Расширение руды
В математике , особенно в области алгебры , известной как теория колец , расширение Оре , названное в честь Ойстейна Оре , представляет собой особый тип кольцевого расширения , свойства которого относительно хорошо изучены. Элементы расширения Оре называются полиномами Оре .
Расширения Ора появляются в нескольких естественных контекстах, включая косые и дифференциальные кольца многочленов , групповые алгебры полициклических групп , универсальные обертывающие алгебры разрешимых алгебр Ли и координатные кольца квантовых групп .
Определение [ править ]
Предположим, что R (не обязательно коммутативное ) — кольцо , является кольцевым гомоморфизмом и является σ -дифференцированием R что , что означает, является гомоморфизмом абелевых групп, удовлетворяющим
- .
Тогда расширение Оре , также называемое кольцом косых полиномов , представляет собой некоммутативное кольцо, полученное путем задания кольца многочленов новое умножение при условии тождества
- .
Если δ = 0 (т. е. является нулевым отображением), то расширение Оре обозначается R [ x ; σ ]. Если σ = 1 (т. е. тождественное отображение ), то расширение Оре обозначается R [ x , δ ] и называется кольцом дифференциальных полиномов .
Примеры [ править ]
Алгебры Вейля являются расширениями Оре, где R — любое коммутативное кольцо полиномов , σ — единичного кольца эндоморфизм и δ — полиномиальная производная . Алгебры Оре — класс итерированных расширений Оре при подходящих ограничениях, позволяющих разработать некоммутативное расширение теории базисов Грёбнера .
Свойства [ править ]
- Расширение домена Ore — это домен.
- Расширение Оре тела — это некоммутативная область главных идеалов .
- Если σ — автоморфизм и R — нётерово слева кольцо , то расширение Оре R [ λ ; σ , δ ] также нётерово слева.
Элементы [ править ]
Элемент f кольца Оре R называется
- двусторонний [1] (или инвариант [2] ), если R·f = f·R и
- центральный , если g·f = f·g всех g в R. для
Дальнейшее чтение [ править ]
- Гудерл, КР; Уорфилд, Р.Б. младший (2004), Введение в некоммутативные нётеровы кольца, второе издание , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 61, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-54537-4 , МР 2080008
- МакКоннелл, Джей Си; Робсон, Дж. К. (2001), Некоммутативные нётеровы кольца , Аспирантура по математике , том. 30, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-2169-5 , МР 1811901
- Азеддин Уарит (1992) Расширения руды d'anneaux noetheriens á ip, Comm. Алгебра, 20 № 6, 1819–1837. https://zbmath.org/?q=an:0754.16014
- Азеддин Уарит (1994) Замечание о свойстве Джейкобсона расширений ПИ Оре. (Заметка о том, что Джейкобсон владеет расширениями от Ore до IP) (на французском языке) Zbl 0819.16024. Арх. Математика. 63, № 2, 136-139 (1994). https://zbmath.org/?q=an:00687054
- Роуэн, Луи Х. (1988), Теория колец, том. I, II , Чистая и прикладная математика, вып. 127, 128, Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 0-12-599841-4 , МР 0940245
Ссылки [ править ]
- ^ Джейкобсон, Натан (1996). Конечномерные алгебры с делением над полями . Спрингер.
- ^ Кон, Пол М. (1995). Тела: Теория общих колец деления . Издательство Кембриджского университета .