Коммутатор

Эта статья о математической концепции. Информацию о электрическом компоненте см. в разделе «Коммутатор (электрический)» . Чтобы узнать об отношении между каноническими сопряженными сущностями , см. Каноническое отношение коммутации . Чтобы узнать о других значениях, см. «Коммутация» .

В математике коммутатор двоичная указывает на степень, в которой определенная операция не является коммутативной . используются разные определения В теории групп и теории колец .

Теория групп

Коммутатором элементов двух g и h группы G является элемент

[ г , час ] знак равно г ⁻¹ час ⁻¹ хх .

Этот элемент равен единице группы тогда и только тогда, когда g и h коммутируют (то есть тогда и только тогда, когда gh = hg ).

Множество всех коммутаторов группы, вообще говоря, не замкнуто относительно групповой операции, но подгруппа порожденная G, всеми коммутаторами, замкнута и называется производной группой или подгруппой коммутатора G . Коммутаторы используются для определения нильпотентных и разрешимых групп, а также наибольшей абелевой факторгруппы .

Определение коммутатора, приведенное выше, используется на протяжении всей этой статьи, но многие другие теоретики групп определяют коммутатор как

[ г , час ] = гг ⁻¹ час ⁻¹ .

Тождества (теория групп)

Коммутирующие тождества являются важным инструментом в теории групп . Выражение ​ ^х обозначает сопряжение a с x как , определяемое x ⁻¹ топор .

1. $x^{y}=x[x,y].$
2. $[y,x]=[x,y]^{-1}.$
3. $[x,zy]=[x,y]\cdot [x,z]^{y}$ и $[xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].$
4. $\left[x,y^{-1}\right]=[y,x]^{y^{-1}}$ и $\left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.$
5. $\left[\left[x,y^{-1}\right],z\right]^{y}\cdot \left[\left[y,z^{-1}\right],x\right]^{z}\cdot \left[\left[z,x^{-1}\right],y\right]^{x}=1$ и $\left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \left[[y,z],x^{y}\right]=1.$

Тождество (5) также известно как тождество Холла-Витта , в честь Филипа Холла и Эрнста Витта . Это теоретико-групповой аналог тождества Якоби для теоретико-кольцевого коммутатора (см. следующий раздел).

Обратите внимание: приведенное выше определение сопряжения a с x используется некоторыми теоретиками групп. Многие другие теоретики групп определяют сопряжение a с x как xax ⁻¹ . Это часто пишут ${}^{x}a$. Подобные тождества справедливы и для этих конвенций.

Также используются многие тождества, которые верны по модулю определенных подгрупп. Они могут быть особенно полезны при изучении разрешимых и нильпотентных групп . Например, в любой группе вторые силы ведут себя хорошо:

$(xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].$

Если производная подгруппа центральная, то

$(xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.$

Теория колец

Кольца часто не поддерживают разделение. Таким образом, коммутатор двух элементов a и b кольца (или любой ассоциативной алгебры ) определяется по-разному:

$[a,b]=ab-ba.$

Коммутатор равен нулю тогда и только тогда, когда a и b коммутируют. В линейной алгебре , если два эндоморфизма пространства представлены коммутирующими матрицами в терминах одного базиса, то они так же представлены в терминах каждого базиса. Используя коммутатор в качестве скобки Ли , любую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли .

Антикоммутатор формулой двух элементов a и b кольца или ассоциативной алгебры определяется

$\{a,b\}=ab+ba.$

Иногда $[a,b]_{+}$ используется для обозначения антикоммутатора, а $[a,b]_{-}$ затем используется для коммутатора. Антикоммутатор используется реже, но может использоваться для определения алгебр Клиффорда и йордановых алгебр , а также при выводе уравнения Дирака в физике элементарных частиц .

Коммутатор двух операторов, действующих в гильбертовом пространстве , является центральным понятием в квантовой механике , поскольку он количественно определяет, насколько хорошо две наблюдаемые, описываемые этими операторами, могут быть измерены одновременно. Принцип неопределенности в конечном итоге является теоремой о таких коммутаторах в силу соотношения Робертсона-Шредингера . В фазовом пространстве эквивалентные коммутаторы функций -звездочек называются скобками Мойала и полностью изоморфны упомянутым структурам коммутаторов гильбертова пространства.

теория

Коммутатор обладает следующими свойствами:

Тождества алгебры лжи

1. $[A+B,C]=[A,C]+[B,C]$
2. $[A,A]=0$
3. $[A,B]=-[B,A]$
4. $[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0$

Соотношение (3) называется антикоммутативностью , а (4) — тождеством Якоби .

Дополнительные личности

1. $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$
2. $[A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]$
3. $[A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]$
4. $[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$
5. $[ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC$
6. $[ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD$
7. $[A,B+C]=[A,B]+[A,C]$
8. $[A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]$
9. $[AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B$
10. $[[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]$

Если A — фиксированный элемент кольца R , тождество (1) можно интерпретировать как правило Лейбница для отображения $\operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R$ данный $\operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]$. Другими словами, отображение ad _A определяет дифференцирование на кольце R . Тождества (2), (3) представляют собой правила Лейбница для более чем двух факторов и справедливы для любого вывода. Тождества (4)–(6) можно интерпретировать и как правила Лейбница. Тождества (7), (8) выражают Z - билинейность .

