Мера некомпактности

В функциональном анализе две меры некомпактности обычно используются ; эти числа связывают числа с множествами таким образом, что все компактные множества получают меру 0, а другие множества получают меры, которые больше в зависимости от того, «насколько далеко» они удалены от компактности.

Основная идея заключается в следующем: ограниченное множество можно покрыть одним шаром некоторого радиуса. Иногда набор могут охватывать и несколько шаров меньшего радиуса. Фактически компакт можно покрыть конечным числом шаров сколь угодно малого радиуса, поскольку он вполне ограничен . Поэтому можно было бы спросить: каков наименьший радиус, позволяющий покрыть множество конечным числом шаров?

Формально мы начинаем с метрического пространства M подмножества X. и Шаровая мера некомпактности определяется как

α( X ) = inf { r > 0 : существует конечное число шаров радиуса r , покрывающих X }

а мера некомпактности Куратовского определяется как

β( X ) = inf { d > 0 : существует конечное число множеств диаметра не более d , которые покрывают X }

Поскольку шар радиуса r имеет диаметр не более 2 r , имеем α( X ) ⩽ β( X ) ⩽ 2α( X ).

Две меры α и β имеют много общих свойств, и в дальнейшем мы будем использовать γ для обозначения любой из них. Вот подборка фактов:

X ограничен тогда и только тогда, когда γ( X ) < ∞.
γ( Икс ) = γ( Икс ^кл), где X ^кл обозначает замыкание X .
Если X компактно, то γ( X ) = 0. Обратно, если γ( X ) = 0 и X полно , то X компактно.
γ( X ∪ Y ) = max(γ( X ), γ( Y )) для любых двух подмножеств X и Y .
γ непрерывен относительно расстояния Хаусдорфа множеств.

Меры некомпактности чаще всего используются, если M — нормированное векторное пространство . В этом случае мы имеем дополнительно:

γ( аХ ) знак равно | а | γ( X ) для любого скаляра a
γ( Икс + Y ) ≤ γ( Икс ) + γ( Y )
γ(conv( X )) = γ( X где conv( X ) обозначает выпуклую оболочку X ) ,

Заметим, что эти меры некомпактности бесполезны для подмножеств евклидова пространства R ^н: по теореме Гейне–Бореля каждое ограниченное замкнутое множество там компактно, а это означает, что γ( X ) = 0 или ∞ в зависимости от того, X ограничено или нет.

Однако меры некомпактности полезны при изучении бесконечномерных банаховых пространств , например, . В этом контексте можно доказать, что любой шар B радиуса r имеет α( B ) = r и β( B ) = 2 r .

См. также

Теория пересечения Куратовского

Ссылки

Юзеф Банась, Казимеж Гебель : Меры некомпактности в банаховых пространствах , Институт математики Польской академии наук, Варшава, 1979.
Казимеж Куратовский : Топологии Том I , PWN. Варшава 1958 г.
Р. Р. Ахмеров, М. И. Каменский, А. С. Потапова, А. Е. Родкина, Б. Н. Садовский, Мера некомпактности и конденсирующие операторы , Биркхойзер, Базель, 1992.