Откат (дифференциальная геометрия)

Эта статья посвящена операциям обратного образа в дифференциальной геометрии, в частности, обратному образу дифференциальных форм и тензорных полей на гладких многообразиях . Чтобы узнать о других значениях этого термина в математике , см. «Откат» .

Позволять $\phi :M\to N$ быть гладким отображением между гладкими многообразиями $M$ и $N$. Тогда существует ассоциированное линейное отображение пространства 1-форм на $N$ ( линейное пространство сечений на кокасательного расслоения ) к пространству 1-форм $M$. Эта линейная карта известна как откат (по $\phi$), и часто обозначается $\phi ^{*}$. В более общем смысле, любое ковариантное тензорное поле – в частности, любая дифференциальная форма – на $N$ может быть отодвинуто обратно $M$ с использованием $\phi$.

Когда карта $\phi$ является диффеоморфизмом , то обратный образ вместе с прямым можно использовать для преобразования любого тензорного поля из $N$ к $M$ или наоборот. В частности, если $\phi$ является диффеоморфизмом между открытыми подмножествами $\mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbb {R} ^{n}$, рассматриваемый как изменение координат (возможно, между разными картами на многообразии $M$), тогда откат и продвижение вперед описывают свойства преобразования ковариантных и контравариантных тензоров, используемых в более традиционных (координатно-зависимых) подходах к предмету.

Идея, лежащая в основе отката, по сути, заключается в идее предварительного соединения одной функции с другой. Однако, объединив эту идею в нескольких различных контекстах, можно построить довольно сложные операции возврата. Эта статья начинается с простейших операций, а затем используется для построения более сложных операций. Грубо говоря, механизм обратного хода (с использованием предкомпозиции) превращает несколько конструкций дифференциальной геометрии в контравариантные функторы .

Откат гладких функций и гладких карт

Позволять $\phi :M\to N$ быть гладким отображением между (гладкими) многообразиями $M$ и $N$и предположим $f:N\to \mathbb {R}$ является гладкой функцией на $N$. Затем откат ​ $f$ к $\phi$ это гладкая функция $\phi ^{*}f$ на $M$ определяется $(\phi ^{*}f)(x)=f(\phi (x))$. Аналогично, если $f$ — гладкая функция на открытом множестве $U$ в $N$, то эта же формула определяет гладкую функцию на открытом множестве $f$ в $\phi ^{-1}(U)$. (На языке пучков обратный образ определяет морфизм из пучка гладких функций на $N$ к прямому изображению с помощью $\phi$ пучка гладких функций на $M$.)

В более общем смысле, если $f:N\to A$ это гладкая карта из $N$ к любому другому многообразию $A$, затем $(\phi ^{*}f)(x)=f(\phi (x))$ это гладкая карта из $M$ к $A$.

Откат пакетов и разделов

Если $E$ является векторным расслоением (или любым расслоением ) над $N$ и $\phi :M\to N$ — гладкая карта, то пучок откатов $\phi ^{*}E$ — векторное расслоение (или расслоение ) над $M$ чье волокно над $x$ в $M$ дается $(\phi ^{*}E)_{x}=E_{\phi (x)}$.

В этой ситуации предварительная композиция определяет операцию возврата на участках $E$: если $s$ это раздел ​ $E$ над $N$, затем участок отката $\phi ^{*}s=s\circ \phi$ это раздел $\phi ^{*}E$ над $M$.

Откат полилинейных форм

Пусть Φ: V → W — линейное отображение между векторными пространствами V и W (т. е. Φ — элемент L ( V , W ) , также обозначаемый Hom( V , W ) ), и пусть

$$F:W\times W\times \cdots \times W\rightarrow \mathbf {R}$$

быть полилинейной формой на W (также известной как тензор – не путать с тензорным полем – ранга (0, s ) , где s — количество множителей W в произведении). Тогда обратный образ Φ ^∗ F формы F через Φ является полилинейной формой на V, определяемой предкомпозицией F с Φ. Точнее, заданы векторы v ₁ , v ₂ , ..., v _s в V , Φ ^∗ F определяется по формуле

$$(\Phi ^{*}F)(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{s})=F(\Phi (v_{1}),\Phi (v_{2}),\ldots ,\Phi (v_{s})),$$

