Общая топология

— Синусоидальная кривая тополога полезный пример топологии множества точек. Он связан, но не связан по пути.

В математике ( общая топология или топология множества точек ) — это раздел топологии , который занимается основными теоретико-множественными определениями и конструкциями, используемыми в топологии. Это основа большинства других разделов топологии, включая дифференциальную топологию , геометрическую топологию и алгебраическую топологию .

Фундаментальными понятиями топологии множества точек являются непрерывность , компактность и связность :

• Непрерывные функции интуитивно переводят близлежащие точки в соседние точки.
• Компактные множества — это те, которые могут быть покрыты конечным числом множеств сколь угодно малого размера.
• Связные множества — это множества, которые нельзя разделить на две части, находящиеся далеко друг от друга.

Термины «близко», «произвольно мало» и «далеко друг от друга» можно уточнить, используя концепцию открытых множеств . Если мы изменим определение «открытого множества», мы изменим то, что такое непрерывные функции, компактные множества и связные множества. Каждый выбор определения «открытого множества» называется топологией . Множество с топологией называется топологическим пространством .

Метрические пространства — важный класс топологических пространств, где действительное неотрицательное расстояние, также называемое метрикой , может быть определено на парах точек множества. Наличие метрики упрощает многие доказательства, и многие из наиболее распространенных топологических пространств являются метрическими пространствами.

История

Общая топология выросла из ряда областей, наиболее важными из которых являются следующие:

• детальное изучение подмножеств реальной линии (когда-то известное как топология наборов точек ; теперь это использование устарело)
• введение многообразия концепции
• изучение метрических пространств , особенно нормированных линейных пространств , на заре функционального анализа .

Свою нынешнюю форму общая топология приняла около 1940 года. Она охватывает, можно сказать, почти все в интуиции непрерывности , в технически адекватной форме, которая может быть применена в любой области математики.

Топология множества

Основная статья: Топологическое пространство

Пусть X множество τ — семейство подмножеств , X. — а Тогда τ называется топологией на X , если:

1. И пустое множество , и X являются элементами τ
2. Любое объединение элементов τ является элементом τ
3. Любое пересечение конечного числа элементов τ является элементом τ.

Если τ — топология на X , то пара ( X , τ ) называется топологическим пространством . Обозначение X _τ может использоваться для обозначения множества X, наделенного конкретной топологией τ .

Члены τ называются открытыми множествами в X . Подмножество X называется замкнутым, если его дополнение находится в τ (т. е. его дополнение открыто). Подмножество X может быть открытым, закрытым, обоими ( закрытое множество ) или ни одним из них. Пустое множество и сам X всегда одновременно закрыты и открыты.

Основа топологии

Основная статья: Базис (топология)

База такая , (или базис ) B топологического пространства X с топологией T — это совокупность открытых множеств из T каждое открытое множество из T можно записать как объединение элементов B. что Мы говорим, что база порождает топологию T . Базы полезны, потому что многие свойства топологий можно свести к утверждениям о базе, которая порождает эту топологию, а также потому, что многие топологии легче всего определить в терминах базы, которая их порождает.

Подпространство и частное

Каждому подмножеству топологического пространства можно задать топологию подпространства , в которой открытые множества являются пересечениями открытых множеств большего пространства с подмножеством. Для любого индексированного семейства топологических пространств продукту может быть задана топология продукта , которая генерируется обратными образами открытых наборов факторов при проекционных отображениях. Например, в конечных произведениях основа топологии произведения состоит из всех произведений открытых множеств. Для бесконечных произведений существует дополнительное требование: в базовом открытом множестве все его проекции, кроме конечного числа, представляют собой все пространство.

Факторпространство . определяется следующим образом: если X — топологическое пространство, а Y — множество, и если f : X → Y — сюръективная функция , то фактор-топология на Y — это совокупность подмножеств Y , которые имеют открытые прообразы под ф . Другими словами, фактор-топология — это тончайшая топология на Y , для которой f непрерывна. Типичным примером фактортопологии является ситуация, когда эквивалентности определено в топологическом пространстве X. отношение Тогда отображение f является естественной проекцией на множество классов эквивалентности .

