Конечное топологическое пространство

В математике конечное топологическое пространство — это топологическое пространство для которого базовое множество точек конечно , . То есть это топологическое пространство, имеющее лишь конечное число элементов.

Конечные топологические пространства часто используются для предоставления примеров интересных явлений или контрпримеров правдоподобным звучащим гипотезам. Уильям Тёрстон назвал исследование конечных топологий в этом смысле «странной темой, которая можетдать хорошее понимание различных вопросов».

Топологии на конечном множестве

Позволять $X$ быть конечным множеством. Топология ​ на $X$ является подмножеством $\tau$ из $P(X)$ ( силовой набор $X$) такой, что

1. $\varnothing \in \tau$ и $X\in \tau$.
2. если $U,V\in \tau$ затем $U\cup V\in \tau$.
3. если $U,V\in \tau$ затем $U\cap V\in \tau$.

Другими словами, подмножество $\tau$ из $P(X)$ является топологией, если $\tau$ содержит оба $\varnothing$ и $X$ и замкнуто относительно произвольных объединений и пересечений . Элементы $\tau$ называются открытыми множествами . Общее описание топологических пространств требует, чтобы топология была замкнута относительно произвольных (конечных или бесконечных) объединений открытых множеств, но только относительно пересечений конечного числа открытых множеств. Здесь это различие излишне. Поскольку степенное множество конечного множества конечно, может быть только конечное число открытых множеств (и только конечное число замкнутых множеств ).

Топологию на конечном множестве можно также рассматривать подрешетку как $(P(X),\subset )$ который включает в себя как нижний элемент $\varnothing$ и верхний элемент $X$.

Примеры

0 или 1 балл

∅ существует единственная топология На пустом множестве . Единственное открытое множество — пустое. Действительно, это единственное подмножество ∅.

Аналогично, существует уникальная топология одноэлементного множества { a }. Здесь открытыми множествами являются ∅ и { a }. Эта топология одновременно дискретна и тривиальна , хотя в некотором смысле лучше думать о ней как о дискретном пространстве, поскольку она имеет больше общих свойств с семейством конечных дискретных пространств.

Для любого топологического пространства X существует единственная непрерывная функция от ∅ до X , а именно пустая функция . Существует также уникальная непрерывная функция от X до одноэлементного пространства { a }, а именно постоянная функция до a . На языке теории категорий пустое пространство служит исходным объектом в категории топологических пространств , а одноэлементное пространство — конечным объектом .

2 балла

Пусть X = { a , b } — множество из двух элементов. существует четыре различные топологии На X :

1. {∅, { a , b }} ( тривиальная топология )
2. {∅, { а }, { а , б }}
3. {∅, { б }, { а , б }}
4. {∅, { a }, { b }, { a , b }} ( дискретная топология )

Легко видеть, что вторая и третья топологии выше гомеоморфны . Функция из X в себя, меняющая местами a и b, является гомеоморфизмом. Топологическое пространство, гомеоморфное одному из них, называется пространством Серпинского . Итак, на самом деле на множестве двух точек существует только три неэквивалентные топологии: тривиальная, дискретная и топология Серпинского.

Предварительный порядок специализации в пространстве Серпинского { a , b } с открытым { b } задается формулой: a ≤ a , b ≤ b и a ≤ b .

3 балла

Пусть X = { a , b , c } — множество из трёх элементов. существует 29 различных топологий На X , но только 9 неэквивалентных топологий:

1. {∅, { а , б , с }}
2. {∅, { с }, { а , б , с }}
3. {∅, { а , б }, { а , б , с }}
4. {∅, { с }, { а , б }, { а , б , с }}
5. {∅, { с }, { б , с }, { а , б , с }} ( Т ₀ )
6. {∅, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }} ( Т ₀ )
7. {∅, { а }, { б }, { а , б }, { а , б , с }} ( Т ₀ )
8. {∅, { б }, { с }, { а , б }, { б , с }, { а , б , с }} ( Т ₀ )
9. {∅, { а }, { б }, { с }, { а , б }, { а , с }, { б , с }, { а , б , с }} ( Т ₀ )

Все последние 5 из них — T ₀ . Первый из них тривиален, а в пунктах 2, 3 и 4 точки a и b неразличимы топологически .

