Распределения широко используются в теории уравнений в частных производных , где может быть легче установить существование распределительных решений ( слабых решений ), чем классических решений , или где подходящие классические решения могут не существовать. Распределения также важны в физике и технике , где многие проблемы естественным образом приводят к дифференциальным уравнениям, решения или начальные условия которых являются сингулярными, например, дельта- функция Дирака.
Наиболее часто встречающиеся функции, включая все непрерывные карты. если использовать может быть канонически интерпретировано как действие посредством « интеграции с тестовой функцией». В явном виде это означает, что такая функция «действует» на тестовую функцию «отправив» его на номер который часто обозначается Это новое действие из определяет скалярную карту областью определения которой является пространство пробных функций Этот функционал оказывается, обладает двумя определяющими свойствами того, что известно как распределение на : оно линейно , а также непрерывно , когда задана некоторая топология , называемая канонической топологией LF . Действие (интеграция ) этого распределения на тестовой функции можно интерпретировать как средневзвешенное распределение на носителе тестовой функции, даже если значения распределения в одной точке не определены четко. Дистрибутивы типа которые возникают из функций таким образом, являются прототипными примерами распределений, но существует множество распределений, которые не могут быть определены путем интегрирования с какой-либо функцией. Примеры последнего включают дельта-функцию Дирака и распределения, определенные для действия путем интеграции тестовых функций. против определенных мер на Тем не менее, всегда возможно свести любое произвольное распределение к более простому семейству связанных распределений, которые возникают в результате таких действий интегрирования.
В более общем смысле, распределение по по определению является линейным функционалом на это непрерывно , когда задана топология, называемая канонической топологией LF . Это приводит к пространству (всех) распределений на , обычно обозначается (обратите внимание на штрих ), который по определению является пространством всех распределений на (т. е. это непрерывное дуальное пространство ); именно этим дистрибутивам и посвящена данная статья.
Практическое использование распределений можно проследить до использования функций Грина в 1830-х годах для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, но оно было формализовано лишь намного позже. Согласно Колмогорову и Фомину (1957) , обобщенные функции возникли в работе Сергея Соболева ( 1936 ) по второго порядка гиперболическим уравнениям в частных производных , а идеи были развиты в несколько расширенной форме Лораном Шварцем в конце 1940-х годов. Согласно автобиографии, Шварц ввел термин «распределение» по аналогии с распределением электрического заряда, возможно, включающего не только точечные заряды, но и диполи и так далее. Гординг (1997) отмечает, что, хотя идеи преобразовательной книги Шварца (1951) не были совершенно новыми, именно широкая атака Шварца и его убежденность в том, что распределения будут полезны почти везде в анализе, сыграли решающую роль.
Для двух функций следующие обозначения определяют каноническое спаривание :
Мультииндекс размера является элементом в (при условии фиксирован, если размер мультииндексов опущен, то размер следует считать равным ). Длина мультииндекса определяется как и обозначается Мультииндексы особенно полезны при работе с функциями нескольких переменных, в частности, мы вводим следующие обозначения для данного мультииндекса :
Мы также вводим частичный порядок всех мультииндексов с помощью если и только если для всех Когда мы определяем их многоиндексный биномиальный коэффициент как:
Определения тестовых функций и распределений [ править ]
некоторые основные понятия и определения, необходимые для определения действительных распределений U. В этом разделе вводятся Дальнейшее обсуждение топологий пространств основных функций и распределений дано в статье о пространствах основных функций и распределений .
Для любого компактного подмножества позволять и оба обозначают векторное пространство всех этих функций такой, что
Если тогда область это U а не K. , Так что, хотя зависит как от K , так и от U только K. , обычно указывается Обоснование этой распространенной практики подробно описано ниже . Обозначения будет использоваться только тогда, когда обозначение рискует оказаться двусмысленным.
Каждый содержит карту постоянного 0 , даже если
Позволять обозначаем множество всех такой, что для некоторого компактного подмножества K в U .
Эквивалентно, это совокупность всех такой, что имеет компактную поддержку .
равно объединению всех как распространяется по всем компактным подмножествам
Если является вещественной функцией на , затем является элементом если и только если это функция удара . Каждая вещественная тестовая функция на также является комплексной тестовой функцией на
График функции удара где и Эта функция является тестовой функцией на и является элементом Поддержкой единичный этой функции является закрытый диск в Он отличен от нуля на открытом единичном диске и равен 0 всюду за его пределами.
Для всех и любые компактные подмножества и из , у нас есть:
Определение : Элементы называются пробными функциями на U и называется пространством основных функций на U . Мы будем использовать оба и для обозначения этого пространства.
Распределения на U представляют собой непрерывные линейные функционалы на когда это векторное пространство наделено определенной топологией, называемой канонической LF-топологией . Следующее предложение формулирует два необходимых и достаточных условия непрерывности линейной функции на которые зачастую легко проверить.
Предложение : линейный функционал T на является непрерывным и, следовательно, распределением тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих эквивалентных условий:
Для каждого компактного подмножества существуют константы и (зависит от ) такой, что для всех при поддержке , содержащейся в , [1] [2]
Для каждого компактного подмножества и каждая последовательность в чьи опоры содержатся в , если сходится равномерно к нулю на для каждого мультииндекса , затем
Теперь мы введем полунормы , которые будут определять топологию на Разные авторы иногда используют разные семейства полунорм, поэтому ниже мы перечислим наиболее распространенные семейства. Однако результирующая топология одинакова независимо от того, какое семейство используется.
Предполагать и — произвольное компактное подмножество Предполагать целое число такое, что [примечание 1] и является мультииндексом длиной Для определять:
в то время как для определите все приведенные выше функции как карту постоянного 0 .