Примеры топологических пространств

Данный набор может иметь множество различных топологий. Если множеству задана другая топология, оно рассматривается как другое топологическое пространство.

и

Любому множеству можно придать дискретную топологию , в которой каждое подмножество открыто. Единственными сходящимися последовательностями или сетями в этой топологии являются те, которые в конечном итоге становятся постоянными. Кроме того, любому множеству можно придать тривиальную топологию (также называемую недискретной топологией), в которой открыты только пустое множество и все пространство. Каждая последовательность и сеть в этой топологии сходятся к каждой точке пространства. Этот пример показывает, что в общих топологических пространствах пределы последовательностей не обязательно должны быть уникальными. Однако часто топологические пространства должны быть пространствами Хаусдорфа , где предельные точки единственны.

Коконитные и сосчетные топологии

Любому множеству можно придать коконечную топологию, в которой открытыми множествами являются пустое множество и множества, дополнение которых конечно. Это наименьшая топология T ₁ на любом бесконечном множестве.

Любому множеству можно задать косчетную топологию , в которой множество определяется как открытое, если оно либо пусто, либо его дополнение счетно. Когда множество несчетно, эта топология во многих ситуациях служит контрпримером.

Топологии на вещественных и комплексных числах

Есть много способов определить топологию на R , множестве действительных чисел . Стандартная топология на R порождается открытыми интервалами . Набор всех открытых интервалов образует основу или основу топологии, а это означает, что каждое открытое множество представляет собой объединение некоторого набора множеств из базы. В частности, это означает, что множество открыто, если вокруг каждой точки множества существует открытый интервал ненулевого радиуса. В более общем смысле, евклидовы пространства R ^н можно задать топологию. В обычной топологии на R ^н базовые открытые наборы — это открытые шары . Аналогично, C , набор комплексных чисел , и C ^н имеют стандартную топологию, в которой основные открытые множества представляют собой открытые шары.

Реальной линии также может быть задана топология нижнего предела . Здесь основными открытыми множествами являются полуоткрытые интервалы [ a , b ). Эта топология на R строго тоньше евклидовой топологии, определенной выше; последовательность сходится к точке в этой топологии тогда и только тогда, когда она сходится сверху в евклидовой топологии. Этот пример показывает, что в наборе может быть определено множество различных топологий.

Метрическая топология

Каждому метрическому пространству можно задать метрическую топологию, в которой основными открытыми множествами являются открытые шары, определяемые метрикой. Это стандартная топология любого нормированного векторного пространства . В конечномерном векторном пространстве эта топология одинакова для всех норм.

Дальнейшие примеры

• существует множество топологий На любом заданном конечном множестве . Такие пространства называются конечными топологическими пространствами . Конечные пространства иногда используются для предоставления примеров или контрпримеров гипотезам о топологических пространствах в целом.
• Каждое многообразие имеет естественную топологию , поскольку оно локально евклидово. Аналогично, каждый симплекс и каждый симплициальный комплекс наследуют естественную топологию от R ^н .
• Топология Зарисского определяется алгебраически на спектре кольца или алгебраического многообразия . На Р ^н или С ^н , замкнутые множества топологии Зарисского являются множествами решений систем полиномиальных уравнений.
• Линейный граф имеет естественную топологию, которая обобщает многие геометрические аспекты графов с вершинами и ребрами .
• Многие наборы линейных операторов в функциональном анализе наделены топологиями, которые определяются путем указания того, когда определенная последовательность функций сходится к нулевой функции.
• Любое локальное поле имеет собственную топологию, и ее можно расширить до векторных пространств над этим полем.
• Пространство Серпинского — простейшее недискретное топологическое пространство. Он имеет важное отношение к теории вычислений и семантике.
• Если Γ — порядковое число , то множество Γ = [0, Γ) может быть наделено топологией порядка , порожденной интервалами ( a , b ), [0, b ) и ( a , Γ), где a и b суть элементы Γ.

