DF-пространство

В математической области анализа функционального DF-пространства , также записываемые ( DF )-пространства, представляют собой локально выпуклые топологические векторные пространства , обладающие свойством, которое является общим для локально выпуклых метризуемых топологических векторных пространств . Они играют значительную роль в теории топологических тензорных произведений. ^[1]

DF-пространства были впервые определены Александром Гротендиком и подробно изучены им в ( Grotendieck 1954 ). Гротендика побудило ввести эти пространства следующее свойство сильных двойственных метризуемых пространств: если $X$ — метризуемое локально выпуклое пространство и $V_{1},V_{2},\ldots$ представляет собой последовательность выпуклых 0-окрестностей в $X_{b}^{\prime }$ такой, что $V:=\cap _{i}V_{i}$ поглощает каждое сильно ограниченное множество, то $V$ является 0-окрестностью в $X_{b}^{\prime }$ (где $X_{b}^{\prime }$ представляет собой непрерывное двойственное пространство $X$ наделенный сильной дуальной топологией). ^[2]

Определение [ править ]

( Локально выпуклое топологическое векторное пространство ТВП) $X$ является DF-пространством , также пишется ( DF )-пространством , если ^[1]

$X$ является счетным квазибочечным пространством (т.е. каждое сильно ограниченное счетное объединение равнонепрерывных подмножеств $X^{\prime }$ равнонепрерывно), и
$X$ обладает фундаментальной последовательностью ограниченных (т.е. существует счетная последовательность ограниченных подмножеств $B_{1},B_{2},\ldots$ такая, что каждое ограниченное подмножество $X$ содержится в каком-то $B_{i}$ ^[3]).

Свойства [ править ]

Позволять $X$ — DF-пространство и пусть $V$ быть выпуклым сбалансированным подмножеством $X.$ Затем $V$ является окрестностью начала координат тогда и только тогда, когда для любого выпуклого, сбалансированного, ограниченного подмножества $B\subseteq X,$ $B\cap V$ является окрестностью начала координат в $B.$ ^[1] Следовательно, линейное отображение DF-пространства в локально-выпуклое пространство является непрерывным, если его ограничение на каждое ограниченное подмножество области непрерывно. ^[1]
Сильное двойственное пространство к DF-пространству является пространством Фреше . ^[4]
Каждое бесконечномерное Монтеля DF-пространство является секвенциальным пространством , но не пространством Фреше –Урысона .
Предполагать $X$ является либо DF-пространством, либо LM-пространством . Если $X$ является секвенциальным пространством , то оно либо метризуемо , либо является DF-пространством Монтеля .
Каждое квазиполное DF-пространство полно. ^[5]
Если $X$ является полным ядерным DF-пространством, тогда $X$ это пространство Монтеля . ^[6]

Достаточные условия [ править ]

Сильное двойное пространство $X_{b}^{\prime }$ пространства Фреше $X$ является DF-пространством. ^[7]

Сильным двойником метризуемого локально выпуклого пространства является DF-пространство ^[8] но конверсы это вообще не правда ^[8](обратным является утверждение, что каждое DF-пространство является сильным двойственным некоторым метризуемым локально выпуклым пространствам). Отсюда следует:
- Каждое нормированное пространство является DF-пространством. ^[9]
- Каждое банахово пространство является DF-пространством. ^[1]
- Всякое инфраствольное пространство , обладающее фундаментальной последовательностью ограниченных множеств, является DF-пространством.
Каждый фактор Хаусдорфа DF-пространства является DF-пространством. ^[10]
Пополнение DF -пространства является DF-пространством. ^[10]
Локально выпуклая сумма последовательности DF-пространств является DF-пространством. ^[10]
Индуктивный предел последовательности DF-пространств является DF-пространством. ^[10]
Предположим, что $X$ и $Y$ являются DF-пространствами. Тогда проективное тензорное произведение , как и его пополнение, этих пространств является DF-пространством. ^[6]

Однако,

Бесконечное произведение нетривиальных DF-пространств (т.е. все факторы имеют ненулевую размерность) не является DF-пространством. ^[10]
Замкнутое векторное подпространство DF-пространства не обязательно является DF-пространством. ^[10]
Существуют полные DF-пространства, не TVS-изоморфные сильному двойственному метризуемому локально выпуклому TVS. ^[10]

Примеры [ править ]

Существуют полные DF-пространства, не TVS-изоморфные сильному двойственному метризуемому локально выпуклому пространству. ^[10] Существуют DF-пространства, имеющие замкнутые векторные подпространства, не являющиеся DF-пространствами. ^[11]

См. также [ править ]

Бочковое пространство — тип топологического векторного пространства.
Счётное квазибочковое пространство
F-пространство - топологическое векторное пространство с полной трансляционно-инвариантной метрикой.
LB-пространство
LF-пространство - Топологическое векторное пространство.
Ядерное пространство - обобщение конечномерных евклидовых пространств, отличное от гильбертовых пространств.
Проективное тензорное произведение - тензорное произведение, определенное в двух топологических векторных пространствах.