Векторное пространство наделен локально выпуклой топологией, индуцированной любым из четырех семейств полунорм, описанных выше. Эта топология также равна векторной топологии, индуцированной всеми полунормами в
Подмножество из открыт в этой топологии тогда и только тогда, когда существует такой, что открыт, когда наделено топологией подпространства , индуцированной на нем
Тривиальные расширения и независимость C к ( K Топология ) из U [ править ]
Предполагать является открытым подмножеством и является компактным подмножеством. По определению, элементы это функции с доменом (в символах, ), поэтому пространство и его топология зависят от сделать эту зависимость от открытого множества ясно, временно обозначить к
Главное, изменить набор в другое открытое подмножество (с ) изменит набор от к [заметка 3] так что элементы будут функции с доменом вместо
Несмотря на в зависимости от открытого набора ( ), стандартное обозначение для об этом не упоминает.
Это оправдано, поскольку, как будет объяснено в этом подразделе, пространство канонически идентифицируется как подпространство (как алгебраически, так и топологически).
Достаточно объяснить, как канонически идентифицировать с когда один из и является подмножеством другого. Причина в том, что если и являются произвольными открытыми подмножествами содержащий тогда открытый набор также содержит так, чтобы каждый из и канонически отождествляется с и теперь по транзитивности, таким образом отождествляется с
Итак, предположим являются открытыми подмножествами содержащий
Данный его тривиальное расширение на это функция определяется:
Это тривиальное расширение принадлежит (потому что имеет компактный носитель) и будет обозначаться через (то есть, ). Назначение таким образом, возникает карта который отправляет функцию в к его тривиальному расширению на Это отображение представляет собой линейную инъекцию и для любого компактного подмножества (где также является компактным подмножеством с ),
Если ограничивается то следующее индуцированное линейное отображение является гомеоморфизмом (линейные гомеоморфизмы называются TVS-изоморфизмами ):
векторное пространство канонически отождествляется со своим образом в Потому что посредством этой идентификации, также можно рассматривать как подмножество
Таким образом, топология на не зависит от открытого подмножества из который содержит [7] что оправдывает практику написания вместо
Напомним, что обозначает все функции в которые имеют компактную поддержку в где обратите внимание, что это союз всех как распространяется по всем компактным подмножествам Более того, для каждого представляет собой плотное подмножество Особый случай, когда дает нам пространство тестовых функций.
называется пространством пробных функций на и это также может быть обозначено Если не указано иное, оно наделено топологией, называемой канонической топологией ЛФ , определение которой дано в статье: Пространства тестовых функций и распределений .
Существует каноническая пара двойственности между распределением на и тестовая функция которое обозначается с помощью скобок угловых
Эти обозначения можно интерпретировать как распределение действие на тестовую функцию чтобы дать скаляр или симметрично, как тестовую функцию действуя на распределение
явно, для каждой сходящейся нулевой последовательности Макки в последовательность ограничен;
последовательность называется координат по Макки сходящейся к началу , если существует расходящаяся последовательность положительных действительных чисел таких, что последовательность ограничен; каждая последовательность, сходящаяся к началу координат по Макки, обязательно сходится к началу координат (в обычном смысле);
Ядро T является замкнутым подпространством
График T замкнут;
Существует непрерывная полунорма на такой, что
Существует константа и конечное подмножество (где — это любой набор непрерывных полунорм, определяющий каноническую топологию LF на ) такой, что [примечание 6]
Для каждого компактного подмножества существуют константы и такой, что для всех [1]
Для каждого компактного подмножества существуют константы и такой, что для всех при поддержке , содержащейся в [10]
Для любого компактного подмножества и любая последовательность в если сходится равномерно к нулю для всех мультииндексов затем
слабой топологией со Топология в пространстве распределений и ее связь
Набор всех дистрибутивов на представляет собой двойственное пространство непрерывное которая, если она наделена сильной дуальной топологией, обозначается Важно отметить, что, если не указано иное, топология на – сильная двойственная топология ; если вместо этого используется топология слабого* , это будет указано. Ни одна из топологий не является метризуемой, хотя, в отличие от топологии слабого-*, сильная двойственная топология делает в полное ядерное пространство , и это лишь некоторые из его желательных свойств.
Ни один ни его сильный двойной является секвенциальным пространством , и поэтому ни одна из их топологий не может быть полностью описана последовательностями (другими словами, определения только того, какие последовательности сходятся в этих пространствах, недостаточно для полного/правильного определения их топологий).
Однако последовательность в сходится в сильной дуальной топологии тогда и только тогда, когда она сходится в слабой топологии (это заставляет многих авторов использовать поточечную сходимость для определения сходимости последовательности распределений; это нормально для последовательностей, но не гарантируется, что это распространяется на сходимость сетей распределений, поскольку сеть может сходиться поточечно, но не сходиться в сильной двойственной топологии).
Дополнительная информация о топологии, которая наделен можно найти в статьях о пространствах основных функций и распределений и статьях о полярных топологиях и дуальных системах .
Невозможно определить значение распределения в конкретной точке U. в Однако, как и в случае с функциями, распределения на U ограничиваются распределением на открытых подмножествах U . Более того, распределения локально определены в том смысле, что распределение на всем U может быть составлено из распределения на открытом покрытии U , удовлетворяющего некоторым условиям совместимости на перекрытиях. Такая структура известна как пучок .
Расширения и ограничения открытого подмножества [ править ]
Позволять быть открытыми подмножествами
Каждая функция можно расширить нулем из области определения V до функции на U , полагая ее равной в дополнении Это расширение представляет собой гладкую функцию с компактным носителем, называемую тривиальным расширением к и это будет обозначаться
Это задание определяет расширения тривиальный оператор
которое является непрерывным инъективным линейным отображением. Он используется для канонической идентификации как подпространство векторное (хотя и не как топологическое подпространство ).