4 балла

Пусть X = { a , b , c , d } — набор из 4 элементов. существует 355 различных топологий На X , но только 33 неэквивалентных топологии:

1. {∅, { а , б , с , d }}
2. {∅, { а , б , с }, { а , б , с , d }}
3. {∅, { а }, { а , б , с , d }}
4. {∅, { а }, { а , б , с }, { а , б , с , d }}
5. {∅, { а , б }, { а , б , с , d }}
6. {∅, { а , б }, { а , б , с }, { а , б , с , d }}
7. {∅, { а }, { а , б }, { а , б , с , d }}
8. {∅, { а }, { б }, { а , б }, { а , б , с , d }}
9. {∅, { а , б , с }, { d }, { а , б , с , d }}
10. {∅, { а }, { а , б , с }, { а , d }, { а , б , с , d }}
11. {∅, { а }, { а , б , с }, { d }, { а , d }, { а , б , с , d }}
12. {∅, { а }, { б , с }, { а , б , с }, { а , d }, { а , б , с , d }}
13. {∅, { а , б }, { а , б , с }, { а , б , d }, { а , б , с , d }}
14. {∅, { а , б }, { с }, { а , б , с }, { а , б , с , d }}
15. {∅, { а , б }, { с }, { а , б , с }, { а , б , d }, { а , б , с , d }}
16. {∅, { a , b }, { c }, { a , b , c }, { d }, { a , b , d }, { c , d }, { a , b , c , d }}
17. {∅, { б , с }, { а , d }, { а , б , с , d }}
18. {∅, { а }, { а , б }, { а , б , с }, { а , б , d }, { а , б , с , d }} ( Т ₀ )
19. {∅, { а }, { а , б }, { а , с }, { а , б , с }, { а , б , с , d }} ( Т ₀ )
20. {∅, { а }, { б }, { а , б }, { а , с }, { а , б , с }, { а , б , с , d }} ( Т ₀ )
21. {∅, { а }, { а , б }, { а , б , с }, { а , б , с , d }} ( Т ₀ )
22. {∅, { а }, { б }, { а , б }, { а , б , с }, { а , б , с , d }} ( Т ₀ )
23. {∅, { а }, { а , б }, { с }, { а , с }, { а , б , с }, { а , б , d }, { а , б , с , d }} ( Т ₀ )
24. {∅, { а }, { а , б }, { а , с }, { а , б , с }, { а , б , d }, { а , б , с , d }} ( Т ₀ )
25. {∅, { а }, { б }, { а , б }, { а , б , с }, { а , б , d }, { а , б , с , d }} ( Т ₀ )
26. {∅, { а }, { б }, { а , б }, { а , с }, { а , б , с }, { а , б , d }, { а , б , с , d }} ( Т ₀ )
27. {∅, { а }, { б } а , б } , { б , с , { }, { а , б , с }, { а , d }, { а , б , d }, { а , б , в , d }} ( Т ₀ )
28. {∅, { а }, { а , б }, { а , с }, { а , б , с }, { а , d }, { а , б , d }, { а , с , d }, { а , б , в , d }} ( Т ₀ )
29. {∅, { а }, { б }, { , б } , { а , с а }, { а , б , с }, { а , d }, { а , б , d }, { а , с , d }, { а , б , c , d }} ( Т ₀ )
30. {∅, { а }, { б }, { а , б , { с }, { а , с } б , с } , { }, { а , б , с }, { а , б , d }, { а , б , в , d }} ( Т ₀ )
31. {∅, { а }, { б }, { а , б , { с }, { а , с } } , { б , с }, { а , б , с }, { а , d }, { а , б , d }, { а , c , d } , { а , б , c , d }} ( Т ₀ )
32. {∅, { а }, { б }, { а , б , { с }, { а , с } б , с } , { }, { а , б , с }, { а , б , с , d } } ( Т ₀ )
33. {∅, { а }, { б }, { а , б , { с }, { а , с } } , { б , с }, { а , б , с }, { d }, { а , d } , { б , d } , { а , б , d } , { c , d } , { а , c , d } , { б , c , d } , { а , б , c , d }} ( Т ₀ )

Все последние 16 из них — T ₀ .

Свойства

Предзаказ на специализацию

Топологии на конечном множестве X находятся во взаимно однозначном соответствии с предпорядками на X . Напомним, что предварительный порядок на X — это бинарное отношение на X , которое является рефлексивным и транзитивным .

Учитывая (не обязательно конечное) топологическое пространство X, мы можем определить предварительный порядок на X следующим образом:

x ≤ y тогда и только тогда, когда x ∈ cl{ y }

где cl{ y } обозначает замыкание одноэлементного множества { y }. Этот предварительный порядок называется предварительным порядком специализации на X . Каждое открытое множество U из X будет верхним множеством относительно ⩽ (т.е. если x ∈ U и x ⩽ y , то y ∈ U ). Теперь, если X конечно, обратное также верно: каждое верхнее множество открыто в X . Таким образом, для конечных пространств топология X однозначно определяется условием ≤.

