Крайне отключенное пространство
В математике экстремально несвязное пространство — это топологическое пространство , в котором замыкание каждого открытого множества открыто. (Термин «чрезвычайно отключенный» является правильным, хотя слово «чрезвычайно» не встречается в большинстве словарей. [1] и иногда программы проверки правописания принимают его за омофон крайне несвязный .)
Экстремально несвязное пространство, которое также является компактным и Хаусдорфовым , иногда называют стоуновым пространством . Это не то же самое, что пространство Стоуна , которое представляет собой полностью несвязный компакт Хаусдорфа. Каждое стоновское пространство является пространством Стоуна, но не наоборот. В двойственности между пространствами Стоуна и булевыми алгебрами пространства Стоуна соответствуют полным булевым алгебрам .
Экстремально несвязное коллекционно -первосчетное хаусдорфово пространство должно быть дискретным . В частности, для метрических пространств свойство экстремальной несвязности (замыкание каждого открытого множества открыто) эквивалентно свойству дискретности (всякое множество открыто).
Примеры и не примеры
[ редактировать ]- Каждое дискретное пространство экстремально несвязно. Каждое недискретное пространство одновременно экстремально несвязно и связно.
- Компактификация Стоуна –Чеха дискретного пространства экстремально несвязна.
- Спектр алгебры фон абелевой Неймана экстремально несвязен.
- Любая коммутативная AW*-алгебра изоморфна где экстремально несвязен, компактен и хаусдорфов.
- Любое бесконечное пространство с коконечной топологией одновременно экстремально несвязно и связно . В более общем смысле любое гиперсвязное пространство является экстремально несвязным.
- Пространство на три точки с основанием дает конечный пример пространства, которое одновременно экстремально несвязно и связно. Другой пример дает пространство Серпинского , поскольку оно конечно, связно и гиперсвязно.
Следующие пространства не являются экстремально несвязными:
- Множество Кантора не является экстремально несвязным. Однако он полностью отключен.
Эквивалентные характеристики
[ редактировать ]Теорема Глисона (1958) гласит, что объекты категории проективные бикомпактов являются в точности экстремально несвязными бикомпактами. Упрощенное доказательство этого факта дает Рейнуотер (1959) .
Компакт Хаусдорфа является экстремально несвязным тогда и только тогда, когда он является ретрактом компактификации Стоуна–Чеха дискретного пространства. [2]
Приложения
[ редактировать ]Хартиг (1983) доказывает теорему о представлении Рисса–Маркова–Какутани , сводя ее к случаю экстремально несвязных пространств, и в этом случае теорему о представлении можно доказать элементарными средствами.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ "крайне" . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . (Требуется подписка или членство участвующей организации .)
- ^ Семадени (1971 , Thm. 24.7.1)
- А. В. Архангельский (2001) [1994], «Экстремально-несвязное пространство» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- Глисон, Эндрю М. (1958), «Проективные топологические пространства», Illinois Journal of Mathematics , 2 (4A): 482–489, doi : 10.1215/ijm/1255454110 , MR 0121775
- Хартиг, Дональд Г. (1983), «Возвращение к теореме о представлении Рисса», American Mathematical Monthly , 90 (4): 277–280, doi : 10.2307/2975760 , JSTOR 2975760
- Джонстон, Питер Т. (1982). Каменные просторы . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-23893-5 .
- Рейнуотер, Джон (1959), «Заметки о проективных резолюциях», Труды Американского математического общества , 10 (5): 734–735, doi : 10.2307/2033466 , JSTOR 2033466
- Семадени, Збигнев (1971), Банаховы пространства непрерывных функций. Том. I , PWN --- Польское научное издательство, Варшава, MR 0296671