Теорема Кантора о пересечении

Теорема Кантора о пересечении относится к двум тесно связанным теоремам общей топологии и вещественного анализа , названным в честь Георга Кантора , о пересечениях убывающих вложенных последовательностей непустых компактных множеств.

Топологическое утверждение

Теорема. Позволять $S$ быть топологическим пространством . Убывающая вложенная последовательность непустых компактных замкнутых подмножеств $S$ имеет непустое пересечение. Другими словами, полагая $(C_{k})_{k\geq 0}$ представляет собой последовательность непустых компактных замкнутых подмножеств S, удовлетворяющих условиям

$C_{0}\supset C_{1}\supset \cdots \supset C_{n}\supset C_{n+1}\supset \cdots ,$

отсюда следует, что

$\bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}\neq \emptyset .$

Условие замкнутости можно опустить в ситуациях, когда каждое компактное подмножество $S$ закрыто, например, когда $S$ является Хаусдорф .

Доказательство. Предположим в порядке от противного, что ${\textstyle \bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}}=\emptyset$. Для каждого $k$, позволять $U_{k}=C_{0}\setminus C_{k}$. С ${\textstyle \bigcup _{k=0}^{\infty }U_{k}}=C_{0}\setminus {\textstyle \bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}}$ и ${\textstyle \bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}}=\emptyset$, у нас есть ${\textstyle \bigcup _{k=0}^{\infty }U_{k}}=C_{0}$. Поскольку $C_{k}$ закрыты относительно $S$ и, следовательно, также замкнуто относительно $C_{0}$, $U_{k}$, их набор дополняется в $C_{0}$, открыты относительно $C_{0}$.

С $C_{0}\subset S$ компактен и $\{U_{k}\vert k\geq 0\}$ представляет собой открытую крышку (на $C_{0}$) из $C_{0}$, конечное накрытие $\{U_{k_{1}},U_{k_{2}},\ldots ,U_{k_{m}}\}$ можно извлечь. Позволять $M=\max _{1\leq i\leq m}{k_{i}}$. Затем ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{m}U_{k_{i}}}=U_{M}$ потому что $U_{1}\subset U_{2}\subset \cdots \subset U_{n}\subset U_{n+1}\cdots$, по гипотезе вложенности коллекции $(C_{k})_{k\geq 0}$. Следовательно, $C_{0}={\textstyle \bigcup _{i=1}^{m}U_{k_{i}}}=U_{M}$. Но тогда $C_{M}=C_{0}\setminus U_{M}=\emptyset$, противоречие. ∎

Заявление для действительных чисел

Теорема реального анализа приводит к такому же выводу для замкнутых и ограниченных подмножеств множества действительных чисел. $\mathbb {R}$. Он утверждает, что убывающая вложенная последовательность $(C_{k})_{k\geq 0}$ непустых, замкнутых и ограниченных подмножеств $\mathbb {R}$ имеет непустое пересечение.

Эта версия следует из общего топологического утверждения в свете теоремы Гейне-Бореля , которая утверждает, что множества действительных чисел компактны тогда и только тогда, когда они замкнуты и ограничены. Однако обычно она используется в качестве леммы при доказательстве указанной теоремы и поэтому требует отдельного доказательства.

В качестве примера, если $C_{k}=[0,1/k]$, перекрёсток над $(C_{k})_{k\geq 0}$ является $\{0\}$. С другой стороны, как последовательность открытых ограниченных множеств $C_{k}=(0,1/k)$ и последовательность неограниченных замкнутых множеств $C_{k}=[k,\infty )$ иметь пустое пересечение. Все эти последовательности правильно вложены.

Эта версия теоремы обобщается на $\mathbf {R} ^{n}$, набор $n$-элементные векторы действительных чисел, но не обобщаются на произвольные метрические пространства . Например, в пространстве рациональных чисел множества

$C_{k}=[{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}+1/k]=({\sqrt {2}},{\sqrt {2}}+1/k)$

замкнуты и ограничены, но их пересечение пусто.

Заметим, что это не противоречит ни топологическому утверждению, так как множества $C_{k}$ не являются компактными, как и приведенный ниже вариант, поскольку рациональные числа не полны относительно обычной метрики.

