Мойал продукт

Эта статья о произведении на функции в фазовом пространстве. Не путать со звездным произведением на градуированных частично упорядоченных множествах.

В математике произведение Мойала (в честь Хосе Энрике Мойала ; также называемое звездным произведением или произведением Вейля-Грюнвольда в честь Германа Вейля и Хилбранда Дж. Гроневолда ) является примером звездного произведения в фазовом пространстве . Это ассоциативное некоммутативное произведение ★ функций на $\mathbb {R} ^{2n}$, снабженное скобкой Пуассона (с обобщением на симплектические многообразия , описанным ниже). Это частный случай ★ -произведения «алгебры символов» универсальной обертывающей алгебры .

Исторические комментарии

Продукт Мойала назван в честь Хосе Энрике Мойала , но его также иногда называют продуктом Вейля -Грюнволда, поскольку он был представлен Х. Дж. Гроневольдом в его докторской диссертации 1946 года в знак резкой оценки. переписки Вейля . Мойал в своей знаменитой статье, похоже, даже не знает об этом продукте. и ему катастрофически не хватало этого в его легендарной переписке с Дираком, как показано в его биографии. Популярное имя Мойала, по-видимому, появилось только в 1970-х годах в знак уважения к его квантования в плоском фазовом пространстве . картине

Определение

Произведение гладких функций f и g на $\mathbb {R} ^{2n}$ принимает форму $$f\star g=fg+\sum _{n=1}^{\infty }\hbar ^{n}C_{n}(f,g),$$где каждый Cn _— некоторый бидифференциальный оператор порядка n, характеризующийся следующими свойствами (явную формулу см. ниже):

• $f\star g=fg+{\mathcal {O}}(\hbar ),$ Деформация точечного произведения — подразумеваемая в формуле выше.
• $f\star g-g\star f=i\hbar \{f,g\}+{\mathcal {O}}(\hbar ^{3})\equiv i\hbar \{\{f,g\}\},$ Деформация скобки Пуассона, называемая скобкой Мойала .
• $f\star 1=1\star f=f,$ Единица недеформированной алгебры также является единицей в новой алгебре.
• ${\overline {f\star g}}={\overline {g}}\star {\overline {f}},$ Комплексно -сопряженное число является антилинейным антиавтоморфизмом .

Обратите внимание, что если кто-то хочет взять функции, имеющие действительные числа , то альтернативная версия исключает i во втором условии и исключает четвертое условие.

Если ограничиться полиномиальными функциями, указанная выше алгебра изоморфна алгебре , и _{Вейля An} обе они предлагают альтернативные реализации отображения Вейля пространства полиномов от n переменных (или симметричной алгебры векторного пространства размерности 2 n ).

Чтобы получить явную формулу, рассмотрим постоянный бивектор Пуассона Π на $\mathbb {R} ^{2n}$: $$\Pi =\sum _{i,j}\Pi ^{ij}\partial _{i}\wedge \partial _{j},$$где Р ^ij — действительное число для каждого i , j . Тогда звездное произведение двух функций f и g можно определить как псевдодифференциальный оператор, действующий на обе из них: $$f\star g=fg+{\frac {i\hbar }{2}}\sum _{i,j}\Pi ^{ij}(\partial _{i}f)(\partial _{j}g)-{\frac {\hbar ^{2}}{8}}\sum _{i,j,k,m}\Pi ^{ij}\Pi ^{km}(\partial _{i}\partial _{k}f)(\partial _{j}\partial _{m}g)+\ldots ,$$где ħ — приведенная постоянная Планка , рассматриваемая здесь как формальный параметр.

Это частный случай так называемой формулы Березина. на алгебре символов и может быть задан замкнутый вид (что следует из формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа ). Замкнутую форму можно получить, используя экспоненту : $$f\star g=m\circ e^{{\frac {i\hbar }{2}}\Pi }(f\otimes g),$$где m — карта умножения, m ( a ⊗ b ) = ab , а экспонента рассматривается как степенной ряд, $$e^{A}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}A^{n}.$$

То есть формула для C _n имеет вид $$C_{n}={\frac {i^{n}}{2^{n}n!}}m\circ \Pi ^{n}.$$

Как указывалось, часто исключаются все вхождения i, приведенного выше, и тогда формулы естественным образом ограничиваются действительными числами.

Заметим, что если функции f и g являются полиномами, указанные выше бесконечные суммы становятся конечными (сведением к обычному случаю алгебры Вейля).

Связь произведения Мойала с обобщенным ★ -произведением, используемым в определении «алгебры символов» универсальной обертывающей алгебры, следует из того, что алгебра Вейля является универсальной обертывающей алгеброй алгебры Гейзенберга (по модулю, что центр равен единице).

На коллекторах

На любом симплектическом многообразии можно, по крайней мере локально, выбрать координаты так, чтобы сделать симплектическую структуру постоянной по теореме Дарбу ; и, используя соответствующий бивектор Пуассона, можно рассмотреть приведенную выше формулу. Чтобы это работало глобально,как функцию на всем многообразии (а не только локальной формуле), необходимо снабдить симплектическое многообразие симплектической связностью без кручения . Это делает его многообразием Федосова .

Более общие результаты для произвольных пуассоновских многообразий (где теорема Дарбу не применима) даются формулой квантования Концевича .

Примеры

Простой явный пример построения и полезности ★ -произведения (для простейшего случая двумерного евклидова фазового пространства ) дан в статье о преобразовании Вигнера-Вейля : два гауссиана составляют с этим ★ -произведением согласно закон гиперболического тангенса: $$\exp \left[-a\left(x^{2}+p^{2}\right)\right]\star \exp \left[-b\left(x^{2}+p^{2}\right)\right]={\frac {1}{1+\hbar ^{2}ab}}\exp \left[-{\frac {a+b}{1+\hbar ^{2}ab}}\left(x^{2}+p^{2}\right)\right].$$

(Обратите внимание на классический предел ħ → 0. )

Однако каждое предписание соответствия между фазовым пространством и гильбертовым пространством индуцирует свое собственное ★ -произведение .

Аналогичные результаты наблюдаются в пространстве Сигала–Баргмана и в тэта-представлении группы Гейзенберга , где операторы рождения и уничтожения a ^∗ = z и a = ∂ / ∂z считаются действующими на комплексной плоскости (соответственно верхней полуплоскости группы Гейзенберга), так что операторы положения и импульса задаются выражениями x = ( a + a ^∗ )/2 и p = ( a - a ^∗ )/(2 я ) . Эта ситуация явно отличается от случая, когда позиции считаются вещественными, но дает представление об общей алгебраической структуре алгебры Гейзенберга и ее оболочки, алгебры Вейля.

Внутренние интегралы в фазовом пространстве

Внутри интеграла в фазовом пространстве можно отбросить только одно звездчатое произведение типа Мойала: что приводит к простому умножению, о чем свидетельствует интегрирование по частям, $$\int dx\,dp\;f\star g=\int dx\,dp~f~g,$$проявляя цикличность следа в фазовом пространстве. Это уникальное свойство вышеуказанного конкретного продукта Moyal и не распространяется на звездные продукты других правил соответствия, такие как Husimi's и т. д.