Его транспонирование ( описано здесь )
называется ограничение на распределений в [11] и, как следует из названия, образ распределения под этой картой находится распределение по называется ограничением к Определяющее условие ограничения является:
Если тогда (непрерывное инъективное линейное) тривиальное отображение расширения является не топологическим вложением (другими словами, если бы эта линейная инъекция использовалась для идентификации как подмножество затем топология будет строго тоньше, чем топология подпространства , которая наводит на это; что важно, это не будет топологическое подпространство, поскольку это требует равенства топологий), и его диапазон также не плотен в своей кодомене. [11] Следовательно, если тогда отображение ограничения не является ни инъективным, ни сюръективным. [11] Распределение называется расширяемым до U , если оно принадлежит области транспонирования и называется расширяемым, если его можно расширить до [11]
Пока не ограничение на V не является ни инъективным , ни сюръективным . Отсутствие сюръективности следует из того, что распределения могут взрываться к границе V . Например, если и тогда распределение
в но не допускает расширения
Склеивание и исчезающие в множестве распределения [ править ]
Теорема [12] - Позволять быть совокупностью открытых подмножеств Для каждого позволять и предположим, что для всех ограничение к равно ограничению к (обратите внимание, что оба ограничения являются элементами ). Тогда существует единственный такой, что для всех ограничение T на равно
Пусть V открытое подмножество U. — говорят, что он исчезает в V , если для всех такой, что у нас есть T обращается в нуль в V тогда и только тогда, когда ограничение T на V равно 0 или, что то же самое, тогда и только тогда, когда T лежит в ядре отображения ограничения
Следствие [12] - Позволять быть совокупностью открытых подмножеств и разреши тогда и только тогда, когда для каждого ограничение T на равен 0.
Следствие [12] — Объединение всех открытых подмножеств U , в которых распределение T обращается в нуль, является открытым подмножеством U , в котором T обращается в нуль.
Из этого последнего следствия следует, что для каждого распределения T на U существует единственное наибольшее подмножество V из U такое, что T обращается в нуль в V (и не исчезает ни в одном открытом подмножестве U , которое не содержится в V ); дополнение в этого открытого подмножества называется носителем T U уникального наибольшего . [12] Таким образом
Если является локально интегрируемой функцией на U , и если является его ассоциированным распределением, то поддержка — наименьшее замкнутое подмножество U , в дополнении к которому почти всюду равен 0. [12] Если непрерывна, то поддержка равно замыканию множества точек в U , в которых не исчезает. [12] Поддержка распределения, связанного с мерой Дирака в точке это набор [12] Если поддержка тестовой функции не пересекает носитель распределения T , то Распределение T равно 0 тогда и только тогда, когда его носитель пуст. Если тождественно равен 1 на некотором открытом множестве, содержащем носитель распределения T , тогда Если носитель распределения T компактен, то он имеет конечный порядок и существует константа и неотрицательное целое число такой, что: [7]
Если T имеет компактный носитель, то оно имеет единственное продолжение до непрерывного линейного функционала на ; эта функция может быть определена как где это любая функция, которая тождественно равна 1 на открытом множестве, содержащем носитель T . [7]
Если и затем и Таким образом, распределения с поддержкой в данном подмножестве образуют векторное подпространство [13] Кроме того, если является дифференциальным оператором в U , то для всех распределений T на U и всех у нас есть и [13]
Для любого позволять обозначим распределение, индуцированное мерой Дирака при Для любого и распространение носитель T содержится в тогда и только тогда, когда T — конечная линейная комбинация производных меры Дирака в точке [14] Если, кроме того, порядок T равен тогда существуют константы такой, что: [15]
Другими словами, если T имеет опору в одной точке тогда T на самом деле является конечной линейной комбинацией производных распределения функция P. в То есть существует целое число m и комплексные константы такой, что
где является оператором перевода.
Распространение с компактной поддержкой [ править ]
Теорема [7] — Предположим, что — распределение на U с компактным носителем K. T Существует непрерывная функция определенный на U и мультииндексе p такой, что
где производные понимаются в смысле распределений. То есть для всех тестовых функций он У ,
Распределения конечного порядка с поддержкой подмножестве в открытом
Теорема [7] — Предположим, что T — распределение на U с компактным носителем K , и пусть V — открытое подмножество U содержащее K. , Поскольку каждое распределение с компактным носителем имеет конечный порядок, возьмем N в качестве порядка T и определим Существует семейство непрерывных функций определенный на U с носителем в V такой, что
где производные понимаются в смысле распределений. То есть для всех тестовых функций он У ,
Формальное определение распределений показывает их как подпространство очень большого пространства, а именно как топологическое двойственное распределение. (или пространство Шварца для умеренных дистрибутивов). Из определения не сразу понятно, насколько экзотическим может быть распределение. Чтобы ответить на этот вопрос, поучительно увидеть распределения, построенные из меньшего пространства, а именно пространства непрерывных функций. Грубо говоря, любое распределение является локально (кратной) производной непрерывной функции. Точная версия этого результата, приведенная ниже, справедлива для распределений с компактным носителем, умеренных распределений и общих распределений. Вообще говоря, ни одно собственное подмножество пространства распределений не содержит всех непрерывных функций и не замкнуто относительно дифференцирования. Это говорит о том, что дистрибутивы не являются чем-то экзотическим; они настолько сложны, насколько это необходимо.
Теорема [16] — Пусть T распределение на U. —
Существует последовательность в такой, что каждое T i имеет компактный носитель и каждое компактное подмножество пересекается с носителем лишь конечного числа и последовательность частичных сумм определяется сходится в к Т ; другими словами, мы имеем:
Напомним, что последовательность сходится в (с его сильной двойственной топологией) тогда и только тогда, когда оно сходится поточечно.
