Домен (теория колец)

В алгебре областью , называется ненулевое кольцо в котором из ab = 0 следует a = 0 или b = 0 . ^[1] (Иногда о таком кольце говорят, что оно «обладает свойством нулевого произведения ».) Эквивалентно, домен — это кольцо, в котором 0 — единственный левый делитель нуля (или, что то же самое, единственный правый делитель нуля). область Коммутативная называется областью целостности . ^[1]^[2] В математической литературе встречается множество вариантов определения понятия «домен». ^[3]

Примеры и не примеры [ править ]

Кольцо $\mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$ не является областью определения, поскольку образы чисел 2 и 3 в этом кольце являются ненулевыми элементами с произведением 0. В более общем смысле, для положительного целого числа $n$ , кольцо $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ является доменом тогда и только тогда, когда $n$ является простым.
Конечная область автоматически является конечным полем по малой теореме Веддерберна .
Кватернионы образуют некоммутативную область. В более общем смысле любое тело является областью, поскольку каждый ненулевой элемент обратим .
Набор всех липшицевых кватернионов , то есть кватернионов вида $a+bi+cj+dk$ где a , b , c , d — целые числа, является некоммутативным подкольцом кватернионов, следовательно, некоммутативной областью.
Аналогично множество всех кватернионов Гурвица , то есть кватернионов вида $a+bi+cj+dk$ где a , b , c , d — либо все целые числа, либо все полуцелые числа , является некоммутативной областью.
Кольцо матриц M _n ( R ) для n ≥ 2 никогда не является областью определения: если R не равно нулю, такое кольцо матриц имеет ненулевые делители нуля и даже нильпотентные элементы, отличные от 0. Например, квадрат матричной единицы E ₁₂ равен 0.
Тензорная алгебра векторного пространства или, что то же самое, алгебра многочленов от некоммутирующих переменных над полем, $\mathbb {K} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,$ это домен. Это можно доказать, упорядочив некоммутативные мономы.
Если R — домен, а S — расширение Оре R , то S — домен.
Алгебра Вейля является некоммутативной областью.
Универсальная обертывающая алгебра любой алгебры Ли над полем является областью. Доказательство использует стандартную фильтрацию на универсальной обертывающей алгебре и теорему Пуанкаре–Биркгофа–Витта .

проблема нуля Групповые кольца и делителя

Предположим, что G — группа , а K — поле . Является ли групповое кольцо R = K [ G ] областью? Личность

(1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n},

показывает, что элемент g конечного порядка n > 1 индуцирует делитель нуля 1 − g в R . Проблема делителя нуля спрашивает, является ли это единственным препятствием; другими словами,

Для данного поля K и без кручения группы G верно ли, что K [ G ] не содержит делителей нуля?

Контрпримеры неизвестны, но в целом проблема (по состоянию на 2017 год) остается открытой.

Для многих специальных классов групп ответ утвердительный. Фаркас и Снайдер доказали в 1976 году, что если G группа без кручения — полициклическая и char K = 0 , то групповое кольцо K [ G ] является областью. Позже (1980 г.) Клифф снял ограничение на характеристику поля. В 1988 году Крофоллер, Линнелл и Муди обобщили эти результаты на случай разрешимых групп без кручения и разрешимых конечными группами. Ранее (1965 г.) работа Мишеля Лазара , важность которой не оценивалась специалистами в этой области около 20 лет, была посвящена случаю, когда K — кольцо p-адических целых чисел , а G я — p- конгруэнтная подгруппа группы GL. ( п , Z ) .

Спектр целой области [ править ]

Делители нуля имеют топологическую интерпретацию, по крайней мере, в случае коммутативных колец: кольцо R является областью целостности тогда и только тогда, когда оно приведено и его спектр Spec R является неприводимым топологическим пространством . Часто считается, что первое свойство кодирует некоторую бесконечно малую информацию, тогда как второе является более геометрическим.

Пример: кольцо k [ x , y ]/( xy ) , где k — поле, не является областью определения, так как образы x и y в этом кольце являются делителями нуля. Геометрически это соответствует тому, что спектр этого кольца, представляющего собой объединение прямых x = 0 и y = 0 , не является неприводимым. Действительно, эти две линии являются его неприводимыми компонентами.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Jump up to: ^а ^б Лам (2001), с. 3
^ Роуэн (1994), с. 99.
^ Некоторые авторы также считают нулевое кольцо областью: см. Polcino M. & Sehgal (2002), p. 65. Некоторые авторы применяют термин «домен» также к кольцам со свойством нулевого произведения; такие авторы считают n Z областью для каждого положительного целого числа n : см. Lanski (2005), p. 343. Но целые области всегда должны быть ненулевыми и иметь 1.

Ссылки [ править ]

Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95325-0 . МР 1838439 .
Чарльз Лански (2005). Понятия абстрактной алгебры . Книжный магазин АМС. ISBN 0-534-42323-Х .
Сезар Польчино Мильес; Сударшан К. Сегал (2002). Знакомство с групповыми кольцами . Спрингер. ISBN 1-4020-0238-6 .
Натан Джейкобсон (2009). Основная алгебра I. Дувр. ISBN 978-0-486-47189-1 .
Луи Халле Роуэн (1994). Алгебра: группы, кольца и поля . АК Петерс . ISBN 1-56881-028-8 .

[Lam-1] Jump up to: ^а ^б Лам (2001), с. 3

[2] Роуэн (1994), с. 99.

[3] Некоторые авторы также считают нулевое кольцо областью: см. Polcino M. & Sehgal (2002), p. 65. Некоторые авторы применяют термин «домен» также к кольцам со свойством нулевого произведения; такие авторы считают n Z областью для каждого положительного целого числа n : см. Lanski (2005), p. 343. Но целые области всегда должны быть ненулевыми и иметь 1.

[1]

[2]

[3]