Полностью ограниченное пространство

В топологии смежных разделах математики и тотальная ограниченность — это обобщение компактности для случаев, когда множество не обязательно замкнуто . Полностью ограниченное множество может быть покрыто числом конечным подмножеств каждого фиксированного «размера » (где значение «размера» зависит от структуры окружающего пространства ).

Термин «предкомпактный» (или «предкомпактный» ) иногда используется в том же значении, но «предкомпактный» также используется для обозначения относительно компактного . Эти определения совпадают для подмножеств полного метрического пространства , но не в общем случае.

В метрических пространствах

Метрическое пространство $(M,d)$ тогда вполне ограничен и только тогда, когда для любого действительного числа $\varepsilon >0$ существует конечный набор открытых шаров радиуса $\varepsilon$ центры которых лежат в M и объединение которых содержит $M$ . Эквивалентно, метрическое пространство M вполне ограничено тогда и только тогда, когда для каждого $\varepsilon >0$ , существует конечное покрытие такое, что радиус каждого элемента покрытия не превосходит $\varepsilon$ . Это эквивалентно существованию конечной ε-сети . ^[1] Метрическое пространство называется вполне ограниченным, если каждая последовательность допускает подпоследовательность Коши; в полных метрических пространствах множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено. ^[2]

Каждое вполне ограниченное пространство ограничено (поскольку ограничено объединение конечного числа ограниченных множеств). Обратное верно для подмножеств евклидова пространства (с топологией подпространства ), но не вообще. Например, бесконечное множество, снабженное дискретной метрикой, ограничено, но не полностью ограничено: ^[3] каждый дискретный шар радиуса $\varepsilon =1/2$ или меньше является синглтоном, и никакое конечное объединение одиночек не может покрыть бесконечное множество.

Равномерные (топологические) пространства

Метрика появляется в определении полной ограниченности только для того, чтобы гарантировать, что каждый элемент конечного покрытия имеет сопоставимый размер и может быть ослаблен до элемента однородной структуры . Подмножество $S$ равномерного пространства $X$ вполне ограничено тогда и только тогда, когда для любого окружения $E$ существует конечное покрытие $S$ подмножествами $X,$ каждый из декартовых квадратов которого является подмножеством $E$ . (Другими словами, $E$ заменяет «размер» $ε$ , а подмножество имеет размер $E,$ если его декартов квадрат является подмножеством $E.$ ) ^[4]

Определение может быть расширено и дальше, на любую категорию пространств с понятием компактности и пополнения Коши : пространство полностью ограничено тогда и только тогда, когда его пополнение (Коши) компактно.

Примеры и элементарные свойства

Каждый компакт полностью ограничен, когда бы его понятие ни было определено.
Всякое вполне ограниченное множество ограничено.
Подмножество действительной прямой или, в более общем случае, конечномерного евклидова пространства полностью ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено . ^[5]^[3]
Единичный шар в гильбертовом пространстве или, вообще, в банаховом пространстве полностью ограничен (в топологии нормы) тогда и только тогда, когда пространство имеет конечную размерность .
Равнонепрерывные ограниченные функции на компакте предкомпактны в равномерной топологии ; это теорема Арсела-Асколи .
Метрическое пространство сепарабельно тогда и только тогда , когда оно гомеоморфно вполне ограниченному метрическому пространству. ^[3]
Замыкание вполне ограниченного подмножества снова вполне ограничено. ^[6]

Сравнение с компактными наборами

В метрических пространствах множество компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено; ^[5] без аксиомы выбора сохраняется только прямое направление. Предкомпактные множества имеют ряд общих свойств с компактными множествами.

Как и компактные множества, конечное объединение вполне ограниченных множеств вполне ограничено.
В отличие от компактных множеств, каждое подмножество вполне ограниченного множества снова является полностью ограниченным.
Непрерывный образ компакта компактен. Равномерно непрерывный образ предкомпакта является предкомпактным.

В топологических группах

Хотя понятие полной ограниченности тесно связано с метрическими пространствами, более обширная алгебраическая структура топологических групп позволяет отказаться от некоторых свойств разделения . Например, в метрических пространствах множество компактно тогда и только тогда, когда оно полное и вполне ограниченное. Согласно определению, приведенному ниже, то же самое справедливо для любого топологического векторного пространства (не обязательно Хаусдорфа или полного). ^[6]^[7]^[8]

Общая логическая форма определения такова : подмножество $S$ пространства $X$ полностью ограничен тогда и только тогда, когда для любого размера $E,$ существует конечное покрытие ${\mathcal {O}}$ из $S$ так, что каждый элемент ${\mathcal {O}}$ имеет максимальный размер $E.$ $X$ тогда полностью ограничено тогда и только тогда, когда оно полностью ограничено, если рассматривать его как подмножество самого себя.