Разложение распределений как суммы производных непрерывных функций [ править ]
Объединив приведенные выше результаты, можно выразить любое распределение на U как сумму ряда распределений с компактным носителем, причем каждое из этих распределений, в свою очередь, можно записать как конечную сумму производных по распределению непрерывных функций на U . Другими словами, для произвольного мы можем написать:
где являются конечными множествами мультииндексов и функций являются непрерывными.
Теорема [17] — Пусть T распределение на U. — Для каждого мультииндекса p существует непрерывная функция на U такое, что
любое компактное подмножество K в U пересекает носитель лишь конечного числа и
Более того, если T имеет конечный порядок, то можно выбрать таким образом, что лишь конечное число из них отличны от нуля.
Обратите внимание, что приведенная выше бесконечная сумма четко определена как распределение. Значение T для данного можно вычислить, используя конечное число которые пересекаются с поддержкой
Многие операции, определенные над гладкими функциями с компактным носителем, также могут быть определены и для распределений. В общем, если — линейное отображение, непрерывное относительно слабой топологии , то не всегда возможно продолжить на карту классическими теоремами расширения топологии или линейного функционального анализа. [примечание 7] «Дистрибутивное» расширение указанного выше линейного непрерывного оператора A возможно тогда и только тогда, когда A допускает сопряженный Шварца, то есть другой линейный непрерывный оператор B того же типа такой, что
,
для каждой пары тестовых функций. В этом условии B уникально, а расширение A' является транспозицией сопряженного по Шварцу B. [ нужна цитата ] [18] [ нужны разъяснения ]
Операции над распределениями и пространствами распределений часто определяются с помощью транспонирования линейного оператора. Это связано с тем, что транспонирование позволяет унифицированно представить многие определения теории распределений, а также потому, что его свойства хорошо известны в функциональном анализе . [19] Например, хорошо известный эрмитово сопряжение линейного оператора между гильбертовыми пространствами представляет собой просто транспонирование оператора (но с теоремой о представлении Рисса, используемой для отождествления каждого гильбертова пространства с его непрерывным двойственным пространством ). В общем случае транспонирование непрерывного линейного отображения это линейная карта
или, что то же самое, это уникальное отображение, удовлетворяющее для всех и все (главный символ в не означает производную любого рода; это просто указывает на то, что является элементом непрерывного дуального пространства ). С непрерывно, транспонирование также является непрерывным, когда оба дуала наделены соответствующими сильными дуальными топологиями ; он также непрерывен, когда оба дуала наделены соответствующими слабыми* топологиями см. в статьях полярная топология и дуальная система ( более подробную информацию ).
В контексте распределений характеристику транспонирования можно немного уточнить. Позволять быть непрерывным линейным отображением. Тогда по определению транспонирование — единственный линейный оператор что удовлетворяет:
С плотный в (здесь, на самом деле относится к набору дистрибутивов ) достаточно, чтобы определяющее равенство выполнялось для всех распределений вида где Явно это означает, что непрерывное линейное отображение равно тогда и только тогда, когда выполняется приведенное ниже условие:
Позволять быть оператором частной производной Расширить мы вычисляем его транспонирование:
Поэтому Таким образом, частная производная относительно координаты определяется по формуле
Согласно этому определению, каждое распределение бесконечно дифференцируемо, а производная по направлению является линейным оператором на
В более общем смысле, если — произвольный мультииндекс , то частная производная распределения определяется
Дифференцирование распределений — это непрерывный оператор на это важное и желательное свойство, которого нет в большинстве других понятий дифференциации.
Если это распределение в затем
где является производной от и это перевод таким образом, производная от можно рассматривать как предел частных. [20]
Дифференциальные операторы, действующие функции на гладкие
Линейный дифференциальный оператор в с гладкими коэффициентами действует в пространстве гладких функций на Учитывая такой оператор
мы хотели бы определить непрерывное линейное отображение, что продлевает действие на к раздачам на Другими словами, мы хотели бы определить такая, что следующая диаграмма коммутирует :
где вертикальные карты задаются присвоением его каноническое распределение который определяется:
В этих обозначениях диаграмма коммутации эквивалентна:
Найти транспонирование непрерывного индуцированного отображения определяется рассматривается в лемме ниже.
Это приводит к следующему определению дифференциального оператора на называется формальным транспонированием который будет обозначаться чтобы избежать путаницы с картой транспонирования, которая определяется
Лемма — Пусть — линейный дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами в Тогда для всех у нас есть
что эквивалентно:
Доказательство
As discussed above, for any the transpose may be calculated by:
For the last line we used integration by parts combined with the fact that and therefore all the functions have compact support.[note 8] Continuing the calculation above, for all
Лемма в сочетании с тем фактом, что формальная транспозиция формальной транспозиции является исходным дифференциальным оператором, т. е. [21] позволяет нам прийти к правильному определению: формальное транспонирование индуцирует (непрерывный) канонический линейный оператор определяется Мы утверждаем, что транспонирование этого отображения можно принять как Чтобы увидеть это, для каждого вычислить его действие на распределение формы с :
Назовем непрерывный линейный оператор дифференциальный оператор на распределениях, расширяющих . [21] Его действие на произвольное распределение определяется через:
Если сходится к тогда для каждого мультииндекса сходится к
Умножение распределений на гладкие функции [ править ]
Дифференциальный оператор порядка 0 — это просто умножение на гладкую функцию. И наоборот, если является гладкой функцией, тогда является дифференциальным оператором порядка 0, формальная транспозиция которого равна ему самому (т. е. ). Индуцированный дифференциальный оператор отображает распределение к распределению, обозначенному Таким образом, мы определили умножение распределения на гладкую функцию.
