Лемма Адамара

В математике , лемма Адамара , названная в честь Жака Адамара по сути является формой первого порядка теоремы Тейлора , в которой мы можем выразить гладкую вещественнозначную функцию точно и удобным способом.

Заявление

Лемма Адамара - Позволять $f$ быть гладкой вещественной функцией, определенной на открытой звездно-выпуклой окрестности. $U$ точки $a$ в $n$-мерное евклидово пространство. Затем $f(x)$ может быть выражено для всех $x\in U,$ в форме: $$f(x)=f(a)+\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-a_{i}\right)g_{i}(x),$$ где каждый $g_{i}$ является гладкой функцией на $U,$ $a=\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right),$ и $x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right).$

Доказательство

Доказательство

Позволять $x\in U.$ Определять $h:[0,1]\to \mathbb {R}$ к $$h(t)=f(a+t(x-a))\qquad {\text{ for all }}t\in [0,1].$$

Затем $$h'(t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))\left(x_{i}-a_{i}\right),$$ что подразумевает $${\begin{aligned}h(1)-h(0)&=\int _{0}^{1}h'(t)\,dt\\&=\int _{0}^{1}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))\left(x_{i}-a_{i}\right)\,dt\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-a_{i}\right)\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))\,dt.\end{aligned}}$$

Но кроме того, $h(1)-h(0)=f(x)-f(a),$ поэтому, позволив $$g_{i}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))\,dt,$$ теорема доказана. $\blacksquare$

Последствия и применение

Следствие - Если $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ является гладким и $f(0)=0$ затем $f(x)/x$ является гладкой функцией на $\mathbb {R} .$ В явном виде этот вывод означает, что функция $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ который отправляет $x\in \mathbb {R}$ к $${\begin{cases}f(x)/x&{\text{ if }}x\neq 0\\\lim _{t\to 0}f(t)/t&{\text{ if }}x=0\\\end{cases}}$$ является корректно определенной гладкой функцией на $\mathbb {R} .$

Доказательство

По лемме Адамара существует некоторое $g\in C^{\infty }(\mathbb {R} )$ такой, что $f(x)=f(0)+xg(x)$ так что $f(0)=0$ подразумевает $f(x)/x=g(x).$ $\blacksquare$

Следствие - Если $y,z\in \mathbb {R} ^{n}$ являются отдельными точками и $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ является гладкой функцией, удовлетворяющей условию $f(z)=0=f(y)$ тогда существуют гладкие функции $g_{i},h_{i}\in C^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ ( $i=1,\ldots ,3n-2$) удовлетворение $g_{i}(z)=0=h_{i}(y)$ для каждого $i$ такой, что $$f=\sum _{i}^{}g_{i}h_{i}.$$

Доказательство

Применяя обратимую аффинную линейную замену координат, без ограничения общности можно предположить, что $z=(0,\ldots ,0)$ и $y=(0,\ldots ,0,1).$ По лемме Адамара существуют $g_{1},\ldots ,g_{n}\in C^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ такой, что $f(x)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x).$ Для каждого $i=1,\ldots ,n,$ позволять $\alpha _{i}:=g_{i}(y)$ где $0=f(y)=\sum _{i=1}^{n}y_{i}g_{i}(y)=g_{n}(y)$ подразумевает $\alpha _{n}=0.$ Тогда для любого $x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n},$ $${\begin{alignedat}{8}f(x)&=\sum _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x)&&\\&=\sum _{i=1}^{n}\left[x_{i}\left(g_{i}(x)-\alpha _{i}\right)\right]+\sum _{i=1}^{n-1}\left[x_{i}\alpha _{i}\right]&&\quad {\text{ using }}g_{i}(x)=\left(g_{i}(x)-\alpha _{i}\right)+\alpha _{i}{\text{ and }}\alpha _{n}=0\\&=\left[\sum _{i=1}^{n}x_{i}\left(g_{i}(x)-\alpha _{i}\right)\right]+\left[\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}x_{n}\alpha _{i}\right]+\left[\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}\left(1-x_{n}\right)\alpha _{i}\right]&&\quad {\text{ using }}x_{i}=x_{n}x_{i}+x_{i}\left(1-x_{n}\right).\\\end{alignedat}}$$ Каждый из $3n-2$ термины выше имеет желаемые свойства. $\blacksquare$

См. также

• Функция Bump – плавная и компактная функция
• Непрерывно дифференцируемая — математическая функция, производная которой существует. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Гладкость - количество производных функции (математика)
• Теорема Тейлора - Приближение функции усеченным степенным рядом.

Ссылки

• Неструев, Джет (2002). Гладкие многообразия и наблюдаемые . Берлин: Шпрингер. ISBN  0-387-95543-7 .
• Неструев, Джет (10 сентября 2020 г.). Гладкие многообразия и наблюдаемые . Тексты для аспирантов по математике . Том. 220. Чам, Швейцария: Springer Nature . ISBN  978-3-030-45649-8 . OCLC   1195920718 .