Теория пересечения Куратовского

В математике — теорема Куратовского о пересечении это результат общей топологии , который дает достаточное условие для того, чтобы вложенная последовательность множеств имела непустое пересечение . Результат Куратовского является обобщением теоремы Кантора о пересечении . В то время как результат Кантора требует, чтобы рассматриваемые множества были компактными , результат Куратовского допускает их некомпактность, но настаивает на том, что их некомпактность «стремится к нулю» в соответствующем смысле. Теорема названа в честь польского математика Казимира Куратовского , который доказал ее в 1930 году.

Формулировка теоремы

Пусть ( X , d ) — полное метрическое пространство . Для подмножества A ⊆ X его мера некомпактности Куратовского α ( A ) ≥ 0 определяется формулой

$\alpha (A)=\inf \left\{r\geq 0\left|{\begin{array}{c}A{\text{ can be covered by finitely many subsets}}\\{\text{of }}X{\text{, each with diameter at most }}r\end{array}}\right.\right\}.$

Заметим, что если A само компактно, то α ( A ) = 0, поскольку каждое покрытие A открытыми шарами сколь угодно малого диаметра будет иметь конечное подпокрытие. Обратное также верно: если α ( A ) = 0, то A должно быть предкомпактным и даже компактным, если A замкнуто. Кроме того, если A является подмножеством B , то α ( A ) ≤ α ( B ). В некотором смысле величина α ( A ) представляет собой численное описание того, «насколько некомпактно» A. множество

Теперь рассмотрим последовательность множеств An _⊆ , по одному X на каждое натуральное число n . Теорема Куратовского о пересечении что если эти множества непусты, замкнуты , имеют убывающую вложенность (т. е. +1 _{An ⊆} An для _{утверждает ,} каждого n ) и α ( An ₎ → 0 при n → ∞, то их бесконечное пересечение

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$

является непустым компактом.

Результат верен также, если работать с шаровой мерой некомпактности или разделительной мерой некомпактности, поскольку эти три меры некомпактности взаимно липшицевы эквивалентны; если какой-либо из них стремится к нулю при n → ∞, то и два других тоже должны стремиться.

Ссылки

• Куратовский, Казимеж (1930). «Sur les espaces Completes» . Основы математики . 15 : 301–309. дои : 10.4064/fm-15-1-301-309 .