Теперь мы дадим альтернативное представление умножения распределения на с помощью гладкой функции Продукт определяется
Это определение совпадает с определением транспонирования, поскольку если – оператор умножения на функцию (то есть, ), затем
так что
При умножении на гладкие функции является модулем над кольцом При таком определении умножения на гладкую функцию обычное правило исчисления произведения остается в силе. Однако возникают и некоторые необычные личности. Например, если это дельта-распределение Дирака на затем и если является производной дельта-распределения, тогда
Карта билинейного умножения данный является не непрерывным; однако оно гипонепрерывно . [22]
Пример. Продукт любого дистрибутива с функцией, которая тождественно равна 1 на равно
Пример. Предполагать представляет собой последовательность тестовых функций на сходящуюся к постоянной функции Для любого дистрибутива на последовательность сходится к [23]
Легко определить произведение распределения на гладкую функцию или, в более общем смысле, произведение двух распределений, сингулярные носители которых не пересекаются. [24] Приложив больше усилий, можно определить правильное произведение нескольких распределений при условии, что их наборы волновых фронтов в каждой точке совместимы. Ограничением теории распределений (и гиперфункций) является то, что не существует ассоциативного произведения двух распределений, расширяющего произведение распределения на гладкую функцию, как было доказано Лораном Шварцем в 1950-х годах. Например, если — распределение, полученное с помощью главного значения Коши
Если тогда это дельта-распределение Дирака
но,
поэтому произведение распределения на гладкую функцию (которая всегда четко определена) не может быть расширено до ассоциативного произведения в пространстве распределений.
Таким образом, нелинейные задачи не могут быть поставлены вообще и, следовательно, не могут быть решены только в рамках теории распределения. Однако в контексте квантовой теории поля решения можно найти. времени проблема связана с регуляризацией расходимостей . В более чем двух измерениях пространства - Здесь Анри Эпштейн и Владимир Глейзер разработали математически строгую (но чрезвычайно техническую) теорию причинных возмущений . В других ситуациях это не решает проблему. Многие другие интересные теории являются нелинейными, как, например, Навье – Стокса уравнения динамики жидкости .
Лайонса Вдохновленный теорией грубого пути , [25] Мартин Хайрер предложил последовательный способ умножения распределений с определенными структурами ( структурами регулярности). [26] ), доступный во многих примерах из стохастического анализа, особенно в стохастических уравнениях в частных производных. См. также Губинелли-Имкеллер-Перковски (2015) о соответствующей разработке, основанной на из Бони парапродукте анализа Фурье.
Позволять быть распределением по Позволять быть открытым набором в и Если является погружением , то можно определить
Это состав дистрибутива с называется откатом , а также вдоль , иногда пишут
Откат часто обозначается хотя это обозначение не следует путать с использованием «*» для обозначения сопряженного к линейному отображению.
Условие, которое быть субмерсией эквивалентно требованию, чтобы Якобиана производная из является сюръективным линейным отображением для каждого Необходимое (но недостаточное) условие расширения к дистрибутивам заключается в том, что быть открытым отображением . [27] Теорема об обратной функции гарантирует, что погружение удовлетворяет этому условию.
Если это погружение, то определяется в распределениях путем нахождения транспонированной карты. Уникальность этого расширения гарантирована, поскольку является непрерывным линейным оператором на Однако существование требует использования формулы замены переменных , теоремы об обратной функции (локально) и разделения аргумента единицы . [28]
В частном случае, когда является диффеоморфизмом открытого подмножества из на открытое подмножество из замена переменных под интегралом дает:
Тогда в данном конкретном случае определяется формулой транспонирования:
При некоторых обстоятельствах можно определить свертку функции с распределением или даже свертку двух распределений.
Напомним, что если и являются функциями на то мы обозначим через свертка и определено в быть интегралом
при условии, что интеграл существует. Если таковы, что тогда для любых функций и у нас есть и [29] Если и являются непрерывными функциями на хотя бы один из которых имеет компактный носитель, то и если тогда значение на не зависят от значений вне суммы Минковского [29]
Важно, если имеет компактную поддержку тогда для любого карта свертки непрерывно, если рассматривать его как отображение или как карта [29]
Данный оператор перевода отправляет к определяется Это можно расширить путем транспонирования к распределениям следующим образом: учитывая распределение перевод к это распределение определяется [30] [31]
Данный определить функцию к Учитывая распределение позволять быть распределением, определяемым Оператор называется симметрией относительно начала координат . [30]
Свертка тестовой функции с распределением [ править ]
Свертка с распределением можно определить, транспонировав относительно пары дуальности с пространством дистрибутивов. [32] Если тогда по теореме Фубини
Продолжая по непрерывности, свертка с распределением определяется
Альтернативный способ определения свертки тестовой функции и распределение заключается в использовании оператора перевода Свертка компактной функции и распределение тогда функция, определенная для каждого к
Можно показать, что свертка гладкой функции с компактным носителем и распределения является гладкой функцией. Если распределение имеет компактный носитель, и если является полиномом (соответственно показательной функцией, аналитической функцией, ограничением целой аналитической функции на к ограничение целой функции экспоненциального типа в к ), то то же самое верно и для [30] Если распределение также имеет компактную поддержку, то является функцией с компактным носителем, и из теоремы Титчмарша о свертке Хёрмандера (1983 , теорема 4.3.3) следует, что:
Свертка гладкой функции с распределением [ править ]
Позволять и и предположим, что хотя бы один из и имеет компактную поддержку. Свертка и обозначается или через — гладкая функция: [30]
удовлетворительно для всех :
Позволять быть картой . Если является распределением, то непрерывно как карта . Если также имеет компактную поддержку, то также непрерывно, как и отображение и непрерывен, как карта [30]
Если — непрерывное линейное отображение такое, что для всех и все тогда существует распределение такой, что для всех [7]
Также можно определить свертку двух распределений и на при условии, что один из них имеет компактную опору. Неформально, чтобы определить где имеет компактную поддержку, идея состоит в том, чтобы расширить определение свертки к линейной операции над распределениями, так что формула ассоциативности
