В дифференциальной геометрии форма со значениями в алгебре Ли — это дифференциальная форма со значениями в алгебре Ли . Такие формы имеют важные приложения в теории связностей на главном расслоении , а также в теории связностей Картана .
Дифференциал со значениями в алгебре Ли
-форма на многообразии,
гладкое сечение расслоения , —
, где
является алгеброй Ли ,
представляет собой котангенс расслоения
и
обозначает
внешняя мощность .
Клиновое произведение обычных вещественнозначных дифференциальных форм определяется с помощью умножения действительных чисел. Для пары дифференциальных форм со значениями алгебры Ли клиновое произведение можно определить аналогично, но заменив операцию билинейной скобки Ли , чтобы получить другую форму со значениями алгебры Ли. Для
-ценный
-форма
и
-ценный
-форма
, их клиновое произведение
дается
={1 \over p!q!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} ( \sigma )[\omega (v_{\sigma (1)},\dotsc ,v_{\sigma (p)}),\eta (v_{\sigma (p+1)},\dotsc ,v_{\sigma (p+q)})],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0675c1789f445cc4026642657538b3c008579a57)
где
- касательные векторы. Обозначение предназначено для обозначения обеих задействованных операций. Например, если
и
являются формами со значениями алгебры Ли, то имеем
=[\omega (v_{1}),\eta (v_{2})]-[\omega (v_{2}),\eta (v_{1})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e3d3ab037d88cfdcb4c0e3374fcdf6631d5f253)
Операция
также можно определить как билинейную операцию над
удовлетворяющий
![{\displaystyle [(г\otimes \alpha)\wedge (h\otimes \beta)] = [g,h]\otimes (\alpha \wedge \beta)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75b2bb82a263398134c17b2756affc04d17e71e)
для всех
и
.
Некоторые авторы использовали обозначения
вместо
. Обозначения
, напоминающий коммутатор , оправдано тем, что если алгебра Ли
является матричной алгеброй, тогда
есть не что иное, как градуированный коммутатор
и
, то есть если
и
затем
![{\displaystyle [\omega \wedge \eta ]=\omega \wedge \eta -(-1)^{pq} \eta \wedge \omega,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/127ab18af21042a199e74c283c64d6c5e6e5a5b1)
где
представляют собой клиновые произведения, образованные с помощью матричного умножения на
.
Позволять
— гомоморфизм алгебры Ли . Если
это
-значная форма на многообразии, то
это
-значная форма на том же многообразии, полученная применением
ценностям
:
.
Аналогично, если
является полилинейным функционалом от
, тогда кладут [1]

где
и
являются
-ценный
-формы. Более того, учитывая векторное пространство
, ту же формулу можно использовать для определения
-значная форма
когда

представляет собой многолинейную карту,
это
-значная форма и
это
-значная форма. Обратите внимание, что когда
![{\displaystyle f([x,y],z)=f(x,f(y,z)) -f(y,f(x,z)){,}\qquad (*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01025dc3b07a0ac16ed40740779ce057c8629a4)
предоставление
равносильно совершению действия
на
; то есть,
определяет представление

и, наоборот, любое представление
определяет
с условием
. Например, если
(кронштейн
), то восстанавливаем определение
приведенное выше, с
, присоединенное представление . (Обратите внимание на связь между
и
выше, таким образом, похоже на отношение между скобкой и
.)
В общем, если
это
-ценный
-форма и
это
-ценный
-форма, то чаще всего пишут
когда
. Явно,

С помощью этих обозначений, например, имеем:
.
Пример: Если
это
-значная однозначная форма (например, форма подключения ),
представление
в векторном пространстве
и
а
-значная нулевая форма, тогда
[2]
Позволять
быть гладким главным расслоением со структурной группой
и
.
действует на
через присоединенное представление , и поэтому можно сформировать связанный пакет:

Любой
-значные формы на базисном пространстве
находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с любыми тензорными формами на
присоединенного типа.
- ^ С. Кобаяши, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии (Библиотека Wiley Classics), Том 1, 2. Глава XII, § 1.}}
- ^ Поскольку
, у нас это есть ![{\displaystyle (\rho ([\omega \wedge \omega])\cdot \varphi )(v,w)={1 \over 2}(\rho ([\omega \wedge \omega])(v,w )\varphi -\rho ([\omega \wedge \omega ])(w,v)\phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c64e603bb2fe3b2cab8a87ae9bb539456f053dd4)
является 