которая является полилинейной формой на V . Следовательно, Φ ^∗ — (линейный) оператор перевода полилинейных форм на W в полилинейные формы на V . В качестве частного случая отметим, что если F — линейная форма (или (0,1)-тензор) на W , так что F — элемент W ^∗ , пространство двойственное к W , то Φ ^∗ F является элементом V ^∗ , и поэтому возврат по Φ определяет линейное отображение между двойственными пространствами, которое действует в направлении, противоположном самому линейному отображению Φ:

$$\Phi \colon V\rightarrow W,\qquad \Phi ^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}.$$

С тензорной точки зрения естественно попытаться распространить понятие обратного образа на тензоры произвольного ранга, т. е. на полилинейные отображения на , принимающие значения в тензорном произведении копий r W W , т. е. W ⊗ W ⊗ ⋅ ⋅⋅ ⊗ Вт . Однако элементы такого тензорного произведения не возвращаются естественным путем: вместо этого существует операция продвижения вперед от V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V к W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W , заданная формулой

$$\Phi _{*}(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\Phi (v_{1})\otimes \Phi (v_{2})\otimes \cdots \otimes \Phi (v_{r}).$$

Тем не менее, из этого следует, что если Φ обратима, обратный ход может быть определен с помощью обратной функции Φ ⁻¹ . Объединение этих двух конструкций дает операцию продвижения вперед по обратимому линейному отображению для тензоров любого ранга ( r , s ) .

Обращение котангенс векторов и 1-форм

Позволять $\phi :M\to N$ быть гладким отображением гладких многообразий . Тогда дифференциал ​ $\phi$, написано $\phi _{*}$, $d\phi$, или $D\phi$, является морфизмом векторного расслоения (над $M$) из касательного расслоения $TM$ из $M$ к пакету откатов $\phi ^{*}TN$. Транспонирование ​ ​ $\phi _{*}$ поэтому является картой расслоения из $\phi ^{*}T^{*}N$ к $T^{*}M$, котангенс расслоения $M$.

Теперь предположим, что $\alpha$ это раздел ​ $T^{*}N$ ( 1-форма на $N$) и предварительно составить $\alpha$ с $\phi$ чтобы получить отката отрезок $\phi ^{*}T^{*}N$. Применение приведенной выше карты расслоения (поточечно) к этому разделу откат дает $\alpha$ к $\phi$, что является 1-формой $\phi ^{*}\alpha$ на $M$ определяется

$$(\phi ^{*}\alpha )_{x}(X)=\alpha _{\phi (x)}(d\phi _{x}(X))$$

для $x$ в $M$ и $X$ в $T_{x}M$.

Откат (ковариантных) тензорных полей

Конструкция предыдущего раздела немедленно обобщается на тензорные расслоения ранга $(0,s)$ для любого натурального числа $s$: а $(0,s)$ тензорное поле на многообразии $N$ — сечение тензорного расслоения на $N$ чье волокно в $y$ в $N$ это пространство полилинейных $s$-формы

$$F:T_{y}N\times \cdots \times T_{y}N\to \mathbb {R} .$$

Взяв $\phi$ равен (поточечному) дифференциалу гладкого отображения $\phi$ от $M$ к $N$, откат многолинейных форм можно объединить с откатом секций, чтобы получить откат $(0,s)$ тензорное поле на $M$. Точнее, если $S$ это $(0,s)$-тензорное поле на $N$, откат то $S$ к $\phi$ это $(0,s)$-тензорное поле $\phi ^{*}S$ на $M$ определяется

$$(\phi ^{*}S)_{x}(X_{1},\ldots ,X_{s})=S_{\phi (x)}(d\phi _{x}(X_{1}),\ldots ,d\phi _{x}(X_{s}))$$

для $x$ в $M$ и $X_{j}$ в $T_{x}M$.

