Рнг (алгебра)

В математике , а точнее в абстрактной алгебре , гСГ (или неединичное кольцо или псевдокольцо ) — это алгебраическая структура , удовлетворяющая тем же свойствам, что и кольцо , но без предположения существования мультипликативного тождества . Термин rng (IPA: / r ʌ ŋ / ) предполагает, что это кольцо без i , то есть без требования к единичному элементу.

В сообществе нет единого мнения относительно того, должно ли существование мультипликативной идентичности быть одной из аксиом кольца (см. Кольцо (математика) § История ). Термин rng был придуман, чтобы смягчить эту двусмысленность, когда люди хотят явно ссылаться на кольцо без аксиомы мультипликативной идентичности.

Ряд рассматриваемых в анализе алгебр функций не являются единичными, например алгебра функций, убывающих на бесконечности до нуля, особенно имеющих компактный носитель на некотором ( некомпактном ) пространстве.

Определение

Формально гСГ — это набор R с двумя двоичными операциями (+, ·), называемыми сложением и умножением, такими, что

• ( R , +) — абелева группа ,
• ( R , ·) — полугруппа ,
• Умножение распределяет над сложением.

Гомоморфизм rng — это функция f : R → S , переводящая из одного rng ​​в другой, такая, что

• ж ( Икс + у ) знак равно ж ( Икс ) + ж ( у )
• ж ( Икс · y ) знак равно ж ( Икс ) · ж ( y )

для всех x и y в R .

Если R и S — кольца, то гомоморфизм колец R → S — это то же самое, что гомоморфизм rng R → S , который отображает 1 в 1.

Примеры

Все кольца - это кольца. Простой пример градуировки, не являющейся кольцом, — это четные целые числа с обычным сложением и умножением целых чисел. 3х3, Другой пример дан набор всех действительных матриц нижняя строка которых равна нулю. Оба эти примера являются примерами того общего факта, что каждый (одно- или двусторонний) идеал является кольцом.

Rngs часто естественным образом появляются в функциональном анализе , когда линейные операторы в бесконечномерных векторных пространствах рассматриваются . Возьмем, к примеру, любое бесконечномерное векторное пространство V и рассмотрим множество всех линейных операторов f : V → V с конечным рангом (т. е. dim f ( V ) < ∞ ). Вместе со сложением и композицией операторов это кольцо, а не кольцо. Другой пример — поиск всех вещественных последовательностей , сходящихся к 0, с помощью покомпонентных операций.

Кроме того, многие тестовых функций пространства , встречающиеся в теории распределений, состоят из функций убывающее до нуля на бесконечности, как, например, пространство Шварца . Таким образом, функция, всюду равная единице, которая была бы единственно возможным единичным элементом для поточечного умножения, не может существовать в таких пространствах, которые, следовательно, являются кольцами (для поточечного сложения и умножения). В частности, вещественнозначные непрерывные функции с компактным носителем , определенные на некотором топологическом пространстве , вместе с поточечным сложением и умножением образуют кольцо; это не кольцо, если лежащее в его основе пространство не компактно .

Пример: четные целые числа

Множество 2 Z четных целых чисел замкнуто относительно сложения и умножения и имеет аддитивную единицу 0, поэтому это кольцо, но не имеет мультипликативной идентичности, поэтому не является кольцом.

В 2 Z единственный мультипликативный идемпотент равен 0, единственный нильпотент равен 0 и единственный элемент с рефлексивным обратным равен 0.

Пример: конечные пятеричные последовательности

Прямая сумма ${\textstyle {\mathcal {T}}=\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$ оснащенная покоординатным сложением и умножением, представляет собой цепь со следующими свойствами:

• Его идемпотентные элементы образуют решетку без верхней границы.
• Каждый элемент x имеет рефлексивный обратный , а именно элемент y такой, что xyx = x и yxy = y .
• Для каждого конечного подмножества ${\mathcal {T}}$, существует идемпотент в ${\mathcal {T}}$ который действует как идентификатор для всего подмножества: последовательность с единицей в каждой позиции, где последовательность в подмножестве имеет ненулевой элемент в этой позиции и ноль в каждой другой позиции.