Непрерывные функции

Основная статья: Непрерывная функция

Непрерывность выражается через окрестности : f непрерывна в некоторой точке x ∈ X тогда и только тогда, когда для любой окрестности точки f ( x ) существует окрестность U точки x такая, что f ( U ) ⊆ V. V Интуитивно, непрерывность означает, что независимо от того, насколько «маленьким» становится V , всегда существует U , содержащий x , который отображается внутри V и чей образ под f содержит f ( x ) . Это эквивалентно условию, что прообразы открытых (замкнутых) множеств в Y открыты (замкнуты) X. в В метрических пространствах это определение эквивалентно ε–δ-определению часто используемому в анализе .

Крайний пример: если множеству X задана дискретная топология , все функции

$f\colon X\rightarrow T$

любому топологическому пространству T непрерывны. С другой стороны, если X оснащено недискретной топологией и множество пространства T не меньше T ₀ , то единственными непрерывными функциями являются постоянные функции. И наоборот, любая функция, диапазон которой недискретен, является непрерывной.

Альтернативные определения

Существует несколько эквивалентных определений топологической структуры , и, следовательно, существует несколько эквивалентных способов определения непрерывной функции.

Определение района

Определения, основанные на прообразах, часто трудно использовать напрямую. Следующий критерий выражает непрерывность в терминах окрестностей : f непрерывен в некоторой точке x ∈ X для любой окрестности V точки f ( x ) существует окрестность U точки x такая, что f ( U ) ⊆ V. тогда и только тогда, когда Интуитивно, непрерывность означает, что независимо от того, насколько «маленьким» становится V , всегда существует U , содержащий x , который отображается внутри V .

Если X и Y — метрические пространства, это эквивалентно рассмотрению окрестностей системы открытых шаров с центрами в точках x и f ( x ) вместо всех окрестностей. Это возвращает приведенное выше δ-ε определение непрерывности в контексте метрических пространств. Однако в общих топологических пространствах нет понятия близости или расстояния.

Обратите внимание, однако, что если целевым пространством является Хаусдорф , то по-прежнему верно, что f непрерывно в точке a тогда и только тогда, когда предел f при x приближении к a равен f ( a ). В изолированной точке каждая функция непрерывна.

Последовательности и сети

В некоторых контекстах топологию пространства удобно задавать в терминах предельных точек . Во многих случаях это достигается путем указания того, когда точка является пределом последовательности , но для некоторых пространств, которые в некотором смысле слишком велики, можно также указать, когда точка является пределом более общих наборов точек, индексированных направленным набор , известный как сети . Функция непрерывна только в том случае, если она переводит пределы последовательностей в пределы последовательностей. В первом случае также достаточно сохранения пределов; во втором случае функция может сохранять все пределы последовательностей, но при этом не быть непрерывной, а сохранение сетей является необходимым и достаточным условием.

Более подробно, функция f : X → Y является секвенциально непрерывной, если всякий раз, когда последовательность ( x _n ) в X сходится к пределу x , последовательность ( f ( x _n )) сходится к f ( x ). Таким образом, секвенциально-непрерывные функции «сохраняют последовательные пределы». Любая непрерывная функция секвенциально непрерывна. Если X — пространство с первой счетностью и имеет место счетный выбор , то верно и обратное: любая функция, сохраняющая последовательные пределы, непрерывна. В частности, если X — метрическое пространство, секвенциальная непрерывность и непрерывность эквивалентны. Для пространств, не являющихся счетными, секвенциальная непрерывность может быть строго слабее непрерывности. (Пространства, для которых эти два свойства эквивалентны, называются секвенциальными пространствами .) Это мотивирует рассматривать сети вместо последовательностей в общих топологических пространствах. Непрерывные функции сохраняют пределы сетей, и фактически это свойство характеризует непрерывные функции.