Мы принимаем соглашение, согласно которому для любой окрестности $U\subseteq X$ идентичности, подмножества $S\subseteq X$ называется ( слева ) $U$ -мал тогда и только тогда, когда $(-S)+S\subseteq U.$ ^[6] Подмножество $S$ группы топологической $X$ является ( слева ) полностью ограниченным , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

Определение : Для любого района. $U$ личности $0,$ существует конечное множество $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$ такой, что ${\textstyle S\subseteq \bigcup _{j=1}^{n}\left(x_{j}+U\right):=\left(x_{1}+U\right)+\cdots +\left(x_{n}+U\right).}$
Для любого района $U$ из $0,$ существует конечное подмножество $F\subseteq X$ такой, что $S\subseteq F+U$ (где правая часть — сумма Минковского $F+U:=\{f+u:f\in F,u\in U\}$ ).
Для любого района $U$ из $0,$ существует конечное число подмножеств $B_{1},\ldots ,B_{n}$ из $X$ такой, что $S\subseteq B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}$ и каждый $B_{j}$ является $U$ -маленький. ^[6]
Для любой заданной подбазы фильтров ${\mathcal {B}}$ идентификационного элемента фильтра окрестности ${\mathcal {N}}$ (который состоит из всех окрестностей $0$ в $X$ ) и для каждого $B\in {\mathcal {B}},$ существует обложка $S$ на конечное число $B$ -небольшие подмножества $X.$ ^[6]
$S$ ограничена Коши : для каждой окрестности $U$ единицы и каждого счетного бесконечного подмножества $I$ из $S,$ существуют отдельные $x,y\in I$ такой, что $x-y\in U.$ ^[6] (Если $S$ конечно, то это условие выполняется бессмысленно ).
Любое из следующих трех множеств удовлетворяет (любому из приведенных выше определений) полной ограниченности (слева):
1. Закрытие ${\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S$ ${\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S$ из $S$ $S$ в $X.$ $X.$ ^[6]
  - Наличие этого набора в списке означает, что справедлива следующая характеристика: $S$ является (слева) вполне ограниченным тогда и только тогда, когда $\operatorname {cl} _{X}S$ является (слева) вполне ограниченным (согласно любому из определяющих условий, упомянутых выше). Та же характеристика справедлива и для других наборов, перечисленных ниже.
2. Образ $S$ под каноническим фактором $X\to X/{\overline {\{0\}}},$ который определяется $x\mapsto x+{\overline {\{0\}}}$ (где $0$ является элементом идентичности).
3. Сумма $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.$ ^[9]

Термин предкомпакт обычно появляется в контексте топологических векторных пространств Хаусдорфа. ^[10]^[11] В этом случае следующие условия также эквивалентны $S$ будучи (слева) полностью ограниченным:

В завершении ${\widehat {X}}$ из $X,$ закрытие $\operatorname {cl} _{\widehat {X}}S$ из $S$ компактен. ^[10]^[12]
Каждый ультрафильтр включен $S$ представляет собой фильтр Коши .

Определение полностью ограниченного по праву аналогично: просто поменяйте порядок произведений.

Условие 4 подразумевает любое подмножество $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ вполне ограничен (фактически компактен; см. § Сравнение с компактами выше). Если $X$ не является Хаусдорфом, тогда, например, $\{0\}$ представляет собой компактное полное множество, которое не является замкнутым. ^[6]

Топологические векторные пространства

Любое топологическое векторное пространство является абелевой топологической группой при сложении, поэтому применяются вышеуказанные условия. Исторически утверждение 6(а) было первой переформулировкой полной ограниченности топологических векторных пространств ; оно датируется статьей Джона фон Неймана 1935 года. ^[13]

Это определение обладает тем привлекательным свойством, что в локально выпуклом пространстве, наделенном слабой топологией , предкомпактные множества являются в точности ограниченными множествами .

