Подкольцо

В математике подкольцо подмножество R бинарные — это кольца , которое само по себе является кольцом, когда операции сложения и умножения на R ограничены этим подмножеством, и которое имеет ту же мультипликативную идентичность что и R. , (Обратите внимание, что подмножество кольца R не обязательно должно быть кольцом.) Для тех, кто определяет кольца, не требуя существования мультипликативного тождества, подкольцо R — это просто подмножество R , которое является кольцом для операций R ( это подразумевает, что он содержит аддитивную идентичность R ). Последнее дает строго более слабое условие даже для колец, которые имеют мультипликативное тождество, так что, например, все идеалы становятся подкольцами (и они могут иметь мультипликативное тождество, отличное от тождества R ). Поскольку определение требует мультипликативного тождества (которое используется в этой статье), единственным идеалом R , который является подкольцом R, является R. само

Определение

Подкольцо кольца ( R , +, ∗, 0, 1) — это подмножество S кольца R , сохраняющее структуру кольца, т. е. кольцо ( S , +, ∗, 0, 1) такое, что S ⊆ R . Эквивалентно, это одновременно ( подгруппа R , 0) и подмоноид ( + , R , ∗, 1) .

Примеры

Кольцо $\mathbb {Z}$ и его коэффициенты $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ не имеют подколец (с мультипликативной единицей), кроме полного кольца. ^[1]^: 228

Каждое кольцо имеет единственное наименьшее подкольцо, изоморфное некоторому кольцу. $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ где n — неотрицательное целое число (см. Характеристика ). Целые числа $\mathbb {Z}$ соответствуют n = 0 в этом утверждении, поскольку $\mathbb {Z}$ изоморфен $\mathbb {Z} /0\mathbb {Z}$ . ^[2]^: 89–90

Кольцо расщепленных кватернионов имеет подкольца, изоморфные кольцам двойственных чисел , расщепленным комплексным числам комплексных чисел и полю .

Тест подкольца

Тест на подкольцо — это теорема которая утверждает, что для любого кольца R подмножество кольца S R R является подкольцом тогда и только тогда, когда оно содержит мультипликативное тождество , и замкнуто относительно умножения и вычитания. ^[1]^: 228

Например, кольцо Z целых чисел является подкольцом поля действительных чисел , а также подкольцом кольца многочленов Z [ X ].

Центр

Центр кольца — это совокупность элементов кольца, коммутирующих со всеми остальными элементами кольца. То есть $x$ принадлежит центру кольца $R,$ если $xy=yx$ для каждого $y\in R.$

Центр кольца $R$ является подкольцом кольца $R$ , а $R$ — ассоциативной алгеброй над своим центром.

Основное подкольцо

Пересечение всех подколец кольца $R$ представляет собой подкольцо, которое можно назвать простым подкольцом кольца $R.$ аналогии с простыми полями по

Первичным подкольцом кольца $R$ называется подкольцо центра кольца $R$ , изоморфное либо кольцу $\mathbb {Z}$ целых чисел или в кольцо целых чисел по модулю $n$ , где $n$ — наименьшее положительное целое число, такое, что сумма $n$ копий $1$ равна $0$ .

Удлинители колец

Если S — подкольцо кольца R , то, что эквивалентно называется расширением кольца S. , R

Подкольцо, порожденное множеством

Пусть R — кольцо. Любое пересечение подколец R снова является подкольцом R . Следовательно, если X — любое подмножество R , пересечение всех подколец R , содержащих X, подкольцом S из R. является Это подкольцо является наименьшим подкольцом R содержащим X. , («Наименьшее» означает, что если T любое другое подкольцо R , содержащее X , то S содержится в T. ) Говорят, что S — подкольцо R порожденное , X. — Если S = R, кольцо R порождается кольцом X. мы можем сказать , что

Подкольцо, порожденное X, представляет собой набор всех линейных комбинаций с целыми коэффициентами произведений элементов X (включая пустую линейную комбинацию, которая равна 0, и пустое произведение, равное 1).

См. также

Примечания

Ссылки

Адамсон, Иэн Т. (1972). Элементарные кольца и модули . Университетские математические тексты. Оливер и Бойд. стр. 14–16. ISBN 0-05-002192-3 .
Черт возьми, Дэвид Стивен; Фут, Ричард Мартин (2004). Абстрактная алгебра (Третье изд.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9 .
Ланг, Серж (2002). Алгебра (3-е изд.). Нью-Йорк. ISBN 978-0387953854 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
Шарп, Дэвид (1987). Кольца и факторизация . Издательство Кембриджского университета . стр. 15–17 . ISBN 0-521-33718-6 .

[FOOTNOTEDummitFoote2004-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Даммит и Фут 2004 .

[FOOTNOTELang2002-2] Ланг 2002 .

[1]

[2]