Определение оператора замыкания

Вместо определения открытых подмножеств топологического пространства топология может также определяться с помощью оператора замыкания (обозначаемого cl), который присваивает любому подмножеству A ⊆ X его замыкание , или внутреннего оператора (обозначаемого int), который присваивает любому подмножеству A ⊆ X его замыкание. подмножество A из X , его внутренняя часть . В этих терминах функция

$f\colon (X,\mathrm {cl} )\to (X',\mathrm {cl} ')\,$

между топологическими пространствами непрерывна в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда для всех подмножеств A из X

$f(\mathrm {cl} (A))\subseteq \mathrm {cl} '(f(A)).$

То есть, учитывая любой элемент x из X , который находится в замыкании любого подмножества A , f ( x ) принадлежит замыканию f ( A ). Это эквивалентно требованию, чтобы для всех подмножеств A ' из X '

$f^{-1}(\mathrm {cl} '(A'))\supseteq \mathrm {cl} (f^{-1}(A')).$

Более того,

$f\colon (X,\mathrm {int} )\to (X',\mathrm {int} ')\,$

непрерывно тогда и только тогда, когда

$f^{-1}(\mathrm {int} '(A))\subseteq \mathrm {int} (f^{-1}(A))$

для любого подмножества A из X .

Свойства

Если f : X → Y и g : Y → Z композиция g ∘ f : X → Z. непрерывны, то непрерывна и Если f : X → Y непрерывно и

• X компактен , то f ( X ) компактен.
• X связен , то f ( X ) связен.
• X , линейно связен тогда f ( X ) линейно связен.
• X — Линделеф , тогда f ( X ) — Линделеф.
• X сепарабельно , то f ( X ) сепарабельно.

Возможные топологии на фиксированном множестве X : частично упорядочены топология τ ₁ называется более грубой, чем другая топология τ ₂ (обозначение: τ ₁ ⊆ τ ₂ ), если каждое открытое подмножество относительно τ ₁ также открыто относительно τ ₂ . Тогда карта идентичности

идентификатор _Икс : ( Икс , τ ₂ ) → ( Икс , τ ₁ )

непрерывно тогда и только тогда, когда τ ₁ ⊆ τ ₂ (см. также сравнение топологий ). В более общем смысле, непрерывная функция

$(X,\tau _{X})\rightarrow (Y,\tau _{Y})$

остается непрерывным, если топология τ _Y заменяется более грубой топологией и/или τ _X заменяется более тонкой топологией .

Гомеоморфизмы

Симметричным понятию непрерывного отображения является открытое отображение , для которого образы открыты открытых множеств. Фактически, если открытое отображение f имеет обратную функцию , эта обратная функция непрерывна, а если непрерывное отображение g имеет обратную функцию, эта обратная функция открыта. Учитывая биективную функцию f между двумя топологическими пространствами, обратная функция f ⁻¹ не обязательно должен быть непрерывным. Биективная непрерывная функция с непрерывной обратной функцией называется гомеоморфизмом .

Если непрерывная биекция имеет областью определения компактное пространство , а ее ко-область — Хаусдорф , то она является гомеоморфизмом.

Определение топологий с помощью непрерывных функций

Дана функция

$f\colon X\rightarrow S,\,$

где X — топологическое пространство, а S — множество (без указанной топологии), окончательная топология на S определяется, если открытыми множествами S быть те подмножества A из S , для которых f ⁻¹ ( A ) открыт X. в Если S имеет существующую топологию, f непрерывен относительно этой топологии тогда и только тогда, когда существующая топология грубее , чем окончательная топология на S . Таким образом, окончательную топологию можно охарактеризовать как тончайшую топологию на S , которая делает f непрерывным. Если f сюръективна , , эта топология канонически отождествляется с фактор-топологией при отношении эквивалентности определяемом f .

Двойственно, для функции f из множества S в топологическое пространство исходная топология на S имеет в качестве открытых подмножеств A из S те подмножества, для которых f ( A ) открыто в X . Если S имеет существующую топологию, f непрерывен относительно этой топологии тогда и только тогда, когда существующая топология тоньше, чем исходная топология на S . Таким образом, исходную топологию можно охарактеризовать как наиболее грубую топологию на S , делающую f непрерывным. Если f инъективно, эта топология канонически отождествляется с подпространства S , рассматриваемой как подмножество X. топологией

Топология на множестве S однозначно определяется классом всех непрерывных функций $S\rightarrow X$во все топологические пространства X . Аналогичную идею можно применить и к картам. $X\rightarrow S.$

Компактные наборы

Основная статья: Компакт (математика)

Формально топологическое пространство X называется компактным , если каждое его открытое покрытие имеет конечное подпокрытие . В противном случае его называют некомпактным . Явно это означает, что для любого произвольного набора

$\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$

открытых подмножеств X таких, что

$X=\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha },$

существует конечное подмножество J из A такое, что

$X=\bigcup _{i\in J}U_{i}.$

Некоторые разделы математики, такие как алгебраическая геометрия , обычно находящиеся под влиянием французской школы Бурбаки , используют термин «квазикомпактный» для общего понятия и оставляют термин «компактный» для топологических пространств, которые являются как Хаусдорфовыми , так и квазикомпактными . Компакт иногда называют компактом во множественном числе компактами .

