Тривиальная топология
В топологии топологическое пространство с тривиальной топологией — это пространство, в котором единственными открытыми множествами являются пустое множество и все пространство. Такие пространства принято называть недискретными , антидискретными , конкретными или кодискретными . Интуитивно это приводит к тому, что все точки пространства «собраны вместе» и не могут быть различимы топологическими средствами. Каждое недискретное пространство является псевдометрическим пространством , в котором расстояние между любыми двумя точками равно нулю .
Подробности [ править ]
Тривиальная топология — это топология с наименьшим возможным количеством открытых множеств , а именно с пустым множеством и всем пространством, поскольку определение топологии требует, чтобы эти два множества были открыты. Несмотря на свою простоту, пространство X с более чем одним элементом и тривиальной топологией лишено ключевого желательного свойства: оно не является T 0 пространством .
Другие свойства недискретного пространства X , многие из которых весьма необычны, включают:
- Единственными закрытыми множествами являются пустое множество X. и
- Единственно возможный базис X — это { X }.
- Если X имеет более одной точки, то, поскольку это не T 0 не удовлетворяет ни одной из высших аксиом T. , оно также В частности, это не хаусдорфово пространство . Не будучи Хаусдорфом, X не является топологией порядка и не метризуемо .
- X , однако, регулярен , совершенно регулярен , нормален и совершенно нормален ; однако все это довольно бессодержательно, поскольку единственными замкнутыми множествами являются ∅ и X .
- X компактно паракомпактно и, следовательно, , по Линделефу , и локально компактно .
- Любая функция которой , областью определения является топологическое пространство и областью определения X, является непрерывной .
- X связан по путям и поэтому связан .
- X является счетным по счету во второй раз и, следовательно, счетным по счету в первый раз , сепарабельным и линделефовым .
- Все подпространства X имеют тривиальную топологию.
- Все факторпространства X имеют тривиальную топологию
- Произвольные произведения тривиальных топологических пространств либо с топологией произведения , либо с топологией ящика имеют тривиальную топологию.
- Все последовательности в X сходятся точке X. к каждой В частности, у каждой последовательности есть сходящаяся подпоследовательность (вся последовательность или любая другая подпоследовательность), поэтому X компактно секвенциально .
- Внутренность X каждого множества, кроме , пуста.
- Замыкание каждого непустого подмножества X есть X . Другими словами: каждое непустое подмножество X плотно — свойство , которое характеризует тривиальные топологические пространства.
- В результате замыкание каждого открытого подмножества U в X равно либо ∅ (если U = ∅), либо X (в противном случае). В частности, замыкание каждого открытого подмножества X снова является открытым множеством, и, следовательно, X несвязно экстремально .
- Если S — любое подмножество X , то все элементы X являются предельными точками S. с более чем одним элементом Если S является одноэлементным , то каждая точка X \ S предельной точкой S. по-прежнему является
- X — пространство Бэра .
- Два топологических пространства, несущих тривиальную топологию, гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую мощность .
В некотором смысле противоположностью тривиальной топологии является дискретная топология , в которой каждое подмножество открыто.
Тривиальная топология принадлежит однородному пространству , в котором все декартово произведение X × X является единственным окружением .
Пусть Top — категория топологических пространств с непрерывными отображениями, а Set — категория множеств с функциями. Если G : Top → Set — это функтор , который присваивает каждому топологическому пространству его базовое множество (так называемый функтор забывания ), а H : Set → Top — это функтор, который помещает тривиальную топологию в заданное множество, то H (функтор забывания) так называемый функтор ) справа сопряжен с G. косвободный (Так называемый свободный функтор F : Set → Top , который задает дискретную топологию заданному множеству, сопряжен слева с G .) [1] [2]
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Киган Смит, «Сопряженные функторы в алгебре, топологии и математической логике» , 8 августа 2008 г., стр. 13.
- ^ бесплатный функтор в nLab
Ссылки [ править ]
- Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Дуврское переиздание издания 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3 , МР 0507446