AW*-алгебра
В математике AW *-алгебра — это алгебраическое обобщение W*-алгебры . Их представил Ирвинг Каплански в 1951 году. [1] Как операторные алгебры , алгебры фон Неймана среди всех C*-алгебр обычно обрабатываются одним из двух способов: они представляют собой двойственное пространство к некоторому банаховому пространству и в значительной степени определяются своими проекциями. Идея, лежащая в основе AW*-алгебр, состоит в том, чтобы отказаться от первого, топологического, условия и использовать только второе, алгебраическое, условие.
Определение [ править ]
Напомним, что проекция С*-алгебры — это самосопряженный идемпотентный элемент . AC*-алгебра A является AW*-алгеброй, если для любого подмножества S из A левый аннулятор
порождается как левый идеал некоторой проекцией p поля A , и аналогичным образом правый аннулятор порождается как правый идеал некоторой проекцией q :
- .
Следовательно, AW*-алгебра является C*-алгеброй, являющейся в то же время бэровским *-кольцом .
Исходное определение Капланского гласит, что AW*-алгебра — это C*-алгебра такая, что (1) любой набор ортогональных проекторов имеет наименьшую верхнюю границу и (2) что каждая максимальная коммутативная C*-подалгебра порождается своей прогнозы. Первое условие гласит, что проекции имеют интересную структуру, а второе условие гарантирует, что проекций будет достаточно, чтобы они были интересными. [1] Заметим, что второе условие эквивалентно условию монотонной полноты каждой максимальной коммутативной С*-подалгебры.
Теория структуры [ править ]
Многие результаты, касающиеся алгебр фон Неймана, переносятся и на AW*-алгебры. Например, AW*-алгебры можно классифицировать по поведению их проекций и разлагать на типы . [2] Другой пример: нормальные матрицы с элементами AW*-алгебры всегда можно диагонализовать. [3] AW*-алгебры также всегда имеют полярное разложение . [4]
Однако существуют также способы, которыми AW*-алгебры ведут себя иначе, чем алгебры фон Неймана. [5] Например, AW*-алгебры типа I могут проявлять патологические свойства: [6] хотя Капланский уже показал, что такие алгебры с тривиальным центром автоматически являются алгебрами фон Неймана.
Коммутативный случай [ править ]
Коммутативная C*-алгебра является AW*-алгеброй тогда и только тогда, когда ее спектр является стоновским пространством . Таким образом, в силу двойственности Стоуна коммутативные AW*-алгебры соответствуют полным булевым алгебрам . Проекции коммутативной AW*-алгебры образуют полную булевую алгебру, и наоборот, любая полная булева алгебра изоморфна проекциям некоторой коммутативной AW*-алгебры.
Ссылки [ править ]
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Капланский, Ирвинг (1951). «Проекции в банаховых алгебрах». Анналы математики . 53 (2): 235–249. дои : 10.2307/1969540 .
- ^ Бербериан, Стерлинг (1972). *-кольца Бэра . Спрингер.
- ^ Хойнен, Крис; Рейес, Мануэль Л. (2013). «Диагонализация матриц над AW*-алгебрами». Журнал функционального анализа . 264 (8): 1873–1898. arXiv : 1208.5120 . дои : 10.1016/j.jfa.2013.01.022 .
- ^ Ара, Пере (1989). «Левая и правая проекции эквивалентны в С*-алгебрах Рикарта» . Журнал алгебры . 120 (2): 433–448. дои : 10.1016/0021-8693(89)90209-3 .
- ^ Райт, Дж. Д. Мейтленд. «AW*-алгебра» . Спрингер.
- ^ Одзава, Масанао (1984). «Неединственность мощности, придаваемой однородным AW*-алгебрам». Труды Американского математического общества . 93 : 681–684. дои : 10.2307/2045544 .