Каждый замкнутый интервал в R конечной длины компактен . Верно больше: в R ^н множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. (См. теорему Гейне–Бореля ).

Всякий непрерывный образ компактного пространства компактен.

Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.

Всякая непрерывная биекция компакта в хаусдорфово пространство обязательно является гомеоморфизмом .

Каждая последовательность точек в компактном метрическом пространстве имеет сходящуюся подпоследовательность.

Каждое компактное конечномерное многообразие можно вложить в некоторое евклидово пространство R ^н .

Связанные наборы

Основная статья: подключенное пространство

Топологическое пространство X называется несвязным, если оно представляет собой объединение двух непересекающихся непустых открытых множеств . В противном случае X называется связным . Подмножество топологии топологического пространства называется связным, если оно связно относительно своей подпространства . Некоторые авторы исключают пустое множество (с его уникальной топологией) как связное пространство, но данная статья не следует этой практике.

Для топологического пространства X следующие условия эквивалентны:

1. Х подключен.
2. X нельзя разделить на два непересекающихся непустых замкнутых множества .
3. Единственные подмножества X , которые являются одновременно открытыми и закрытыми ( закрыто- открытые множества ), — это X и пустое множество.
4. Единственными подмножествами X с пустой границей являются X и пустое множество.
5. X нельзя записать как объединение двух непустых разделенных множеств .
6. Единственные непрерывные функции от X до {0,1}, двухточечного пространства, наделенного дискретной топологией, являются постоянными.

интервал в R связен . Каждый

Сплошной образ связного пространства связен.

Подключенные компоненты

Максимальные включению связные подмножества (упорядоченные по ) непустого топологического пространства называются связными компонентами пространства. Компоненты любого топологического пространства X образуют разбиение X не : они пересекаются , непусты, а их объединение составляет все пространство. Каждый компонент представляет собой замкнутое подмножество исходного пространства. Отсюда следует, что в случае, когда их число конечно, каждая компонента также является открытым подмножеством. Однако если их число бесконечно, это может быть не так; например, связные компоненты множества рациональных чисел представляют собой одноточечные множества, которые не являются открытыми.

Позволять $\Gamma _{x}$ быть компонентой связности x в топологическом пространстве X и $\Gamma _{x}'$ быть пересечением всех открытых-замкнутых множеств, содержащих ( называемых квазикомпонентами x x ). Тогда $\Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}$ где равенство имеет место, если X компактно или локально связно.

Разрозненные пространства

Пространство, в котором все компоненты являются одноточечными множествами, называется вполне несвязным . В связи с этим свойством пространство X называется полностью разделенным , если для любых двух различных элементов x и y из X существуют непересекающиеся открытые окрестности U x X и V из y такие, что является объединением U и V . Ясно, что любое полностью отделенное пространство полностью несвязно, но обратное неверно. Например, возьмите две копии рациональных чисел Q и идентифицируйте их во всех точках, кроме нуля. Полученное пространство с фактортопологией полностью несвязно. Однако, рассматривая две копии нуля, можно увидеть, что пространство не полностью разделено. Фактически, это даже не Хаусдорф , а условие полной обособленности строго сильнее, чем условие бытия Хаусдорфом.

Наборы, связанные путями

Это подпространство R² связно по путям, поскольку между любыми двумя точками пространства можно провести путь.

Путь из точки x в точку y в топологическом пространстве X — это непрерывная функция f из единичного интервала [0,1] в X с f (0) = x и f (1) = y . Компонент пути X если — это класс эквивалентности X , по отношению эквивалентности которое делает x эквивалентным y, существует путь от x до y . Пространство X называется линейно-связным (или линейно-связным, или 0-связным ), если существует не более одного пути-компонента; то есть, если существует путь, соединяющий любые две точки в X . Опять же, многие авторы исключают пустое пространство.

