Jump to content

Формула квантования Концевича

В математике формула квантования Концевича описывает, как построить обобщенную операторную алгебру ★-произведения из заданного произвольного конечномерного многообразия Пуассона . Эта операторная алгебра представляет собой деформационное квантование соответствующей алгебры Пуассона. Это заслуга Максима Концевича . [1] [2]

Деформационное квантование алгебры Пуассона

[ редактировать ]

Для алгебры Пуассона ( A , {⋅, ⋅}) деформационное . квантование является ассоциативным единичным произведением на алгебре формальных степенных рядов в ħ , A [[ ħ ]] , при условии соблюдения следующих двух аксиом:

Если бы дано многообразие Пуассона ( M , {⋅, ⋅}) , можно было бы дополнительно спросить, что

где Bk линейные бидифференциальные операторы степени не выше k .

Две деформации называются эквивалентными, если они связаны калибровочным преобразованием типа

где Dn дифференциальные операторы порядка не выше n . Соответствующее индуцированное -продукт, , тогда

В качестве архетипического примера можно вполне рассмотреть Гроневольда . оригинальную «Мойала-Вейля» -продукт .

Kontsevich graphs

[ редактировать ]

Граф Концевича — это простой ориентированный граф без петель на двух внешних вершинах, помеченных f и g ; и n внутренних вершин, обозначенных Π . Из каждой внутренней вершины исходят два ребра. Все графы (классы эквивалентности) с n внутренними вершинами накапливаются в множестве G n (2) .

Примером двух внутренних вершин является следующий граф:

Kontsevich graph for n=2

Связанный бидифференциальный оператор

[ редактировать ]

С каждым графом Γ связан бидифференциальный оператор B Γ ( f , g ), определенный следующим образом. Для каждого ребра существует частная производная от символа целевой вершины. Он сокращается с соответствующим индексом исходного символа. Терм графа Γ — это произведение всех его символов вместе с их частными производными. Здесь f и g обозначают гладкие функции на многообразии, а Π пуассоновский бивектор пуассонового многообразия.

Термин для примера графика:

Связанный вес

[ редактировать ]

Для сложения этих бидифференциальных операторов существуют веса w Γ графа Γ . Прежде всего, каждому графу соответствует кратность m (Γ) , которая подсчитывает, сколько эквивалентных конфигураций существует для одного графа. Правило состоит в том, что сумма кратностей для всех графов с n внутренними вершинами равна ( n ( n + 1)) н . Пример графа выше имеет кратность m (Γ) = 8 . Для этого полезно пронумеровать внутренние вершины от 1 до n .

Чтобы вычислить вес, нам нужно проинтегрировать произведения угла в полуплоскости верхней H следующим образом. Верхняя полуплоскость — это H , наделенный метрикой Пуанкаре

и для двух точек z , w H, где z w , мы измеряем угол φ между геодезической от z до i и от z до w против часовой стрелки. Это

Областью интегрирования является C n ( H ) пространство

Формула составляет

,

где t 1( j ) и t 2( j ) являются первой и второй целевой вершиной внутренней вершины j . Вершины f и g находятся в фиксированных позициях 0 и 1 в H .

Учитывая три приведенных выше определения, формула Концевича для звездного произведения теперь имеет вид

Явная формула до второго порядка

[ редактировать ]

Обеспечение ассоциативности -произведения, несложно проверить непосредственно, что формула Концевича должна приводить ко второму порядку по ħ просто к

  1. ^ М. Концевич (2003), Квантование деформации пуассоновских многообразий , Letters of Mathematical Physics 66 , стр. 157–216.
  2. ^ Каттанео, Альберто ; Фельдер, Джованни (2000). «Подход с интегралом по траекториям к формуле квантования Концевича». Связь в математической физике . 212 (3): 591–611. arXiv : математика/9902090 . Бибкод : 2000CMaPh.212..591C . дои : 10.1007/s002200000229 . S2CID   8510811 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 7fdeb4fb5147941aaac77f0f5e8d055f__1716997980
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/7f/5f/7fdeb4fb5147941aaac77f0f5e8d055f.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Kontsevich quantization formula - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)