пространство Фреше , а именно топология поточечной сходимости . называется Таким образом, координатное пространство , потому что последовательность в FK-пространстве сходится тогда и только тогда, когда она сходится по каждой координате.

FK-пространства являются примерами топологических векторных пространств . Они важны в теории суммируемости .

Определение

FK -пространство — это пространство последовательностей. $X$, то есть линейное подпространство векторного пространства всех комплексных последовательностей, оснащенное топологией поточечной сходимости .

Записываем элементы $X$ как

$$\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$$

с $x_{n}\in \mathbb {C}$.

Затем последовательность $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }^{(k)}$ в $X$ сходится к какой-то точке $\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ если оно сходится поточечно для каждого $n.$ То есть

$$\lim _{k\to \infty }\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }^{(k)}=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$$

если для всех $n\in \mathbb {N} ,$

$$\lim _{k\to \infty }a_{n}^{(k)}=x_{n}$$

Примеры

Пространство последовательности $\omega$ всех комплексных последовательностей тривиально является FK-пространством.

Свойства

Учитывая FK-пространство $X$ и $\omega$ с топологией поточечной сходимости отображение включения

$$\iota :X\to \omega$$

является непрерывной функцией .

FK-пространственные конструкции

Учитывая счетное семейство FK-пространств. $\left(X_{n},P_{n}\right)$ с $P_{n}$ счетное семейство полунорм , определим

$$X:=\bigcap _{n=1}^{\infty }X_{n}$$

и

$$P:=\left\{p_{\vert X}:p\in P_{n}\right\}.$$

Затем $(X,P)$ снова является FK-пространством.

См. также

• BK-пространство – банахово пространство последовательностей – FK-пространство с нормируемой топологией.
• ФК-АК космос
• Пространство последовательностей - векторное пространство бесконечных последовательностей.