Каждое пространство, связанное путями, связно. Обратное не всегда верно: примеры связных пространств, не связанных по путям, включают расширенную длинную линию L * и синусоиду тополога .

Однако подмножества реальной линии R связаны тогда и только тогда, когда они связаны путями; эти подмножества интервалами R являются . Кроме того, открытые подмножества R ^н или С ^н связаны тогда и только тогда, когда они связаны по путям. Кроме того, связность и линейная связность одинаковы для конечных топологических пространств .

Произведения пространств

Основная статья: Топология продукта

Дан X такой, что

$X:=\prod _{i\in I}X_{i},$

— декартово произведение топологических X _i пространств индексом с $i\in I$и канонических проекций pi _все : X → X _i , топология произведения на X определяется как самая грубая топология (т.е. топология с наименьшим количеством открытых множеств), для pi _{проекции} непрерывны которой . Топологию произведения иногда называют топологией Тихонова .

Открытые множества в топологии произведения представляют собой объединения (конечные или бесконечные) множеств вида $\prod _{i\in I}U_{i}$, где каждый U _i открыт в X _i и U _i ≠ X _i только конечное число раз. В частности, для конечного произведения (в частности, для произведения двух топологических пространств) произведение базовых элементов X i _дает базис произведения $\prod _{i\in I}X_{i}$.

Топология произведения на X — это топология, порожденная множествами вида p _i ⁻¹ ( U ), где i находится в I , а U — открытое подмножество X _i . Другими словами, множества { p _i ⁻¹ ( U )} образуют подбазу топологии на X . Подмножество объединение X пересечений открыто тогда и только тогда, когда оно представляет собой (возможно, бесконечное) конечного числа множеств вида p _i ⁻¹ ( У ). я Пи _​ ⁻¹ ( U ) иногда называют открытыми цилиндрами , а их пересечения — множествами цилиндров .

В общем, произведение топологий каждого X _i образует основу для того, что называется коробчатой ​​топологией на X . В общем случае топология ящика тоньше топологии произведения, но для конечных произведений они совпадают.

С компактностью связана теорема Тихонова : (произвольное) произведение компактных пространств компактно.

Аксиомы разделения

Основная статья: Аксиома разделения

Многие из этих названий имеют альтернативные значения в некоторой математической литературе, как объяснено в « Истории аксиом разделения» ; например, значения «нормальный» и «Т ₄ » иногда меняются местами, аналогично «обычный» и «Т ₃ » и т. д. Многие понятия также имеют несколько названий; однако тот, который указан первым, всегда с наименьшей вероятностью будет двусмысленным.

Большинство этих аксиом имеют альтернативные определения с тем же значением; определения, данные здесь, соответствуют последовательной схеме, связывающей различные понятия разделения, определенные в предыдущем разделе. Другие возможные определения можно найти в отдельных статьях.

Во всех следующих определениях X снова является топологическим пространством .

