Присоединенный пучок

В математике присоединенное расслоение — векторное расслоение, естественно связанное с любым главным расслоением . Слои присоединенного расслоения несут структуру алгебры Ли, превращающую присоединенное расслоение в (неассоциативное) расслоение алгебр . Сопряженные расслоения имеют важные приложения в теории связностей , а также в калибровочной теории .

Формальное определение

Пусть G — группа Ли с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$, и пусть P — главное G -расслоение над гладким многообразием M . Позволять

$\mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})\subset \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})$

будет (левым) присоединенным представлением G . P Присоединённое расслоение — это ассоциированное расслоение

$\mathrm {ad} P=P\times _{\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}$

Сопряженное расслоение также обычно обозначается как ${\mathfrak {g}}_{P}$. Явно элементы присоединенного расслоения являются классами эквивалентности пар [ p , X ] для p ∈ P и X ∈ ${\mathfrak {g}}$ такой, что

$[p\cdot g,X]=[p,\mathrm {Ad} _{g}(X)]$

для g ∈ G. всех Поскольку структурная группа присоединенного расслоения состоит из автоморфизмов превращающую присоединенное расслоение в расслоение алгебр Ли над M. алгебры Ли, слои естественным образом несут структуру алгебры Ли ,

Ограничение в закрытую подгруппу

Пусть G — любая группа Ли с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$, и пусть H — замкнутая подгруппа группы G. Через (левое) присоединенное представление G на ${\mathfrak {g}}$, G становится топологической группой преобразований ${\mathfrak {g}}$. Ограничивая присоединенное представление группы G подгруппой H,

$\mathrm {Ad\vert _{H}} :H\hookrightarrow G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})$

также H действует как топологическая группа преобразований на ${\mathfrak {g}}$. Для каждого h в H $Ad\vert _{H}(h):{\mathfrak {g}}\mapsto {\mathfrak {g}}$ является автоморфизмом алгебры Ли.

Поскольку H — замкнутая подгруппа группы Ли G, однородное пространство M=G/H является базовым пространством главного расслоения. $G\to M$ с тотальным пространством G и структурной группой H. Таким образом, существование H-значных функций перехода $g_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\rightarrow H$ уверен, где $U_{i}$ является открытым накрытием M, а функции перехода $g_{ij}$ образуют коцикл переходной функции на M.Соответствующий пучок волокон $\xi =(E,p,M,{\mathfrak {g}})=G[({\mathfrak {g}},\mathrm {Ad\vert _{H}} )]$ представляет собой расслоение алгебр Ли с типичным слоем ${\mathfrak {g}}$и непрерывное отображение $\Theta :\xi \oplus \xi \rightarrow \xi$ индуцирует на каждом слое скобку Ли.

Свойства

Дифференциальные формы на M со значениями в $\mathrm {ad} P$ находятся во взаимно однозначном соответствии с горизонтальными G -эквивариантными формами со значениями алгебры Ли на P . Ярким примером является кривизна любой связи на P , которую можно рассматривать как 2-форму на M со значениями в $\mathrm {ad} P$.

Пространство сечений присоединенного расслоения, естественно, является (бесконечномерной) алгеброй Ли. Ее можно рассматривать как алгебру Ли бесконечномерной группы Ли калибровочных преобразований P , которую можно рассматривать как сечения расслоения $P\times _{\mathrm {c} onj}G$ где conj — действие G на себя посредством (левого) сопряжения .

Если $P={\mathcal {F}}(E)$ - расслоение кадров расслоения векторного $E\to M$, затем $P$ имеет слой общей линейной группы $\operatorname {GL} (r)$ (действительный или комплексный, в зависимости от $E$) где $\operatorname {rank} (E)=r$. Эта структурная группа имеет алгебру Ли, состоящую из всех $r\times r$ матрицы $\operatorname {Mat} (r)$, и их можно рассматривать как эндоморфизмы векторного расслоения $E$. Действительно, существует естественный изоморфизм $\operatorname {ad} {\mathcal {F}}(E)=\operatorname {End} (E)$.

Ссылки

• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , том. 1, Wiley Interscience , ISBN  0-471-15733-3
• Колар, Иван; Михор, Питер; Словак, Ян (1993), Естественные операторы в дифференциальной геометрии , Springer, стр. 161, 400, ISBN  978-3-662-02950-3 . В формате PDF