Коммутатор

Эта статья о математической концепции. Для электрического компонента см. Коммутатор (электрический) . Для связи между каноническими конъюгатными сущностями см. Канонические отношения коммутации . Для других видов использования см. Коммутация .

В математике коммутатор бинарная дает указание на степень, в которой определенная операция не может быть коммутативной . Существуют разные определения, используемые в теории групп и теории кольца .

Групповая теория

Коммутатор G двух элементов, и H , группы G , является элементом

[ g , h ] = g ⁻¹ час ⁻¹ GH ​

Этот элемент равен идентичности группы, если и только тогда, когда G и H ездят (то есть, если и только тогда, если gh = hg ).

Набор всех коммутаторов группы в целом не закрыт в рамках группы, но подгруппа сгенерированную G, всеми закрыта и называется производной группой или подгруппой коммутатора G. коммутаторами , Коммутаторы используются для определения нильпотентных и решаемых групп и крупнейшей авелевской группы коэффициенты .

Определение приведенного выше коммутатора используется на протяжении всей этой статьи, но многие теоретики группы определяют коммутатор как

[ g , h ] = гаг ⁻¹ час ⁻¹ .

Используя первое определение, это может быть выражено как [ g ⁻¹ , ч ⁻¹ ] .

Идентичность (теория группы)

Идентификация коммутатора является важным инструментом в теории групп . Выражение а ^х обозначает сопряжение a x , x определяемое как ⁻¹ топор ​

1. $x^{y}=x[x,y].$
2. $[y,x]=[x,y]^{-1}.$
3. $[x,zy]=[x,y]\cdot [x,z]^{y}$ и $[xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].$
4. $\left[x,y^{-1}\right]=[y,x]^{y^{-1}}$ и $\left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.$
5. $\left[\left[x,y^{-1}\right],z\right]^{y}\cdot \left[\left[y,z^{-1}\right],x\right]^{z}\cdot \left[\left[z,x^{-1}\right],y\right]^{x}=1$ и $\left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \left[[y,z],x^{y}\right]=1.$

Идентичность (5) также известна как идентичность зала -Уитт после Филиппа Холла и Эрнста Витта . Это группа теоретика группы якоби идентичности для теоретико-кольцевого коммутатора (см. Следующий раздел).

, вышеупомянутое определение конъюгата a x NB используется некоторыми теоретиками группы. другие теоретики группы определяют сопряжение a x xax как Многие ⁻¹ . Это часто писается ${}^{x}a$Полем Аналогичные личности сохраняются для этих конвенций.

Многие идентичности, которые являются истинными модули, также используются определенные подгруппы. Они могут быть особенно полезны при изучении решаемых групп и нильпотентных групп . Например, в любой группе вторые полномочия ведут себя хорошо:

$(xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].$

Если полученная подгруппа является центральной, то тогда

$(xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.$

Теория кольца

Кольца часто не поддерживают разделение. Таким образом, коммутатор двух элементов A и B кольца (или любой ассоциативной алгебры ) определяется по -разному

$[a,b]=ab-ba.$

Коммутатор нулю, если и только тогда, когда a и b ездят. В линейной алгебре , если два эндоморфизма пространства представлены в результате поездок на одну основу, то они так представлены по каждой основе. Используя коммутатор в качестве кронштейна Lie , каждая ассоциативная алгебра может быть превращена в алгебру Lie .

Антимутатор A двух элементов и B кольца или ассоциативной алгебры определяется

$\{a,b\}=ab+ba.$

Иногда $[a,b]_{+}$ используется для обозначения антикоммутатора, в то время как $[a,b]_{-}$ затем используется для коммутатора. Антимутатор используется реже, но может использоваться для определения алгебр Клиффорда и алгебры Иордана , а также в получении уравнения Дирака при физике частиц .

Коммутатор двух операторов, действующих на пространство Гильберта , является центральной концепцией квантовой механики , поскольку он количественно определяет, насколько хорошо эти два наблюдаемых, описанные этими операторами, могут быть измерены одновременно. Принцип неопределенности в конечном итоге является теоремой о таких коммутаторах, благодаря отношению Робертсона -Шредингера . В фазовом пространстве эквивалентные коммутаторы функциональных звездных продуктов называются скобками Moyal и полностью изоморфны для упомянутых структур коммутатора Гильберта.

Идентичности (теория кольца)

Коммутатор обладает следующими свойствами:

Lie-Algebra Identity

1. $[A+B,C]=[A,C]+[B,C]$
2. $[A,A]=0$
3. $[A,B]=-[B,A]$
4. $[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0$

Соотношение (3) называется противодействием , а (4) - идентичность Якоби .

Дополнительные личности

1. $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$
2. $[A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]$
3. $[A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]$
4. $[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$
5. $[ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC$
6. $[ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD$
7. $[A,B+C]=[A,B]+[A,C]$
8. $[A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]$
9. $[AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B$
10. $[[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]$

Если A является фиксированным элементом кольца R , идентичность (1) может быть интерпретирована как правило Лейбниза для карты $\operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R$ дано по $\operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]$Полем Другими словами, карта и _{определяет} вывод на кольце r . Идентификации (2), (3) представляют правила Лейбниза для более чем двух факторов и действительны для любого вывода. Идентификации (4) - (6) также можно интерпретировать как правила Лейбниза. Идентичности (7), (8) Экспресс Z - билинейность .