Свойства

• Идеалы, факторкольца и модули могут быть определены для rng таким же образом, как и для колец.
• Однако работа с кольцами вместо колец усложняет некоторые связанные определения. Например, в кольце R левый идеал ( f ), порожденный элементом f , определяемым как наименьший левый идеал, содержащий f , — это просто Rf , но если R — это всего лишь rng, то Rf может не содержать f , поэтому вместо этого
  $$(f)=Rf+\mathbf {Z} f=\{af+nf:a\in R~{\text{and}}~n\in \mathbf {Z} \},$$
  где nf необходимо интерпретировать с использованием повторного сложения/вычитания, поскольку n не обязательно представляет элемент R . Аналогично, левый идеал, порожденный элементами f ₁ , ..., f _m кольца R , равен
  $$(f_{1},\ldots ,f_{m})=\{a_{1}f_{1}+\cdots +a_{m}f_{m}+n_{1}f_{1}+\cdots n_{m}f_{m}:a_{i}\in R\;\mathrm {and} \;n_{i}\in \mathbf {Z} \},$$
  формула, восходящая к Эмми Нётер . Аналогичные сложности возникают при определении подмодуля , порожденного набором элементов модуля.
• Некоторые теоремы для колец неверны для rng. Например, в кольце каждый собственный идеал содержится в максимальном идеале , поэтому ненулевое кольцо всегда имеет хотя бы один максимальный идеал. Оба эти утверждения неверны для rng.
• Гомоморфизм rng f : R → S отображает любой идемпотентный элемент в идемпотентный элемент.
• Если f : R → S — гомоморфизм г. кольца из кольца в г. п. и образ f содержит неделитель нуля S , то S — кольцо, а f — кольцевой гомоморфизм.

Присоединение элемента идентичности (расширение Дорро)

Каждую градусу R можно расширить до кольца R ^ присоединением единичного элемента. Общий способ сделать это — формально добавить единичный элемент 1 и позволить R ^ состоять из целых линейных комбинаций 1 и элементов R с предпосылкой, что ни одно из его ненулевых целых кратных не совпадает или не содержится в R . То есть элементы R ^ имеют вид

п ⋅ 1 + р

где n — число и r ∈ R. целое Умножение определяется линейностью:

( п ₁ + р ₁ ) ⋅ ( п ₂ + р ₂ ) знак равно п ₁ п ₂ + п ₁ р ₂ + п ₂ р ₁ + р ₁ р ₂ .

Более формально, мы можем взять R ^ в качестве декартова произведения Z × R и определить сложение и умножение как

( п ₁ , р ₁ ) + ( п ₂ , р ₂ ) знак равно ( п ₁ + п ₂ , р ₁ + р ₂ ),

( п ₁ , р ₁ ) · ( п ₂ , р ₂ ) знак равно ( п ₁ п ₂ , п ₁ р ₂ + п ₂ р ₁ + р ₁ р ₂ ).

Мультипликативное тождество R ^ тогда равно (1, 0) . Существует естественный гомоморфизм rng j : R → R ^ , определяемый формулой j ( r ) = (0, r ) . Эта карта обладает следующим универсальным свойством :

Для любого кольца S и любого гомоморфизма rng f : R → S существует единственный гомоморфизм колец g : R ^ → S такой, что f = gj .

Карта g может быть определена как g ( n , r ) знак равно n · 1 _S + f ( r ) .

Существует естественный сюръективный гомоморфизм колец R ^ → Z , который переводит ( n , r ) в n . Ядром этого гомоморфизма является образ R в R ^. Поскольку j инъективен , , мы видим, что R вложено как (двусторонний) идеал в R ^ с фактор-кольцом R ^/ R изоморфным Z . Следует, что

Каждое кольцо является идеалом в некотором кольце, и каждый идеал кольца является кольцом.

Обратите внимание, что j никогда не является сюръективным. Таким образом, даже если R уже имеет единичный элемент, кольцо R ^ будет больше и с другой единицей. Кольцо R ^ часто называют Дорро расширением кольца R в честь американского математика Джо Ли Дорро, который первым его построил.

Процесс присоединения единичного элемента к группе можно сформулировать на языке теории категорий . Если мы обозначим категорию всех колец и гомоморфизмов колец через Ring а категорию всех rng и гомоморфизмов rng через Rng , то Ring будет (неполной) подкатегорией Rng , . конструкция R Приведенная выше ^ дает левый сопряженный функтору включения I : Ring → Rng . Обратите внимание, что Ring не является отражающей подкатегорией Rng , поскольку функтор включения не является полным.