Цитаты [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Шефер и Вольф 1999 , стр. 154–155.
^ Шефер и Вольф 1999 , стр. 152, 154.
^ Шефер и Вольф 1999 , с. 25.
^ Шефер и Вольф 1999 , с. 196.
^ Шефер и Вольф 1999 , стр. 190–202.
^ Перейти обратно: ^а ^б Шефер и Вольф 1999 , стр. 199–202.
^ Габриелян, С.С. «О топологических пространствах и топологических группах с некоторыми локальными счетными сетями» (2014).
^ Перейти обратно: ^а ^б Шефер и Вольф 1999 , с. 154.
^ Халилулла 1982 , с. 33.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час Шефер и Вольф 1999 , стр. 196–197.
^ Халилулла 1982 , стр. 103–110.

Библиография [ править ]

Гротендик, Александр (1954). «Sur les espaces (F) et (DF)». Сумма Бразилии. Математика. (На французском). 3 : 57–123. МР 0075542 .
Гротендик, Александр (1955). «Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires» [Топологические тензорные произведения и ядерные пространства]. Мемуары Американского математического общества (на французском языке). 16 . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1216-7 . МР 0075539 . OCLC 1315788 .
Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6 . OCLC 8588370 .
Питч, Альбрехт (1979). Ядерные локально выпуклые пространства . Результаты математики и ее пограничные области. Том 66 (Второе изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN 978-0-387-05644-9 . OCLC 539541 .
Питч, Альбрехт (1972). Ядерные локально-выпуклые пространства . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Publishing. ISBN 0-387-05644-0 . OCLC 539541 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
Вонг, Яу-Чуэн (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Конспект лекций по математике . Том. 726. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09513-2 . OCLC 5126158 .

Внешние ссылки [ править ]

DF-пространство в ncatlab

[FOOTNOTESchaeferWolff1999154–155-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Шефер и Вольф 1999 , стр. 154–155.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999152,_154-2] Шефер и Вольф 1999 , стр. 152, 154.

[FOOTNOTESchaeferWolff199925-3] Шефер и Вольф 1999 , с. 25.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999196-4] Шефер и Вольф 1999 , с. 196.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999190–202-5] Шефер и Вольф 1999 , стр. 190–202.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999199–202-6] Перейти обратно: ^а ^б Шефер и Вольф 1999 , стр. 199–202.

[Gabriyelyan_2014-7] Габриелян, С.С. «О топологических пространствах и топологических группах с некоторыми локальными счетными сетями» (2014).

[FOOTNOTESchaeferWolff1999154-8] Перейти обратно: ^а ^б Шефер и Вольф 1999 , с. 154.

[FOOTNOTEKhaleelulla198233-9] Халилулла 1982 , с. 33.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999196–197-10] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час Шефер и Вольф 1999 , стр. 196–197.

[FOOTNOTEKhaleelulla1982103–110-11] Халилулла 1982 , стр. 103–110.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

v т Это Топологические векторные пространства (ТВП)
Basic concepts	Banach space Completeness Continuous linear operator Linear functional Fréchet space Linear map Locally convex space Metrizability Operator topologies Topological vector space Vector space
Main results	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Closed graph theorem F. Riesz's Hahn–Banach (hyperplane separation Vector-valued Hahn–Banach) Open mapping (Banach–Schauder) Bounded inverse Uniform boundedness (Banach–Steinhaus)
Maps	Bilinear operator form Linear map Almost open Bounded Continuous Closed Compact Densely defined Discontinuous Topological homomorphism Functional Linear Bilinear Sesquilinear Norm Seminorm Sublinear function Transpose
Types of sets	Absolutely convex/disk Absorbing/Radial Affine Balanced/Circled Banach disks Bounding points Bounded Complemented subspace Convex Convex cone (subset) Linear cone (subset) Extreme point Pre-compact/Totally bounded Prevalent/Shy Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric
Set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Convex hull Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Types of TVSs	Asplund B-complete/Ptak Banach (Countably) Barrelled BK-space (Ultra-) Bornological Brauner Complete Convenient (DF)-space Distinguished F-space FK-AK space FK-space Fréchet tame Fréchet Grothendieck Hilbert Infrabarreled Interpolation space K-space LB-space LF-space Locally convex space Mackey (Pseudo)Metrizable Montel Quasibarrelled Quasi-complete Quasinormed (Polynomially Semi-) Reflexive Riesz Schwartz Semi-complete Smith Stereotype (B Strictly Uniformly) convex (Quasi-) Ultrabarrelled Uniformly smooth Webbed With the approximation property
Category