Для сепарабельных банаховых пространств существует хорошая характеристика предкомпактных множеств (в топологии нормы) в терминах слабо сходящихся последовательностей функционалов: если $X$ является сепарабельным банаховым пространством, то $S\subseteq X$ предкомпакт тогда и только тогда, когда любая слабо сходящаяся последовательность функционалов сходится равномерно на $S.$ ^[14]

Взаимодействие с выпуклостью

Сбалансированная оболочка вполне ограниченного подмножества топологического векторного пространства снова полностью ограничена. ^[6]^[15]
двух Сумма Минковского компактных (вполне ограниченных) множеств компактна (соответственно вполне ограничена).
В локально выпуклом (хаусдорфовом) пространстве выпуклая оболочка и дисковая оболочка вполне ограниченного множества $K$ вполне ограничен тогда и только тогда, когда $K$ завершен. ^[16]

См. также

Ссылки

^ Сазерленд 1975 , с. 139.
^ «Последовательности Коши, полнота и третья формулировка компактности» (PDF) . Математический факультет Гарварда .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Уиллард 2004 , с. 182.
^ Уиллард, Стивен (1970). Лумис, Линн Х. (ред.). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. п. 262. См. определение 39.7 и лемму 39.8.
^ Перейти обратно: ^а ^б Колмогоров А.Н.; Фомин, С.В. (1957) [1954]. Элементы теории функций и функционального анализа . Том. 1. Перевод Борона, Лео Ф. Рочестера, Нью-Йорк: Graylock Press. стр. 51–3.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 47–66.
^ Наричи и Бекенштейн 2011 , стр. 55–56.
^ Наричи и Бекенштейн 2011 , стр. 55–66.
^ Шефер и Вольф 1999 , стр. 12–35.
^ Перейти обратно: ^а ^б Шефер и Вольф 1999 , с. 25.
^ Трир 2006 , с. 53.
^ Ярчоу 1981 , стр. 56–73.
^ фон Нейман, Джон (1935). «О полных топологических пространствах» . Труды Американского математического общества . 37 (1): 1–20. дои : 10.2307/1989693 . ISSN 0002-9947 .
^ Филлипс, Р.С. (1940). «О линейных преобразованиях». Анналы математики : 525.
^ Наричи и Бекенштейн 2011 , стр. 156–175.
^ Наричи и Бекенштейн 2011 , стр. 67–113.

Библиография

Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4 . OCLC 8210342 .
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
Сазерленд, Вашингтон (1975). Введение в метрические и топологические пространства . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853161-3 . Збл 0304.54002 .
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Дуврские публикации. ISBN 0-486-43479-6 .

[FOOTNOTESutherland1975139-1] Сазерленд 1975 , с. 139.

[2] «Последовательности Коши, полнота и третья формулировка компактности» (PDF) . Математический факультет Гарварда .

[FOOTNOTEWillard2004182-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с Уиллард 2004 , с. 182.

[:0-4] Уиллард, Стивен (1970). Лумис, Линн Х. (ред.). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. п. 262. См. определение 39.7 и лемму 39.8.

[:1-5] Перейти обратно: ^а ^б Колмогоров А.Н.; Фомин, С.В. (1957) [1954]. Элементы теории функций и функционального анализа . Том. 1. Перевод Борона, Лео Ф. Рочестера, Нью-Йорк: Graylock Press. стр. 51–3.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201147–66-6] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 47–66.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201155–56-7] Наричи и Бекенштейн 2011 , стр. 55–56.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201155–66-8] Наричи и Бекенштейн 2011 , стр. 55–66.

[FOOTNOTESchaeferWolff199912–35-9] Шефер и Вольф 1999 , стр. 12–35.

[FOOTNOTESchaeferWolff199925-10] Перейти обратно: ^а ^б Шефер и Вольф 1999 , с. 25.

[FOOTNOTETrèves200653-11] Трир 2006 , с. 53.

[FOOTNOTEJarchow198156–73-12] Ярчоу 1981 , стр. 56–73.

[13] фон Нейман, Джон (1935). «О полных топологических пространствах» . Труды Американского математического общества . 37 (1): 1–20. дои : 10.2307/1989693 . ISSN 0002-9947 .

[14] Филлипс, Р.С. (1940). «О линейных преобразованиях». Анналы математики : 525.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011156–175-15] Наричи и Бекенштейн 2011 , стр. 156–175.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201167–113-16] Наричи и Бекенштейн 2011 , стр. 67–113.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]