Из тождества (9) находим, что коммутатор целых степеней кольцевых элементов равен:

$[A^{N},B^{M}]=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}A^{n}B^{m}[A,B]A^{N-n-1}B^{M-m-1}$

Некоторые из приведенных выше тождеств можно распространить на антикоммутатор, используя приведенное выше обозначение ±. Например:

1. $[AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B$
2. $[AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{\pm }B$
3. $[[A,B],[C,D]]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[[B,D]_{+},A]_{+},C]+[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[[A,C]_{+},B]_{+},D]$
4. $\left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B]_{\pm }\right]=0$
5. $[A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{-}$
6. $[A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }$

Экспоненциальные тождества

Рассмотрим кольцо или алгебру, в которых экспонента $e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots$ может быть осмысленно определено, например, как банахова алгебра или кольцо формальных степенных рядов .

В таком кольце лемма Адамара, примененная к вложенным коммутаторам, дает: ${\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}$ (Последнее выражение см. в разделе «Сопряженный вывод » ниже.) Эта формула лежит в основе разложения Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа log(exp( A ) exp( B )).

Аналогичное разложение выражает групповой коммутатор выражений $e^{A}$ (аналог элементов группы Ли ) через ряд вложенных коммутаторов (скобок Ли),

$$e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}}[A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right).$$

кольца

При работе с градуированными алгебрами коммутатор обычно заменяют градуированным коммутатором , определяемым в однородных компонентах как

$[\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .$

Сопряженный вывод

особенно если иметь дело с несколькими коммутаторами в кольце R. Другое обозначение оказывается полезным, Для элемента $x\in R$, определим присоединенное отображение $\mathrm {ad} _{x}:R\to R$ к:

$\operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.$

Это отображение является дифференцированием на кольце R :

$\mathrm {ad} _{x}\!(yz)\ =\ \mathrm {ad} _{x}\!(y)\,z\,+\,y\,\mathrm {ad} _{x}\!(z).$

По тождеству Якоби это также вывод над операцией коммутации:

$\mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} _{x}\!(z)].$

Составляя такие отображения, получаем, например, $\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]$ и

$$\operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z))\ =\ [x,[x,z]\,].$$

Мы можем рассмотреть $\mathrm {ad}$ себя как отображение, $\mathrm {ad} :R\to \mathrm {End} (R)$, где $\mathrm {End} (R)$ — кольцо отображений R в себя с композицией в качестве операции умножения. Затем $\mathrm {ad}$ является гомоморфизмом алгебры Ли , сохраняющим коммутатор:

$\operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].$

Напротив, это не всегда кольцевой гомоморфизм: обычно $\operatorname {ad} _{xy}\,\neq \,\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}$.

Общее правило Лейбница

Общее правило Лейбница , расширяющее повторяющиеся производные произведения, можно записать абстрактно, используя присоединенное представление:

$x^{n}y=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {ad} _{x}^{k}\!(y)\,x^{n-k}.$

Замена $x$ оператором дифференцирования $\partial$, и $y$ оператором умножения $m_{f}:g\mapsto fg$, мы получаем $\operatorname {ad} (\partial )(m_{f})=m_{\partial (f)}$и применяя обе части к функции g , тождество становится обычным правилом Лейбница для n- й производной $\partial ^{n}\!(fg)$.

См. также

• Антикоммутативность
• Ассоциатор
• Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа
• Каноническое коммутационное соотношение
• Центратор, он же коммутант
• Вывод (абстрактная алгебра)
• Кронштейн Мойал
• Производная Пинчерле
• скобка Пуассона
• Тройной коммутатор
• Лемма о трёх подгруппах

Ссылки

• Фрэли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN  0-201-01984-1
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004), Введение в квантовую механику (2-е изд.), Прентис Холл , ISBN  0-13-805326-Х
• Херштейн, Индиана (1975), Темы алгебры (2-е изд.), Wiley, ISBN  0471010901
• Лавров, П.М. (2014), «Тождества типа Якоби в алгебрах и супералгебрах», Теоретическая и математическая физика , 179 (2): 550–558, arXiv : 1304.5050 , Bibcode : 2014TMP...179..550L , doi : 10.1007 /s11232-014-0161-2 , S2CID   119175276
• Либофф, Ричард Л. (2003), Вводная квантовая механика (4-е изд.), Аддисон-Уэсли , ISBN  0-8053-8714-5
• Маккей, Сьюзен (2000), Конечные p-группы , Математические заметки королевы Марии, том. 18 лет, Лондонский университет , ISBN  978-0-902480-17-9 , МР   1802994
• МакМахон, Д. (2008), Квантовая теория поля , МакГроу Хилл , ISBN  978-0-07-154382-8

Дальнейшее чтение

• Маккензи, Р .; Сноу, Дж. (2005), «Конгруэнтные модульные многообразия: теория коммутаторов» , Кудрявцев, В.Б.; Розенберг, И.Г. (ред.), Структурная теория автоматов, полугрупп и универсальная алгебра , Научная серия НАТО II, том. 207, Springer, стр. 273–329, номер документа : 10.1007/1-4020-3817-8_11 , ISBN.  9781402038174

Внешние ссылки

• «Коммутатор» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]