продолжает сохраняться для всех тестовых функций [33]
Также возможно дать более явную характеристику свертки распределений. [32] Предположим, что и являются распределениями и что имеет компактную поддержку. Тогда линейные отображения
являются непрерывными. Транспонирование этих карт:
следовательно, непрерывны, и можно также показать, что [30]
называется сверткой значение Это общее и и это распределение, которое обозначается или Это удовлетворяет [30] Если и — два распределения, хотя бы одно из которых имеет компактную поддержку, то для любого [30] Если это распределение в и если является мерой Дирака , то ; [30] таким образом является идентификационным элементом операции свертки. Более того, если это функция, тогда где теперь ассоциативность свертки подразумевает, что для всех функций и
Предположим, что это который имеет компактную поддержку. Для рассмотрим функцию
Легко показать, что это определяет гладкую функцию от который, кроме того, имеет компактную поддержку. Свертка и определяется
Это обобщает классическое понятие свертки функций и совместимо с дифференцированием в следующем смысле: для каждого мультииндекса
Свертка конечного числа распределений, все из которых (кроме, возможно, одного) имеют компактный носитель, является ассоциативной . [30]
Это определение свертки остается действительным при менее ограничительных предположениях о и [34]
Свертка распределений с компактным носителем порождает непрерывное билинейное отображение. определяется где обозначает пространство распределений с компактным носителем. [22] Однако карта свертки как функция является не непрерывным [22] хотя он отдельно непрерывен. [35] Карты свертки и данный оба не могут быть непрерывными. [22] Однако каждое из этих несплошных отображений по отдельности является непрерывным и гипонепрерывным . [22]
В общем, регулярность для продуктов умножения требуется локальность , а для продуктов свертки — . Это выражается в следующем расширении теоремы о свертке , которое гарантирует существование продуктов как свертки, так и умножения. Позволять быть быстро убывающим умеренным распределением или, что то же самое, — обычная (медленно растущая, гладкая) функция в пространстве умеренных распределений и пусть быть нормализованным (унитарным, обычной частотой) преобразованием Фурье . [36] Тогда, согласно Шварцу (1951) ,
удерживаться в пространстве умеренных распределений. [37] [38] [39] В частности, эти уравнения становятся формулой суммирования Пуассона , если это гребешок Дирака . [40] Пространство всех быстроубывающих умеренных распределений также называют пространством операторов свертки. а пространство всех обычных функций в пространстве умеренных распределений также называется пространством операторов умножения. В более общем смысле, и [41] [42] Частным случаем является теорема Пэли-Винера-Шварца , которая утверждает, что и Это потому что и Другими словами, компактно поддерживаемые умеренные распределения принадлежат пространству операторов свертки и
Функции Пэли-Винера более известные как функции с ограниченной полосой пропускания , принадлежат пространству операторов умножения [43]
Позволять и быть открытыми множествами. Предположим, что все векторные пространства находятся над полем. где или Для определить для каждого и каждый следующие функции:
Данный и определить следующие функции:
где и
Эти определения связывают каждое и с (соответствующей) непрерывной линейной картой:
Более того, если либо (соответственно ) имеет компактный носитель, то он также индуцирует непрерывное линейное отображение (соответственно ). [44]
где топологии на ( ) определяются как прямые пределы пространств аналогично тому, как топологии на были определены (в частности, они не являются обычными топологиями норм). Диапазон каждой из карт выше (и любой композиции карт выше) плотен в своей кодомене. [45]
Предположим, что это одно из пространств (для ) или (для ) или (для ). Поскольку каноническая инъекция — непрерывная инъекция, образ которой плотен в кодомене, транспонирование этой карты представляет собой непрерывную инъекцию. Таким образом, это инъективное транспонированное отображение допускает непрерывное двойственное пространство. из отождествляться с некоторым векторным подпространством пространства всех распределений (в частности, оно идентифицируется с изображением этой транспонированной карты). является Это транспонированное отображение является непрерывным, но не обязательно топологическим вложением .
Линейное подпространство несущий локально выпуклую топологию, более тонкую, чем топология подпространства , индуцированная на нем называется пространством распределений . [46]
Почти все упомянутые в статье пространства распределений возникают таким образом (например, умеренное распределение, ограничения, распределения порядка). некоторое целое число, распределения, индуцированные положительной мерой Радона, распределения, индуцированные -функция и т. д.) и любая теорема о представлении непрерывного двойственного пространства может, через транспонирование переноситься непосредственно на элементы пространства
Карта включения представляет собой непрерывную инъекцию, изображение которой плотно в своей кодомене, поэтому транспонирование также является непрерывной инъекцией.
Заметим, что непрерывное дуальное пространство можно идентифицировать как пространство мер Радона , где имеется взаимно однозначное соответствие между непрерывными линейными функционалами и интегральный по мере Радона; то есть,
если тогда существует мера Радона на U такой, что для всех и
если является мерой Радона на U , то линейный функционал на определяется отправкой к является непрерывным.
Через инъекцию каждая мера Радона становится распределением на U . Если является локально интегрируемой функцией на U , то распределение – мера Радона; поэтому меры Радона образуют большое и важное пространство распределений.
Ниже приводится теорема о структуре распределений мер Радона , которая показывает, что каждую меру Радона можно записать как сумму производных локальных мер Радона. функции на U :
Теорема. [47] - Предполагать – мера Радона, где позволять быть районом поддержки и разреши Существует семья локально функции на U такие, что для каждого и
Более того, также равна конечной сумме производных непрерывных функций на где каждая производная имеет порядок
Линейная функция в пространстве функций называется положительным , если всякий раз, когда функция который принадлежит области неотрицательно (т. имеет реальную ценность и ) затем Можно показать, что каждый положительный линейный функционал на обязательно непрерывна (т. е. обязательно является мерой Радона). [48] Мера Лебега является примером положительной меры Радона.