личности

В литературе рассматривалось несколько свойств, которые слабее, чем наличие элемента идентичности, но не столь общие. Например:

• Кольца с достаточным количеством идемпотентов: кольцо R называется кольцом с достаточным количеством идемпотентов, если существует подмножество E кольца R , заданное ортогональными (т. е. ef = 0 для всех e ≠ f в E ) идемпотентами (т. е. e ² = e для всех e в E ) таких, что R знак равно ⊕ _{e ∈ E} eR = ⊕ _{e ∈ E} Re .
• Кольца с локальными единицами: Говорят, что кольцо Rng R является кольцом с локальными единицами в случае, если для каждого конечного множества r ₁ , r ₂ , ..., r _t в R мы можем найти e в R такое, что e ² знак равно е и эр _я знак равно р _я знак равно р _я е для каждого я .
• s- унитальные кольца: A rng R называется s- унитальным в случае, если для любого конечного множества r ₁ , r ₂ , ..., r _t в R мы можем найти s в R такое, sr _i = ri _что = r _я я для каждого .
• Твердые кольца: кольцо R называется твердым, если канонический гомоморфизм R ⊗ _R R → R , заданный формулой r ⊗ s ↦ rs, является изоморфизмом.
• Идемпотентные кольца: кольцо R называется идемпотентным (или кольцом) в случае, если R ² = R , то есть для каждого элемента r из R мы можем найти элементы ri _что и s _i в R такие, ${\textstyle r=\sum _{i}r_{i}s_{i}}$.

Нетрудно проверить, что эти свойства слабее, чем наличие единичного элемента, и слабее предыдущего.

• Кольца — это кольца с достаточным количеством идемпотентов, используя E = {1}. Кольцо с достаточным количеством идемпотентов, не имеющее единицы, — это, например, кольцо бесконечных матриц над полем с конечным числом ненулевых элементов. Матрицы, у которых только один элемент на главной диагонали равен 1, а в противном случае — 0, являются ортогональными идемпотентами.
• Кольца с достаточным количеством идемпотентов — это кольца с локальными единицами, которые просто принимают конечные суммы ортогональных идемпотентов, чтобы удовлетворить определению.
• Кольца с локальными единицами, в частности, s -унитальны; s -унитальные кольца твердые, а твердые кольца идемпотентны.

Кольцо квадратного нуля

ГСЧ с квадратным нулем — это гСГ R такая, что = 0 для всех x и y в R. xy Любую абелеву группу можно превратить в цепь квадратного нуля, задав умножение так, чтобы xy = 0 для всех x и y ; таким образом, каждая абелева группа является аддитивной группой некоторого кольца. Единственная цепь квадратного нуля с мультипликативным тождеством — это нулевое кольцо {0}.

Любая аддитивная подгруппа кольца квадратного нуля является идеалом . Таким образом, группа квадратного нуля является простой тогда и только тогда, когда ее аддитивная группа является простой абелевой группой, т. е. циклической группой простого порядка.

Унитальный гомоморфизм

Учитывая две алгебры с единицей A и B алгебры , гомоморфизм

е : А → Б

является унитарным , если он отображает единичный элемент A в единичный элемент B .

Если ассоциативная алгебра A над полем K не унитальна , к единичному элементу можно присоединить следующим образом: взять A × K в качестве основного K векторного пространства и определить умножение ∗ на

( Икс , р ) * ( y , s ) знак равно ( xy + sx + ry , rs )

для x , y в A и r , s в K. ​ Тогда ∗ — ассоциативная операция с единичным элементом (0, 1) . Старая алгебра A содержится в новой, и фактически A × K — «наиболее общая» алгебра с единицей, содержащая A , в смысле универсальных конструкций .

См. также

• Полукольцо

Ссылки

• Бурбаки, Н. (1998). Алгебра I, главы 1–3 . Спрингер.
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2003). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. ISBN  978-0-471-43334-7 .
• Дорро, Дж. Л. (1932). «О дополнениях к алгебрам» . Бык. амер. Математика. Соц . 38 (2): 85–88. дои : 10.1090/S0002-9904-1932-05333-2 .
• Джейкобсон, Натан (1989). Основная алгебра (2-е изд.). Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN  0-7167-1480-9 .
• Крейнович, В. (1995). «Если полиномиальное тождество гарантирует, что каждый частичный порядок в кольце может быть расширен, то это тождество верно только для нулевого кольца». Алгебра Универсалис . 33 (2): 237–242. дои : 10.1007/BF01190935 . МР   1318988 . S2CID   122388143 .
• Херштейн, Индиана (1996). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. ISBN  978-0-471-36879-3 .
• МакКриммон, Кевин (2004). Немного о йордановых алгебрах . Спрингер. ISBN  978-0-387-95447-9 .
• Нётер, Эмми (1921). «Идеальная теория в кольцевых областях» [Идеальная теория в кольцах]. Математические анналы (на немецком языке). 83 (1–2): 24–66. дои : 10.1007/BF01464225 . S2CID   121594471 .
• Селе, Тибор (1949). «Zur Theory der Zeroringe». Математические Аннален . 121 : 242–246. дои : 10.1007/bf01329628 . МР   0033822 . S2CID   122196446 .
• Зариски, Оскар; Самуэль, Пьер (1958). Коммутативная алгебра . Том. 1. Ван Ностранд.