Пространство Смита

В функциональном анализе и смежных областях математики пространство Смита — это полное компактно порожденное локально выпуклое топологическое векторное пространство. $X$ имеющий универсальный компакт , т. е. компакт $K$ который поглощает все остальные компакты $T\subseteq X$ (т.е. $T\subseteq \lambda \cdot K$ для некоторых $\lambda >0$).

Пространства Смита названы в честь Марианна Рут Фрейндлих Смит , которая их познакомила как двойственные банаховым пространствам в некоторых версиях теории двойственности топологических векторных пространств . Все пространства Смита являются стереотипными и находятся в отношениях стереотипной двойственности с банаховыми пространствами :

• для любого банахова пространства $X$ это стереотип двойного пространства $X^{\star }$ является пространством Смита,

• и наоборот, для любого пространства Смита $X$ это стереотип двойного пространства $X^{\star }$ является банаховым пространством.

Пространства Смита являются частными случаями пространств Браунера .

Примеры

• Как следует из теорем двойственности, для любого банахова пространства $X$ это стереотип двойного пространства $X^{\star }$ является пространством Смита. Полярный ​ $K=B^{\circ }$ единичного шара $B$ в $X$ представляет собой универсальный компакт в $X^{\star }$. Если $X^{*}$ обозначает нормированное дуальное пространство для $X$, и $X'$ пространство $X^{*}$ наделенный $X$-слабая топология, то топология $X^{\star }$ лежит между топологией $X^{*}$ и топология $X'$, поэтому существуют естественные (линейные непрерывные) биекции

$X^{*}\to X^{\star }\to X'.$

Если $X$ бесконечномерна, то никакие две из этих топологий не совпадают. В то же время для бесконечномерного $X$ пространство $X^{\star }$ не является бочкообразным (и даже не является пространством Макки, если $X$ рефлексивно как банахово пространство ).

• Если $K$ — выпуклый сбалансированный компакт в локально выпуклом пространстве. $Y$, то его линейная длина ${\mathbb {C} }K=\operatorname {span} (K)$ обладает уникальной структурой пространства Смита с $K$ как универсальный компакт (и с той же топологией на $K$).
• Если $M$ является (хаусдорфовым) компактным топологическим пространством и ${\mathcal {C}}(M)$ банахово пространство непрерывных функций на $M$ (при обычной суп-норме), то стереотип двойного пространства ${\mathcal {C}}^{\star }(M)$ ( радоновых мер по $M$ с топологией равномерной сходимости на компактах в ${\mathcal {C}}(M)$) является пространством Смита. В частном случае, когда $M=G$ наделено структурой топологической группы пространство ${\mathcal {C}}^{\star }(G)$ становится естественным примером стереотипной групповой алгебры .
• Банахово пространство $X$ является пространством Смита тогда и только тогда, когда $X$ является конечномерным.

См. также

• Стереотипное пространство
• Коричневое пространство

Ссылки

• Смит, МФ (1952). «Теорема двойственности Понтрягина в линейных пространствах». Анналы математики . 56 (2): 248–253. дои : 10.2307/1969798 . JSTOR   1969798 .
• Акбаров, С.С. (2003). «Двойственность Понтрягина в теории топологических векторных пространств и в топологической алгебре» . Журнал математических наук . 113 (2): 179–349. дои : 10.1023/А:1020929201133 . S2CID   115297067 .
• Акбаров, СС (2009). «Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственности для групп Штейна с алгебраической связной составляющей единицы». Журнал математических наук . 162 (4): 459–586. arXiv : 0806.3205 . дои : 10.1007/s10958-009-9646-1 . S2CID   115153766 .
• Фурбер, RWJ (2017). Категориальная двойственность в теории вероятностей и квантовых основах (PDF) (доктор философии). Университет Радбауд.