Простым следствием теоремы является то, что множество Кантора непусто, поскольку оно определяется как пересечение убывающей вложенной последовательности множеств, каждое из которых определяется как объединение конечного числа замкнутых интервалов; следовательно, каждое из этих множеств непусто, замкнуто и ограничено. На самом деле множество Кантора содержит несчетное количество точек.

Теорема. Позволять $(C_{k})_{k\geq 0}$ — последовательность непустых, замкнутых и ограниченных подмножеств $\mathbb {R}$ удовлетворяющий

$C_{0}\supset C_{1}\supset \cdots C_{n}\supset C_{n+1}\cdots .$

Затем,

$\bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}\neq \emptyset .$

Доказательство. Каждое непустое, замкнутое и ограниченное подмножество $C_{k}\subset \mathbb {R}$ допускает минимальный элемент $x_{k}$. Поскольку для каждого $k$, у нас есть

$x_{k+1}\in C_{k+1}\subset C_{k}$,

отсюда следует, что

$x_{k}\leq x_{k+1}$,

так $(x_{k})_{k\geq 0}$ — возрастающая последовательность, содержащаяся в ограниченном множестве $C_{0}$. Теорема монотонной сходимости для ограниченных последовательностей действительных чисел теперь гарантирует существование предельной точки.

$x=\lim _{k\to \infty }x_{k}.$

Для фиксированного $k$, $x_{j}\in C_{k}$ для всех $j\geq k$, и поскольку $C_{k}$ закрыт и $x$ является предельной точкой, отсюда следует, что $x\in C_{k}$. Наш выбор $k$ произвольно, следовательно $x$ принадлежит ${\textstyle \bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}}$ и доказательство завершено. ∎

Вариант в полных метрических пространствах

В полном метрическом пространстве справедлив следующий вариант теоремы Кантора о пересечении.

Теорема. Предположим, что $X$ является полным метрическим пространством и $(C_{k})_{k\geq 1}$ представляет собой последовательность непустых замкнутых вложенных подмножеств $X$ которых диаметры стремятся к нулю:

$\lim _{k\to \infty }\operatorname {diam} (C_{k})=0,$

где $\operatorname {diam} (C_{k})$ определяется

$\operatorname {diam} (C_{k})=\sup\{d(x,y)\mid x,y\in C_{k}\}.$

Тогда пересечение ул. $C_{k}$ содержит ровно один пункт:

$\bigcap _{k=1}^{\infty }C_{k}=\{x\}$

для некоторых $x\in X$.

Доказательство (эскиз). Поскольку диаметры стремятся к нулю, диаметр пересечения $C_{k}$ равно нулю, поэтому оно либо пусто, либо состоит из одной точки. Поэтому достаточно показать, что оно не пусто. Выберите элемент $x_{k}\in C_{k}$ для каждого $k$. Поскольку диаметр $C_{k}$ стремится к нулю и $C_{k}$ являются вложенными, $x_{k}$ образуют последовательность Коши. Поскольку метрическое пространство полно, эта последовательность Коши сходится к некоторой точке $x$. Поскольку каждый $C_{k}$ закрыто, и $x$ является пределом последовательности в $C_{k}$, $x$ должен лежать в $C_{k}$. Это верно для каждого $k$, и, следовательно, пересечение $C_{k}$ должен содержать $x$. ∎

Верно и обратное утверждение этой теоремы: если $X$ — метрическое пространство, свойство которого состоит в том, что пересечение любого вложенного семейства непустых замкнутых подмножеств, диаметры которых стремятся к нулю, непусто, тогда $X$ является полным метрическим пространством. (Чтобы доказать это, пусть $(x_{k})_{k\geq 1}$ быть последовательностью Коши в $X$, и пусть $C_{k}$ быть закрытие хвоста $(x_{j})_{j\geq k}$ этой последовательности.)

См. также

• Теория пересечения Куратовского
• Теорема Хелли — еще одна теорема о пересечении множеств.

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Кантора о пересечении» . Математический мир .
• Джонатан Левин. Интерактивное введение в математический анализ. Издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-01718-1 . Раздел 7.8.