Двигаясь в другом направлении, предположим, что ( X , ≤) — предварительно упорядоченный набор. Определим топологию τ на X , приняв открытые множества как верхние множества относительно ≤. Тогда отношение ≤ будет предпорядком специализации ( X , τ). Определенная таким образом топология называется топологией Александрова, определяемой условием ≤.

Эквивалентность между предпорядками и конечными топологиями можно интерпретировать как версию теоремы Биркгофа о представлении , эквивалентности между конечными дистрибутивными решетками (решеткой открытых множеств топологии) и частичными порядками (частичным порядком классов эквивалентности предпорядка). Это соответствие также работает для более широкого класса пространств, называемых конечно порожденными пространствами . Конечно порожденные пространства можно охарактеризовать как пространства, в которых открыто произвольное пересечение открытых множеств. Конечные топологические пространства — это особый класс конечно порожденных пространств.

Компактность и счетность

Каждое конечное топологическое пространство компактно , поскольку любое открытое покрытие уже должно быть конечным. Действительно, компактные пространства часто рассматриваются как обобщение конечных пространств, поскольку они обладают многими одинаковыми свойствами.

Каждое конечное топологическое пространство также вторично счетно (существует только конечное число открытых множеств) и сепарабельно (поскольку само пространство счетно ).

Аксиомы разделения

Если конечное топологическое пространство есть T ₁ (в частности, если оно хаусдорфово ), то оно фактически должно быть дискретным. Это связано с тем, что дополнение точки представляет собой конечное объединение замкнутых точек и, следовательно, замкнуто. Отсюда следует, что каждая точка должна быть открытой.

Следовательно, любое конечное топологическое пространство, которое не является дискретным, не может быть T ₁ , Хаусдорфовым или чем-то более сильным.

Однако возможно, что недискретное конечное пространство будет T ₀ . В общем, две точки x и y тогда топологически неразличимы и только тогда, когда ≤ y и y ≤ x , где ≤ — предварительный порядок специализации на X. x Отсюда следует, что пространство X является T ₀ тогда и только тогда, когда предварительный порядок специализации ⩽ на X является частичным порядком . На конечном множестве существует множество частичных порядков. Каждый определяет уникальную топологию T ₀ .

Аналогично, пространство является R ₀ тогда и только тогда, когда предварительный порядок специализации является отношением эквивалентности. Для любого отношения эквивалентности на конечном множестве X соответствующая топология является топологией разбиения на X . Классами эквивалентности будут классы топологически неразличимых точек. Поскольку топология разбиения псевдометризуема , конечное пространство является R ₀ тогда и только тогда, когда оно вполне регулярно .

Недискретные конечные пространства также могут быть нормальными . Топология исключенной точки на любом конечном множестве представляет собой вполне нормальное пространство T0 _, которое не является дискретным.

Связь

Связность в конечном пространстве X лучше всего понять, рассмотрев предварительный порядок специализации ≤ на X . Мы можем связать с любым предупорядоченным множеством X Γ ориентированный граф , взяв точки X в качестве вершин и нарисовав ребро x → y всякий раз, когда x ⩽ y . Связность конечного пространства X можно понять, рассмотрев связность соответствующего графа Γ.

В любом топологическом пространстве, если x ≤ y , то существует путь от x до y . Можно просто взять f (0) = x и f ( t ) = y при t > 0. Легко проверить, что f непрерывна. Отсюда следует, что компоненты путей конечного топологического пространства — это в точности (слабо) связные компоненты соответствующего графа Γ. То есть топологический путь от x к y существует тогда и только тогда, когда существует ненаправленный путь между соответствующими вершинами графа Γ.

Всякое конечное пространство локально линейно связно, поскольку множество

$\mathop {\uparrow } x=\{y\in X:x\leq y\}$

, связанная по путям — это открытая окрестность точки x и содержащаяся в любой другой окрестности. Другими словами, этот единственный набор образует локальную базу в точке x .

Следовательно, конечное пространство связно тогда и только тогда, когда оно линейно связно. Компоненты связности — это именно компоненты пути. компонент одновременно закрыт и открыт в X. Каждый такой

Конечные пространства могут иметь более сильные свойства связности. Конечное пространство X — это

• гиперсвязен тогда и только тогда, когда существует наибольший элемент относительно предпорядка специализации. Это элемент, замыканием которого является все X. пространство
• ультрасвязен тогда и только тогда, когда существует наименьший элемент относительно предпорядка специализации. Это элемент, единственной окрестностью которого является все X. пространство

Например, конкретная точечная топология в конечном пространстве является гиперсвязной, а исключенная точечная топология - ультрасвязной. Пространство Серпинского — это и то, и другое.