• X есть T ₀ или Колмогоров , если любые две различные точки из X различимы топологически . (Обычно среди аксиом разделения имеется одна версия аксиомы, требующая T _0, и одна версия, которая этого не требует.)
• X есть T ₁ , или доступный , или Фреше , если любые две различные точки в X разделены. Таким образом, X является T ₁ тогда и только тогда, когда он одновременно является T ₀ и R ₀ . (Хотя вы можете говорить такие вещи, как Т _1» « пространство , «топология Фреше» и «Предположим, что топологическое пространство X — это пространство Фреше» , избегайте употребления слова «пространство Фреше» существует совершенно другое понятие пространства Фреше в этом контексте, поскольку в функциональном анализе .)
• X является Хаусдорфом , или T ₂ или разделенным , если любые две различные точки в X разделены окрестностями. Таким образом, X хаусдорфово тогда и только тогда, когда оно одновременно T ₀ и R ₁ . Хаусдорфово пространство также должно быть T ₁ .
• X есть T _2½ или Урысон , если любые две различные точки в X разделены замкнутыми окрестностями. В _2½ пространстве тоже должно быть Хаусдорфа.
• X является регулярным , или T ₃ , если это T ₀ и если даны любая точка x и замкнутое множество F в X такие, что x не принадлежит F , они разделены окрестностями. (На самом деле, в регулярном пространстве любые такие x и F также разделены замкнутыми окрестностями.)
• X является тихоновским , или T _3½ , полностью T ₃ , или полностью регулярным , если это T ₀ и если f, для данной точки x и замкнутого множества F в X таких, что x не принадлежит F , они разделены непрерывным функция.
• X является нормальным , или T ₄ , если оно хаусдорфово и если любые два непересекающихся замкнутых подмножества X разделены окрестностями. (На самом деле, пространство является нормальным тогда и только тогда, когда любые два непересекающихся замкнутых множества можно разделить непрерывной функцией; это и есть лемма Урысона .)
• X является полностью нормальным , или T ₅ или полностью T ₄ , если это T ₁ и если любые два разделенных множества разделены окрестностями. Совершенно нормальное пространство должно быть и нормальным.
• X является совершенно нормальным , или T ₆ или совершенно T ₄ , если это T ₁ и если любые два непересекающихся замкнутых множества точно разделены непрерывной функцией. Совершенно нормальное хаусдорфово пространство должно быть также и совершенно нормальным Хаусдорфом.

Теорема о расширении Титце : в нормальном пространстве каждая непрерывная вещественная функция, определенная на замкнутом подпространстве, может быть расширена до непрерывного отображения, определенного на всем пространстве.

счетности

Основная статья: аксиома счетности

Аксиома счетности — это свойство определенных математических объектов (обычно в категории ), требующее существования счетного множества с определенными свойствами, в то время как без него такие множества могли бы не существовать.

Важные аксиомы счетности топологических пространств :

• секвенциальное пространство : множество открыто, если каждая последовательность , сходящаяся к точке в множестве, в конечном итоге находится в множестве.
• первое счетное пространство : каждая точка имеет счетную базу окрестностей (локальную базу)
• второе счетное пространство : топология имеет счетную базу
• сепарабельное пространство : существует счетное плотное подпространство
• Пространство Линделефа : каждое открытое покрытие имеет счетное подпокрытие.
• σ-компакт : существует счетное покрытие компактами.

Связи:

• Каждое первое счетное пространство является последовательным.
• Каждое второй счетное пространство является первым счетным, сепарабельным и линделефовым.
• Каждый σ-компакт линделёфов.
• Метрическое пространство первосчетно.
• Для метрических пространств счетность по секундам, сепарабельность и свойство Линделёфа эквивалентны.

Метрические пространства

Основная статья: Метрическое пространство

Метрическое пространство это упорядоченная пара $(M,d)$ где $M$ представляет собой набор и $d$ является показателем ​ $M$, т. е. функция

$d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$

такой, что для любого $x,y,z\in M$, имеет место следующее:

1. $d(x,y)\geq 0$ ( неотрицательный ),
2. $d(x,y)=0\,$ если только $x=y\,$ ( идентичность неразличимых ),
3. $d(x,y)=d(y,x)\,$ ( симметрия ) и
4. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ ( неравенство треугольника ).

Функция $d$также называется функцией расстояния или просто расстоянием . Часто, $d$ опускается и просто пишется $M$ для метрического пространства, если из контекста ясно, какая метрика используется.

Каждое метрическое пространство паракомпактно , и хаусдорфово , а значит нормально .

Теоремы о метризации дают необходимые и достаточные условия для того, чтобы топология возникла из метрики.

Теорема

Основная статья: Теорема Бэра о категориях

Теорема Бэра о категории гласит: если X — полное метрическое пространство или локально компактное хаусдорфово пространство, то внутренность каждого объединения счетного числа нигде не плотных множеств пуста.

Любое открытое подпространство пространства Бэра само по себе является пространством Бэра.

Основные направления исследований

Три итерации конструкции кривой Пеано, пределом которой является кривая, заполняющая пространство. Кривая Пеано изучается в теории континуума — разделе общей топологии .

