Кольцо Бэра

В абстрактной алгебре функциональном анализе и кольца Бэра , *-кольца Бэра , кольца Рикарта , *-кольца Рикарта и AW*-алгебры представляют собой различные попытки дать алгебраический аналог алгебр фон Неймана , используя аксиомы об аннуляторах различных множеств.

Любая алгебра фон Неймана является *-кольцом Бэра, и большая часть теории проекций в алгебрах фон Неймана может быть распространена на все *-кольца Бэра. Например, *-кольца Бэра можно разделить на типы I, II и III. так же, как и алгебры фон Неймана.

В литературе левые кольца Рикарта также называют левыми PP-кольцами . («Принципал подразумевает проективность»: см. определения ниже.)

Определения

Идемпотентным элементом кольца является элемент e , обладающий свойством e ² = и .
Левый  аннигилятор множества $X\subseteq R$ является $\{r\in R\mid rX=\{0\}\}$
— (Левое) кольцо Рикарта это кольцо, удовлетворяющее любому из следующих условий:

левый аннулятор любого отдельного элемента R порождается (как левый идеал) идемпотентным элементом.
(Для колец с единицей) левый аннулятор любого элемента является прямым слагаемым R .
Все главные левые идеалы (идеалы вида Rx ) являются проективными R- модулями. ^[1]

Кольцо Бэра имеет следующие определения:

Левый аннулятор любого подмножества R порождается (как левый идеал) идемпотентным элементом.
(Для колец с единицей) Левый аннулятор любого подмножества R является прямым слагаемым R . ^[2] Для колец с единицей замена всех вхождений слова «left» на «right» дает эквивалентное определение, то есть определение является симметричным слева направо. ^[3]

В теории операторов определения немного усиливаются за счет требования, чтобы кольцо R имело инволюцию $*:R\rightarrow R$ . Поскольку это делает R изоморфным противоположному ему кольцу R ^на, определение *-кольца Рикарта симметрично слева направо.

Проекция в — *-кольце это идемпотент p , который является самосопряженным ( p * = p ).
— *-кольцо Рикарта это *-кольцо, в котором левый аннулятор любого элемента порождается (как левый идеал) проекцией.
— *-кольцо Бэра это *-кольцо, в котором левый аннулятор любого подмножества порождается (как левый идеал) проекцией.
AW *-алгебра , введенная Капланским (1951) , представляет собой C*-алгебру , которая также является *-кольцом Бэра.

Примеры

Поскольку главные левые идеалы левого наследственного кольца или левого полунаследственного кольца проективны, то ясно, что оба типа являются левыми кольцами Риккарта. Сюда входят регулярные кольца фон Неймана , которые являются полунаследственными слева и справа. Если регулярное кольцо фон Неймана R также самоинъективно справа или слева , то R бэрово.
Любое полупростое кольцо является бэровским, поскольку все левые и правые идеалы являются слагаемыми в R , включая аннуляторы.
Любая область является Бэровской, поскольку все аннигиляторы $\{0\}$ за исключением аннулятора 0, который равен R , и оба $\{0\}$ и R являются слагаемыми R .
Кольцо ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве является бэровским кольцом, а также бэровским *-кольцом с инволюцией *, заданной сопряженным.
Алгебры фон Неймана являются примерами всех перечисленных выше типов колец.

Характеристики

Проекции в *-кольце Рикарта образуют решетку , которая полна , если кольцо является *-кольцом Бэра.

См. также

Бэра *-полугруппа

Примечания

^ Кольца Рикарта названы в честь Рикарта (1946), который изучал аналогичное свойство в операторных алгебрах. Это условие «главного подразумевает проективность» является причиной того, что кольца Рикарта иногда называют PP-кольцами. ( Лам 1999 )
^ Это условие было изучено Рейнхольдом Баером ( 1952 ).
^ Тай Лам (1999), «Лекции о модулях и кольцах» ISBN 0-387-98428-3 стр.260

Ссылки

Баер, Рейнхольд (1952), Линейная алгебра и проективная геометрия , Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-486-44565-6 , МР 0052795
Бербериан, Стерлинг К. (1972), *-кольца Бэра , Основные принципы математических наук, том. 195, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-3-540-05751-2 , МР 0429975
Капланский, Ирвинг (1951), «Проекции в банаховых алгебрах», Annals of Mathematics , Second Series, 53 (2): 235–249, doi : 10.2307/1969540 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969540 , MR 0042067
Каплански И. (1968), Кольца операторов , Нью-Йорк: WA Benjamin, Inc.
Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5 , МР 1653294
Рикарт, CE (1946), «Банаховые алгебры с присоединенной операцией», Annals of Mathematics , Second Series, 47 (3): 528–550, doi : 10.2307/1969091 , JSTOR 1969091 , MR 0017474
Л. А. Скорняков (2001) [1994], "Регулярное кольцо (в смысле фон Неймана)" , Энциклопедия Математики , EMS Press
Л. А. Скорняков (2001) [1994], «Кольцо Рикарта» , Энциклопедия Математики , EMS Press
JDM Wright (2001) [1994], «Алгебра AW*» , Математическая энциклопедия , EMS Press

[1] Кольца Рикарта названы в честь Рикарта (1946), который изучал аналогичное свойство в операторных алгебрах. Это условие «главного подразумевает проективность» является причиной того, что кольца Рикарта иногда называют PP-кольцами. ( Лам 1999 )

[2] Это условие было изучено Рейнхольдом Баером ( 1952 ).

[3] Тай Лам (1999), «Лекции о модулях и кольцах» ISBN 0-387-98428-3 стр.260

[1]

[2]

[3]