Откат дифференциальных форм

Частным важным случаем возврата ковариантных тензорных полей является возврат дифференциальных форм . Если $\alpha$ является дифференциалом $k$-форма, т. е. сечение внешнего расслоения $\Lambda ^{k}(T^{*}N)$ (послойно) чередующихся $k$-формы на $TN$, то откат $\alpha$ это дифференциал $k$-форма на $M$ определяется по той же формуле, что и в предыдущем разделе:

$$(\phi ^{*}\alpha )_{x}(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha _{\phi (x)}(d\phi _{x}(X_{1}),\ldots ,d\phi _{x}(X_{k}))$$

для $x$ в $M$ и $X_{j}$ в $T_{x}M$.

Обращение дифференциальных форм имеет два свойства, которые делают его чрезвычайно полезным.

1. Оно совместимо с клиновым произведением в том смысле, что для дифференциальных форм $\alpha$ и $\beta$ на $N$,
   $$\phi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=\phi ^{*}\alpha \wedge \phi ^{*}\beta .$$
2. Он совместим с внешней производной $d$: если $\alpha$ является дифференциальной формой на $N$ затем
   $$\phi ^{*}(d\alpha )=d(\phi ^{*}\alpha ).$$

Обратный ход с помощью диффеоморфизмов

Когда карта $\phi$ между многообразиями является диффеоморфизмом , то есть имеет гладкий обратный образ, тогда обратный образ может быть определен как для векторных полей , так и для 1-форм и, следовательно, в более широком смысле, для произвольного смешанного тензорного поля на многообразии. Линейная карта

$$\Phi =d\phi _{x}\in \operatorname {GL} \left(T_{x}M,T_{\phi (x)}N\right)$$

можно перевернуть, чтобы дать

$$\Phi ^{-1}=\left({d\phi _{x}}\right)^{-1}\in \operatorname {GL} \left(T_{\phi (x)}N,T_{x}M\right).$$

Обычное смешанное тензорное поле затем преобразуется с помощью $\Phi$ и $\Phi ^{-1}$ по тензорному произведению разложения тензорного расслоения на копии $TN$ и $T^{*}N$. Когда $M=N$, то возврат и движение вперед описывают свойства преобразования тензора на многообразии $M$. Традиционно, обратный образ описывает свойства преобразования ковариантных индексов тензора ; напротив, преобразование контравариантных индексов задается сдвигом вперед .

Откат по автоморфизмам

Конструкция предыдущего раздела имеет теоретико-представительную интерпретацию, когда $\phi$ является диффеоморфизмом многообразия $M$ самому себе. В этом случае производная $d\phi$ это раздел $\operatorname {GM} (TM,\phi ^{*}TM)$. Это вызывает действие отката на разделах любого пакета, связанного с пакетом кадров. $\operatorname {GM} (m)$ из $M$ представлением полной линейной группы $\operatorname {GM} (m)$ (где $m=\dim M$).

и

См. производную Лия . Применяя предыдущие идеи к локальной 1-параметрической группе диффеоморфизмов, определяемой векторным полем на $M$и дифференцируя по параметру, получаем понятие производной Ли на любом ассоциированном расслоении.

Откат связей (ковариантные производные)

Если $\nabla$ — связность (или ковариантная производная ) на векторном расслоении $E$ над $N$ и $\phi$ это гладкая карта из $M$ к $N$, то есть обратное соединение $\phi ^{*}\nabla$ на $\phi ^{*}E$ над $M$, определяемый однозначно условием, что

$$\left(\phi ^{*}\nabla \right)_{X}\left(\phi ^{*}s\right)=\phi ^{*}\left(\nabla _{d\phi (X)}s\right).$$

См. также

• Толчок вперед (дифференциал)
• Пакет откатов
• Откат (теория категорий)

Ссылки

• Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ . Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-42627-2 . См. разделы 1.5 и 1.6 .
• Авраам, Ральф ; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики . Лондон: Бенджамин-Каммингс. ISBN  0-8053-0102-Х . См. разделы 1.7 и 2.3 .