Теория континуума

Основная статья: Континуум (топология)

Континуум ) — (pl continua непустое компактное связное метрическое пространство или реже — компактное связное хаусдорфово пространство . Теория континуума — это раздел топологии, посвященный изучению континуумов. Эти объекты часто возникают практически во всех областях топологии и анализа , и их свойства достаточно сильны, чтобы обеспечить множество «геометрических» особенностей.

Динамические системы

Основная статья: Топологическая динамика

Топологическая динамика касается поведения пространства и его подпространств во времени, когда они подвергаются постоянным изменениям. Многие примеры приложений к физике и другим областям математики включают гидродинамику , бильярд и потоки на многообразиях. Топологические характеристики фракталов во фрактальной геометрии, множеств Жюлиа и множества Мандельброта , возникающих в сложной динамике , а также аттракторов в дифференциальных уравнениях часто имеют решающее значение для понимания этих систем.

Бессмысленная топология

Основная статья: Бессмысленная топология

Бесточечная топология (также называемая бесточечной или бесточечной топологией ) — это подход к топологии , при котором избегаются упоминания точек. Название «бессмысленная топология» принадлежит Джону фон Нейману . Идеи бессмысленной топологии тесно связаны с мереотопологиями , в которых регионы (множества) рассматриваются как основополагающие без явной ссылки на базовые множества точек.

Теория размерностей

Основная статья: Теория размерности

Теория размерности — раздел общей топологии, изучающий размерные инварианты топологических пространств .

Топологические

Основная статья: Топологическая алгебра

Топологическая алгебра A над топологическим полем K представляет собой топологическое векторное пространство вместе с непрерывным умножением

$\cdot :A\times A\longrightarrow A$

$(a,b)\longmapsto a\cdot b$

это делает ее алгеброй над K . с единицей Ассоциативная топологическая алгебра является топологическим кольцом .

Этот термин был придуман Дэвидом ван Данцигом ; оно фигурирует в названии его докторской диссертации (1931 г.).

метризуемости

Основная статья: Теорема о метризации

В топологии и смежных областях математики топологическое метризуемым пространством называется пространство гомеоморфное , метрическому пространству . То есть топологическое пространство $(X,\tau )$ называется метризуемым, если существует метрика

$d\colon X\times X\to [0,\infty )$

такая, что топология, индуцированная d , равна $\tau$. Теоремы о метризации — это теоремы , которые дают достаточные условия метризуемости топологического пространства.

топология

Основная статья: Теоретико-множественная топология

Теоретико-множественная топология — это предмет, сочетающий в себе теорию множеств и общую топологию. Он фокусируется на топологических вопросах, которые не зависят от теории множеств Цермело – Френкеля (ZFC). Известная проблема — это нормальный вопрос о пространстве Мура , вопрос общей топологии, который был предметом интенсивных исследований. В конечном итоге было доказано, что ответ на обычный вопрос о пространстве Мура не зависит от ZFC.

См. также

• Список примеров общей топологии
• Глоссарий общей топологии с подробными определениями.
• Список общих тем по топологии для связанных статей
• Категория топологических пространств

Дальнейшее чтение

Некоторые стандартные книги по общей топологии включают:

• Бурбаки , топология Общая . ISBN   0-387-19374-X .
• Джон Л. Келли (1955) Общая топология , ссылка из Интернет-архива , первоначально опубликованная компанией Дэвида Ван Ностранда .
• Стивен Уиллард , Общая топология , ISBN   0-486-43479-6 .
• Джеймс Манкрес , Топология , ISBN   0-13-181629-2 .
• Джордж Ф. Симмонс , Введение в топологию и современный анализ , ISBN   1-575-24238-9 .
• Пол Л. Шик , Топология: множество точек и геометрическая , ISBN   0-470-09605-5 .
• Рышард Энгелькинг , Общая топология , ISBN   3-88538-006-4 .
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Дуврское переиздание издания 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-486-68735-3 , МР   0507446
• O.Ya. Viro, O.A. Ivanov, V.M. Kharlamov and N.Yu. Netsvetaev, Elementary Topology: Textbook in Problems , ISBN   978-0-8218-4506-6 .

arXiv темы Код math.GN. —

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с общей топологией, на Викискладе?