Из личности (9) можно найти, что коммутатор целочисленных сил кольцевых элементов:

$[A^{N},B^{M}]=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}A^{n}B^{m}[A,B]B^{N-n-1}A^{M-m-1}=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}B^{n}A^{m}[A,B]A^{N-n-1}B^{M-m-1}$

Некоторые из вышеперечисленных идентичностей могут быть распространены на антикоммутатор, используя приведенные выше ± подписное знакомство. Например:

1. $[AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B$
2. $[AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{\pm }B$
3. $[[A,B],[C,D]]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[[B,D]_{+},A]_{+},C]+[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[[A,C]_{+},B]_{+},D]$
4. $\left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B]_{\pm }\right]=0$
5. $[A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{-}$
6. $[A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }$

Экспоненциальная личность

Рассмотрим кольцо или алгебру, в которой экспоненциальная $e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots$ может быть осмысленно определен, например, банаховая алгебра или кольцо серии формальной мощности .

В таком кольце лемма Адамарда, применяемая к вложенным коммутаторам, дает: ${\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}$ (Для последнего выражения см. Сотрудники ниже.) Эта формула лежит в основе расширения логарифмического ( a ) exp ( b )).

Аналогичное расширение выражает групповой коммутатор выражений $e^{A}$ (аналогично элементам группы лжи ) с точки зрения серии вложенных коммутаторов (скобки Lie), $$e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}}[A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right).$$

Градуированные кольца и алгебры

При работе с градуированными алгебрами коммутатор обычно заменяется градуированным коммутатором , определяемым в однородных компонентах как

$[\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .$

Соответствующий вывод

Особенно, если кто -то имеет дело с несколькими коммутаторами на кольце R , другая нотация оказывается полезной. Для элемента $x\in R$, мы определяем составное отображение $\mathrm {ad} _{x}:R\to R$ к:

$\operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.$

Это отображение является выводом на кольце r :

$\mathrm {ad} _{x}\!(yz)\ =\ \mathrm {ad} _{x}\!(y)\,z\,+\,y\,\mathrm {ad} _{x}\!(z).$

По идентичности Якоби это также является выводом в отношении операции коммутации:

$\mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} _{x}\!(z)].$

Создавая такие отображения, мы получим, например, $\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]$ и $$\operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z))\ =\ [x,[x,z]\,].$$ Мы можем рассмотреть $\mathrm {ad}$ сам как картирование, $\mathrm {ad} :R\to \mathrm {End} (R)$, где $\mathrm {End} (R)$ это кольцо отображений от R до себя с композицией в качестве операции умножения. Затем $\mathrm {ad}$ это гомоморфизм алгебры , сохраняющий коммутатор:

$\operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].$

Напротив, это не всегда кольцо гомоморфизма: обычно $\operatorname {ad} _{xy}\,\neq \,\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}$.

Генерал Лейбниц Правило

Генеральное правило Лейбниза , расширяющее повторные производные продукта, может быть написано абстрактно, используя соответствующее представление:

$x^{n}y=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {ad} _{x}^{k}\!(y)\,x^{n-k}.$

Замена $x$ оператором дифференциации $\partial$, и $y$ оператором умножения $m_{f}:g\mapsto fg$, мы получаем $\operatorname {ad} (\partial )(m_{f})=m_{\partial (f)}$и применение обеих сторон к функции g , идентичность становится обычным правилом Лейбниза для n th производного $\partial ^{n}\!(fg)$.

Смотрите также

• Противодействие
• Партнер
• Бейкер -Кэмпбелл -Хаусдорф Формула
• Канонические отношения коммутации
• Централизатор AKA Commutant
• Вывод (абстрактная алгебра)
• Moyal Cracket
• ПИНКЕРЛЕРО
• Пуассон -кронштейн
• Тройной коммутатор
• Три подгруппы лемма

Ссылки

• Fraleigh, John B. (1976), первый курс по абстрактной алгебре (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN  0-201-01984-1
• Griffiths, David J. (2004), Введение в квантовую механику (2 -е изд.), Prentice Hall , ISBN  0-13-805326-х
• Herstein, In (1975), темы в алгебре (2 -е изд.), Wiley, ISBN  0471010901
• Lavrov, PM (2014), «Идентификации якоби -типа в алгебрах и супельгебрах», Теоретическая и математическая физика , 179 (2): 550–558, arxiv : 1304.5050 , bibcode : 2014tmp ... 179..550l , doi : 10.1007 . /S11232-014-0161-2 , S2CID   119175276
• Liboff, Richard L. (2003), Вводная квантовая механика (4-е изд.), Аддисон-Уэсли , ISBN  0-8053-8714-5
• McKay, Susan (2000), конечные P-группы , Queen Mary Maths Notes, Vol. 18, Лондонский университет , ISBN  978-0-902480-17-9 , Мистер   1802994
• McMahon, D. (2008), Квантовая теория поля , McGraw Hill , ISBN  978-0-07-154382-8

Дальнейшее чтение

• Маккензи, Р .; Сноу, Дж. (2005), «Конгруэнтные модульные сорта: теория коммутатора» , в Kudryavtsev, VB; Rosenberg, IG (Eds.), Структурная теория автоматов, полугрупп и универсальной алгебры , Nato Science Series II, Vol. 207, Springer, pp. 273–329, doi : 10.1007/1-4020-3817-8_11 , ISBN  9781402038174

Внешние ссылки

• «Коммутатор» , Энциклопедия математики , Ems Press , 2001 [1994]