Производная Пинчерле

В математике Пинчерле производная ^[1] $T'$ линейного оператора $T:\mathbb {K} [x]\to \mathbb {K} [x]$ на векторном пространстве многочленов от переменной x над полем $\mathbb {K}$ является коммутатором $T$ с умножением на x в алгебре эндоморфизмов $\operatorname {End} (\mathbb {K} [x])$ . То есть, $T'$ еще один линейный оператор $T':\mathbb {K} [x]\to \mathbb {K} [x]$

T':=[T,x]=Tx-xT=-\operatorname {ad} (x)T,\,

(по происхождению $\operatorname {ad}$ обозначения, см. статью о присоединенном представлении ), так что

T'\{p(x)\}=T\{xp(x)\}-xT\{p(x)\}\qquad \forall p(x)\in \mathbb {K} [x].

Эта концепция названа в честь итальянского математика Сальваторе Пинчерле (1853–1936).

Характеристики

Производная Пинчерле, как и любой коммутатор , является производной , то есть она удовлетворяет правилам суммы и произведения: даны два линейных оператора $S$ и $T$ принадлежащий $\operatorname {End} \left(\mathbb {K} [x]\right),$

$(T+S)^{\prime }=T^{\prime }+S^{\prime }$ ;
$(TS)^{\prime }=T^{\prime }\!S+TS^{\prime }$ где $TS=T\circ S$ это композиция операторов .

У одного также есть $[T,S]^{\prime }=[T^{\prime },S]+[T,S^{\prime }]$ где $[T,S]=TS-ST$ — обычная скобка Ли , следующая из тождества Якоби .

Обычная производная D / = d — dx это оператор многочленов. Путем простых вычислений его производная Пинчерле равна

D'=\left({d \over {dx}}\right)'=\operatorname {Id} _{\mathbb {K} [x]}=1.

Эта формула обобщается на

(D^{n})'=\left({{d^{n}} \over {dx^{n}}}\right)'=nD^{n-1},

по индукции . Это доказывает, что производная Пинчерле дифференциального оператора

\partial =\sum a_{n}{{d^{n}} \over {dx^{n}}}=\sum a_{n}D^{n}

также является дифференциальным оператором, так что производная Пинчерле является производным $\operatorname {Diff} (\mathbb {K} [x])$ .

Когда $\mathbb {K}$ имеет нулевую характеристику , оператор сдвига

S_{h}(f)(x)=f(x+h)\,

можно записать как

S_{h}=\sum _{n\geq 0}{{h^{n}} \over {n!}}D^{n}

по формуле Тейлора . Тогда его производная Пинчерле будет

S_{h}'=\sum _{n\geq 1}{{h^{n}} \over {(n-1)!}}D^{n-1}=h\cdot S_{h}.

Другими словами, операторы сдвига являются собственными векторами производной Пинчерле, спектр которой представляет собой все пространство скаляров $\mathbb {K}$ .

Если T сдвиг -эквивариантен , то есть если коммутирует с Sh _или T $[T,S_{h}]=0$ , то у нас также есть $[T',S_{h}]=0$ , так что $T'$ также сдвиг-эквивариантен и для того же сдвига $h$ .