Топология раздела

В математике топология разбиения — это топология , которая может быть индуцирована на любом множестве. $X$ путем разделения $X$ на непересекающиеся подмножества $P;$ эти подмножества составляют основу топологии. Есть два важных примера, которые имеют свои собственные имена:

• The нечетно-четная топология - это топология, в которой $X=\mathbb {N}$ и $P={\left\{~\{2k-1,2k\}:k\in \mathbb {N} \right\}}.$ Эквивалентно, $P=\{~\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\},\ldots \}.$
• The Топология удаленных целых чисел определяется путем разрешения $X={\begin{matrix}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(n-1,n)\subseteq \mathbb {R} \end{matrix}}$ и $P={\left\{(0,1),(1,2),(2,3),\ldots \right\}}.$

Тривиальные разбиения дают дискретную топологию (каждая точка $X$ это набор в $P,$ так $P=\{~\{x\}~:~x\in X~\}$) или недискретная топология (все множество $X$ находится в $P,$ так $P=\{X\}$).

Любой набор $X$ с топологией раздела, созданной разделом $P$ можно рассматривать как псевдометрическое пространство с псевдометрикой, заданной следующим образом: $$d(x,y)={\begin{cases}0&{\text{if }}x{\text{ and }}y{\text{ are in the same partition element}}\\1&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$$

Это не показатель, если только $P$ дает дискретную топологию.

Топология разделения представляет собой важный пример независимости различных аксиом разделения . Пока не $P$ тривиально, хотя бы один набор в $P$ содержит более одной точки, и элементы этого множества топологически неразличимы : топология не разделяет точки. Следовательно $X$ не является пространством Колмогорова , T1 _или пространством , пространством Хаусдорфа пространством Урысона . В топологии разделов дополнение к каждому открытому множеству также открыто, и, следовательно, множество открыто тогда и только тогда, когда оно закрыто. Поэтому, $X$ регулярно , , совершенно регулярно нормально и совершенно нормально . $X/P$ — дискретная топология.

См. также

• Список топологий - Список конкретных топологий и топологических пространств.

Ссылки

• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Дуврское переиздание издания 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-486-68735-3 , МР   0507446