Одним особенно важным классом мер Радона являются те, которые являются индуцированными локально интегрируемыми функциями. Функция называется локально интегрируемым, если оно интегрируемо по Лебегу по любому компактному подмножеству K в U . Это большой класс функций, включающий все непрерывные функции и все пространство Lp. функции. Топология на определяется таким образом, что любая локально интегрируемая функция дает непрерывный линейный функционал на – то есть элемент – обозначено здесь значение которого в тестовой функции задается интегралом Лебега:
Традиционно злоупотребляют обозначениями , идентифицируя с при условии, что не может возникнуть путаница, и, таким образом, соединение между и часто пишут
Если и две локально интегрируемые функции, то соответствующие распределения и равны одному и тому же элементу если и только если и равны почти всюду (см., например, Хёрмандер (1983 , теорема 1.2.5)). Аналогично, каждая мера Радона на определяет элемент значение которого в тестовой функции является Как и выше, принято злоупотреблять обозначениями и записывать пару между мерой Радона и тестовая функция как И наоборот, как показано в теореме Шварца (аналогично теореме о представлении Рисса ), каждое распределение, которое неотрицательно для неотрицательных функций, имеет этот вид для некоторой (положительной) меры Радона.
Тестовые функции сами по себе локально интегрируемы и поэтому определяют распределения. Пространство тестовых функций последовательно плотен в относительно сильной топологии на [49] Это означает, что для любого существует последовательность тестовых функций, который сходится к (в сильной двойственной топологии), если рассматривать его как последовательность распределений. Или, что то же самое,
Карта включения представляет собой непрерывную инъекцию, образ которой плотен в своей кодомене, поэтому транспонированное отображение также является непрерывной инъекцией. Таким образом, образ транспонирования, обозначаемый образует пространство распределений. [13]
Элементы можно определить как пространство распределений с компактным носителем. [13] Явно, если является распределением на U , то следующие утверждения эквивалентны:
Поддержка компактен.
Ограничение к когда это пространство оснащено топологией подпространства, унаследованной от (более грубая топология, чем каноническая топология LF), непрерывна. [13]
Существует компактное подмножество K в U такое, что для любой пробной функции носитель которого полностью вне K , мы имеем
Компактные распределения определяют непрерывные линейные функционалы в пространстве. ; Напомним, что топология на определяется так, что последовательность тестовых функций сходится к 0 тогда и только тогда, когда все производные сходятся равномерно к 0 на каждом компактном подмножестве U . Обратно, можно показать, что каждый непрерывный линейный функционал в этом пространстве определяет распределение с компактным носителем. Таким образом, компактно поддерживаемые дистрибутивы можно идентифицировать с теми дистрибутивами, которые можно расширить из к
Позволять Карта включения представляет собой непрерывную инъекцию, изображение которой плотно в своей кодомене, поэтому транспонирование также является непрерывной инъекцией. Следовательно, образ обозначается образует пространство распределений. Элементы являются распределениями порядка [16] Распределения порядка которые также называют распределениями порядка 0, это в точности те распределения, которые являются мерами Радона (описанными выше).
Для распределение порядка k — это распределение порядка это не распределение порядка . [16]
Распределение называется конечным порядком , если существует некоторое целое число. такое, что это распределение порядка а множество распределений конечного порядка обозначим через Обратите внимание, что если затем так что является векторным подпространством , и, кроме того, тогда и только тогда, когда [16]
Структура распределений конечного порядка [ править ]
Каждое распределение с компактным носителем в U является распределением конечного порядка. [16] Действительно, каждое распределение в U является локально распределением конечного порядка в следующем смысле: [16] Если V — открытое и относительно компактное подмножество U и если — отображение ограничения из U в V , тогда образ под содержится в
Ниже приводится теорема о структуре распределений конечного порядка, которая показывает, что каждое распределение конечного порядка можно записать как сумму производных мер Радона :
Теорема [16] - Предполагать имеет конечный порядок и Учитывая любое открытое подмножество V из U , содержащее носитель существует семейство мер Радона в U , такой, что очень и
Пример. (Распределения бесконечного порядка) Пусть и для каждой тестовой функции позволять
Затем является распределением бесконечного порядка на U . Более того, не может быть распространено на распространение на ; то есть не существует распределения на такое, что ограничение к U равно [50]
«Умеренное распространение» перенаправляется сюда. Для умеренных распределений в полупростых группах см. Умеренное представление .
Ниже определены умеренные распределения , которые образуют подпространство пространство распределений на Это правильное подпространство: хотя каждое умеренное распределение является распределением и элементом обратное неверно. Умеренные распределения полезны при изучении преобразования Фурье, поскольку все умеренные распределения имеют преобразование Фурье, что неверно для произвольного распределения в
Шварца Пространство — это пространство всех гладких функций, быстро убывающих на бесконечности, а также всех частных производных. Таким образом находится в пространстве Шварца при условии, что любая производная от умноженное на любую степень сходится к 0 как Эти функции образуют полную ТВС с подходящим образом определенным семейством полунорм . Точнее, для любых мультииндексов и определять
Затем находится в пространстве Шварца, если все значения удовлетворяют
Семейство полунорм определяет локально выпуклую топологию в пространстве Шварца. Для полунормы фактически являются нормами в пространстве Шварца. Для определения топологии можно также использовать следующее семейство полунорм: [51]
В противном случае можно определить норму на с помощью
Пространство Шварца является пространством Фреше (т. е. полным метризуемым локально выпуклым пространством). Поскольку преобразование Фурье меняется в умножение на и наоборот, эта симметрия означает, что преобразование Фурье функции Шварца также является функцией Шварца.
Последовательность в сходится к 0 в тогда и только тогда, когда функции сходятся к 0 равномерно по всему откуда следует, что такая последовательность должна сходиться к нулю в [51]
плотный в Подмножество всех аналитических функций Шварца плотно в также. [52]
Пространство Шварца является ядерным , и тензорное произведение двух отображений индуцирует канонические сюръективные TVS-изоморфизмы.
