Композиционное кольцо

В математике композиционное кольцо , введенное в ( Адлер 1962 ), представляет собой коммутативное кольцо ( R , 0, +, −, ·), возможно, без единицы 1 (см. неединичное кольцо ), вместе с операцией

\circ :R\times R\rightarrow R

такая, что для любых трех элементов $f,g,h\in R$ надо

$(f+g)\circ h=(f\circ h)+(g\circ h)$
$(f\cdot g)\circ h=(f\circ h)\cdot (g\circ h)$
$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h).$

Обычно это не так $f\circ g=g\circ f$ , и как правило, это не так $f\circ (g+h)$ (или $f\circ (g\cdot h)$ ) имеет какое-либо алгебраическое отношение к $f\circ g$ и $f\circ h$ .

Примеры [ править ]

Есть несколько способов превратить коммутативное кольцо R в композиционное кольцо, не вводя ничего нового.

Состав может быть определен $f\circ g=0$ для всех f , g . Получившееся композиционное кольцо довольно неинтересно.
Состав может быть определен $f\circ g=f$ для всех f , g . Это правило композиции постоянных функций.
Если R — логическое кольцо , то умножение может использоваться как композиция: $f\circ g=fg$ для всех f , g .

Более интересные примеры можно получить, определив композицию на другом кольце, построенном из R .

R Кольцо полиномов [ X ] является композиционным кольцом, где $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ для всех $f,g\in R$ .
Кольцо формальных степенных рядов]] R [[ X ]] также имеет операцию замены, но она определяется только в том случае, если заменяемый ряд g имеет нулевой постоянный член (в противном случае постоянный член результата будет задан бесконечным ряд с произвольными коэффициентами). Следовательно, подмножество R [[ X ]], образованное степенными рядами с нулевым постоянным коэффициентом, можно превратить в композиционное кольцо с составом, заданным тем же правилом замены, что и для многочленов. Поскольку ненулевые постоянные ряды отсутствуют, это композиционное кольцо не имеет мультипликативной единицы.
Если R является областью целостности, поле R ( X ) рациональных функций также имеет операцию замены, полученную из операции замены многочленов: подстановка дроби g ₁ / g ₂ вместо X в многочлен степени n дает рациональную функцию со знаменателем $g_{2}^{n}$ , а подстановка в дробь имеет вид

{\frac {f_{1}}{f_{2}}}\circ g={\frac {f_{1}\circ g}{f_{2}\circ g}}.

Однако, что касается формального степенного ряда, состав не всегда может быть определен, когда правый операнд g является константой: в формуле задан знаменатель

f_{2}\circ g

не должно быть тождественно нулю. Поэтому необходимо ограничиться подкольцом R ( X ), чтобы иметь четко определенную операцию композиции; подходящее подкольцо задается рациональными функциями, у которых числитель имеет нулевой постоянный член, а знаменатель имеет ненулевой постоянный член. Опять же, это композиционное кольцо не имеет мультипликативной единицы; если R — поле, то на самом деле это подкольцо примера формального степенного ряда.

Набор всех функций от R до R при поточечном сложении и умножении и с $\circ$ заданное композицией функций, является композиционным кольцом. Существуют многочисленные варианты этой идеи, такие как кольцо непрерывных, гладких, голоморфных или полиномиальных функций от кольца к себе, когда эти концепции имеют смысл.

В качестве конкретного примера возьмем кольцо ${\mathbb {Z} }[x]$ , рассматриваемое как кольцо полиномиальных отображений целых чисел в себя. Кольцевой эндоморфизм

F:{\mathbb {Z} }[x]\rightarrow {\mathbb {Z} }[x]

из ${\mathbb {Z} }[x]$ определяется изображением под $F$ переменной $x$ , который мы обозначим через

f=F(x)

и это изображение $f$ может быть любой элемент ${\mathbb {Z} }[x]$ . Поэтому можно рассматривать элементы $f\in {\mathbb {Z} }[x]$ как эндоморфизмы и присвоим $\circ :{\mathbb {Z} }[x]\times {\mathbb {Z} }[x]\rightarrow {\mathbb {Z} }[x]$ , соответственно. В этом легко убедиться ${\mathbb {Z} }[x]$ удовлетворяет указанным выше аксиомам. Например, у одного есть

(x^{2}+3x+5)\circ (x-2)=(x-2)^{2}+3(x-2)+5=x^{2}-x+3.

Этот пример изоморфен данному примеру для R [ X ] с R , равным $\mathbb {Z}$ , а также подкольцу всех функций $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ образованные полиномиальными функциями.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Адлер, Ирвинг (1962), «Композиционные кольца» , Duke Mathematical Journal , 29 (4): 607–623, doi : 10.1215/S0012-7094-62-02961-7 , ISSN 0012-7094 , MR 0142573