Дополнительная структура

Конечное топологическое пространство псевдометризуемо тогда и только тогда, когда оно есть R ₀ . В этом случае одна из возможных псевдометрик определяется выражением

$d(x,y)={\begin{cases}0&x\equiv y\\1&x\not \equiv y\end{cases}}$

где x ≡ y означает, x и y что топологически неразличимы . Конечное топологическое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно дискретно.

Аналогично, топологическое пространство униформизуемо тогда и только тогда, когда оно есть R ₀ . Равномерной структурой будет псевдометрическая однородность, индуцированная вышеуказанной псевдометрикой.

Алгебраическая топология

Возможно, это удивительно, но существуют конечные топологические пространства с нетривиальными фундаментальными группами . Простым примером является псевдоокружность , представляющая собой пространство X с четырьмя точками, две из которых открыты, а две закрыты. Существует непрерывное отображение единичной окружности S ¹ в X , что является слабой гомотопической эквивалентностью (т. е. индуцирует изоморфизм гомотопических групп ). Отсюда следует, что фундаментальная группа псевдоокруга является бесконечной циклической .

В более общем плане было показано, что для любого конечного абстрактного симплициального комплекса K существует конечное топологическое пространство X _K и слабая гомотопическая эквивалентность f : | К | → X _K где | К | является реализацией K геометрической . Отсюда следует, что гомотопические группы | К | и X _K изоморфны. Фактически, базовым набором X _K можно считать сам K с топологией, связанной с частичным порядком включения.

Количество топологий

Как обсуждалось выше, топологии на конечном множестве находятся во взаимно однозначном соответствии с предварительными порядками на множестве, а T ₀ топологии находятся во взаимно однозначном соответствии с частичными порядками . Следовательно, количество топологий на конечном множестве равно числу предпорядков, а количество топологий T ₀ равно числу частичных порядков.

В таблице ниже указано количество различных (T ₀ ) топологий в наборе из n элементов. Здесь также указано количество неэквивалентных (т.е. негомеоморфных ) топологий.

Количество топологий в наборе из n точек

н	Отчетливый топологии	Отчетливый Т 0 Топологии	Неэквивалентный топологии	Неэквивалентный Т 0 Топологии
0	1	1	1	1
1	1	1	1	1
2	4	3	3	2
3	29	19	9	5
4	355	219	33	16
5	6942	4231	139	63
6	209527	130023	718	318
7	9535241	6129859	4535	2045
8	642779354	431723379	35979	16999
9	63260289423	44511042511	363083	183231
10	8977053873043	6611065248783	4717687	2567284
ОЭИС	А000798	А001035	А001930	А000112

Пусть T ( n ) обозначает количество различных топологий на множестве с n точками. Не существует известной простой формулы для вычисления T ( n ) для произвольного n . Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей в настоящее время перечисляет T ( n ) для n ≤ 18.

Число различных топологий T ₀ на множестве с n точками, обозначаемое T ₀ ( n ), связано с T ( n ) формулой

$T(n)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)\,T_{0}(k)$

где S ( n , k ) обозначает число Стирлинга второго рода .

См. также

• Конечная геометрия
• Конечное метрическое пространство
• Топологическая комбинаторика

Ссылки

• Стонг, Роберт Э. (1966). «Конечные топологические пространства» (PDF) . Труды Американского математического общества . 123 (2): 325–340. дои : 10.1090/s0002-9947-1966-0195042-2 . МР   0195042 .
• МакКорд, Майкл К. (1966). «Особые группы гомологии и гомотопические группы конечных топологических пространств» (PDF) . Герцог Мат. Дж . 33 (3): 465–474. дои : 10.1215/S0012-7094-66-03352-7 .
• Бармак, Джонатан (2011). Алгебраическая топология конечных топологических пространств и ее приложения . Спрингер. ISBN  978-3-642-22002-9 .
• Меррифилд, Ричард; Симмонс, Ховард Э. (1989). Топологические методы в химии . Уайли. ISBN  978-0-471-83817-3 .

Внешние ссылки

• Мэй, JP (2003). «Заметки и материалы для чтения по конечным топологическим пространствам» (PDF) . Примечания для РЭУ .