Карта включения представляет собой непрерывную инъекцию, изображение которой плотно в своей кодомене, поэтому транспонирование также является непрерывной инъекцией. Таким образом, образ транспонированной карты, обозначаемый образует пространство распределений.
Космос называется пространством умеренных распределений . Это непрерывное двойственное пространство к пространству Шварца. Эквивалентно, распределение является умеренным распределением тогда и только тогда, когда
Производная умеренного распределения снова является умеренным распределением. Умеренные распределения обобщают ограниченные (или медленно растущие) локально интегрируемые функции; все распределения с компактным носителем и все функции, интегрируемые с квадратом, являются умеренными распределениями. В более общем смысле, все функции, являющиеся произведениями полиномов с элементами пространства Lp. для являются умеренными распределениями.
Умеренные распределения также можно охарактеризовать как медленно растущие , что означает, что каждая производная растет не более чем с некоторой скоростью полинома . Эта характеристика двойственна быстро падающему поведению производных функции в пространстве Шварца, где каждая производная функции затухает быстрее, чем любая обратная степень Пример быстро падающей функции: за любой позитив
Для изучения преобразования Фурье лучше всего рассматривать комплекснозначные пробные функции и комплексно-линейные распределения. Обычное непрерывное преобразование Фурье является TVS- автоморфизмом пространства Шварца, а преобразование Фурье определяется как его транспонирование который (злоупотребление обозначениями) снова будет обозначаться через Таким образом, преобразование Фурье умеренного распределения определяется для каждой функции Шварца таким образом, это снова умеренное распределение. Преобразование Фурье представляет собой TVS-изоморфизм пространства умеренных распределений на себя. Эта операция совместима с дифференцированием в том смысле, что
а также со сверткой: если представляет собой умеренное распределение и — медленно возрастающая гладкая функция на снова является умеренным распределением и
это свертка и В частности, преобразование Фурье постоянной функции, равной 1, есть распределение.
Если является умеренным распределением, то существует константа и положительные целые числа и такая, что для всех функций Шварца
Эту оценку, наряду с некоторыми методами функционального анализа , можно использовать, чтобы показать, что существует непрерывная медленно возрастающая функция. и мультииндекс такой, что
Если тогда для любого компакта существует непрерывная функция компактно поддерживается в (возможно, на большем наборе, чем сам K ) и мультииндексный такой, что на
Использование голоморфных функций в качестве тестовых функций [ править ]
Главное значение Коши - метод присвоения значений некоторым неправильным интегралам, которые в противном случае были бы неопределенными.
Тройка Гельфанда - конструкция, связывающая изучение «связанных» и непрерывных собственных значений в функциональном анализе. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
Алгебра Коломбо - коммутативная ассоциативная дифференциальная алгебра обобщенных функций, в которую гладкие функции (но не произвольные непрерывные) встраиваются как подалгебра, а распределения встраиваются как подпространство. Страницы, отображающие описания из Викиданных в качестве запасного варианта.
Распределение (теория чисел) - функция на конечных множествах, аналогичная целочисленным страницам, отображающим описания викиданных в качестве запасного варианта.
^ Обратите внимание, что целое число подразумевает Иногда это выражается как С неравенство» " означает: если в то время как если тогда это значит
^ Изображение компакта под постоянным -значная карта (например, для ) само по себе является компактным и, следовательно, ограниченным подмножеством Если то это означает, что каждая из функций, определенных выше, является -значный (то есть ни один из приведенных выше супремумов никогда не равен ).
^ Точно так же, как и космос определяется как векторное подпространство состоящий из карт с поддержкой , содержащейся в наделен топологией подпространства, которую он наследует от .
^ Несмотря на то, что топология не метризуем, линейный функционал на непрерывно тогда и только тогда, когда оно секвенциально непрерывно.
^ Нулевая последовательность — это последовательность, которая сходится к началу координат.
^ Если также направлено на обычное сравнение функций, то мы можем считать конечный набор состоящим из одного элемента.
^ Теорема о расширении отображений, определенных из подпространства S топологического векторного пространства E в само топологическое пространство E, работает и для нелинейных отображений, при условии, что они предполагаются равномерно непрерывными . Но, к сожалению, это не наш случай, мы хотели бы «расширить» линейное непрерывное отображение A из телеграммы E в другую телепередачу F, чтобы получить линейное непрерывное отображение из двойственной телепередачи E' в двойственное F' ( обратите внимание на порядок пробелов). В общем, это даже не проблема расширения, потому что (вообще) E не обязательно является подмножеством своего собственного двойственного E'. Более того, это не классическая топологическая задача транспонирования, потому что транспонирование A идет от F' к E', а не от E' к F'. Действительно, наш случай требует нового порядка идей, включающего специфические топологические свойства пространств Лорана Шварца D(U) и D'(U), а также фундаментальное понятие слабого (или Шварцева) сопряженного к линейному непрерывному оператору А.
^ Например, пусть и возьми быть обычной производной функции одной действительной переменной и предполагать носитель содержаться в конечном интервале тогда с тех пор
^ Стрихарц, Роберт (1993). Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье . США. п. 17. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ряды Аддисона-Уэсли по математике. Том. 1. Ридинг, Массачусетс: Издательство Addison-Wesley. ISBN 978-0201029857 .
M. J. Lighthill (1959). Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions. Cambridge University Press. ISBN0-521-09128-4 (requires very little knowledge of analysis; defines distributions as limits of sequences of functions under integrals)
Arc.Ask3.Ru Номер скриншота №: 72A307D37A0A97AB674520EFB1EAB4FC__1716753960 URL1:https://en.wikipedia.org/wiki/Theory_of_distributions Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1: Distribution (mathematics) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть, любые претензии не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, денежную единицу можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)