Формула квантования Концевича
В математике формула квантования Концевича описывает, как построить обобщенную операторную алгебру ★-произведения из заданного произвольного конечномерного многообразия Пуассона . Эта операторная алгебра представляет собой деформационное квантование соответствующей алгебры Пуассона. Это заслуга Максима Концевича . [1] [2]
Деформационное квантование алгебры Пуассона
[ редактировать ]Для алгебры Пуассона ( A , {⋅, ⋅}) деформационное . квантование является ассоциативным единичным произведением на алгебре формальных степенных рядов в ħ , A [[ ħ ]] , при условии соблюдения следующих двух аксиом:
Если бы дано многообразие Пуассона ( M , {⋅, ⋅}) , можно было бы дополнительно спросить, что
где Bk — линейные бидифференциальные операторы степени не выше k .
Две деформации называются эквивалентными, если они связаны калибровочным преобразованием типа
где Dn — дифференциальные операторы порядка не выше n . Соответствующее индуцированное -продукт, , тогда
В качестве архетипического примера можно вполне рассмотреть Гроневольда . оригинальную «Мойала-Вейля» -продукт .
Kontsevich graphs
[ редактировать ]Граф Концевича — это простой ориентированный граф без петель на двух внешних вершинах, помеченных f и g ; и n внутренних вершин, обозначенных Π . Из каждой внутренней вершины исходят два ребра. Все графы (классы эквивалентности) с n внутренними вершинами накапливаются в множестве G n (2) .
Примером двух внутренних вершин является следующий граф:
Связанный бидифференциальный оператор
[ редактировать ]С каждым графом Γ связан бидифференциальный оператор B Γ ( f , g ), определенный следующим образом. Для каждого ребра существует частная производная от символа целевой вершины. Он сокращается с соответствующим индексом исходного символа. Терм графа Γ — это произведение всех его символов вместе с их частными производными. Здесь f и g обозначают гладкие функции на многообразии, а Π — пуассоновский бивектор пуассонового многообразия.
Термин для примера графика:
Связанный вес
[ редактировать ]Для сложения этих бидифференциальных операторов существуют веса w Γ графа Γ . Прежде всего, каждому графу соответствует кратность m (Γ) , которая подсчитывает, сколько эквивалентных конфигураций существует для одного графа. Правило состоит в том, что сумма кратностей для всех графов с n внутренними вершинами равна ( n ( n + 1)) н . Пример графа выше имеет кратность m (Γ) = 8 . Для этого полезно пронумеровать внутренние вершины от 1 до n .
Чтобы вычислить вес, нам нужно проинтегрировать произведения угла в полуплоскости верхней H следующим образом. Верхняя полуплоскость — это H ⊂ , наделенный метрикой Пуанкаре
и для двух точек z , w ∈ H, где z ≠ w , мы измеряем угол φ между геодезической от z до i ∞ и от z до w против часовой стрелки. Это
Областью интегрирования является C n ( H ) пространство
Формула составляет
- ,
где t 1( j ) и t 2( j ) являются первой и второй целевой вершиной внутренней вершины j . Вершины f и g находятся в фиксированных позициях 0 и 1 в H .
Формула
[ редактировать ]Учитывая три приведенных выше определения, формула Концевича для звездного произведения теперь имеет вид
Явная формула до второго порядка
[ редактировать ]Обеспечение ассоциативности -произведения, несложно проверить непосредственно, что формула Концевича должна приводить ко второму порядку по ħ просто к
Ссылки
[ редактировать ]- ^ М. Концевич (2003), Квантование деформации пуассоновских многообразий , Letters of Mathematical Physics 66 , стр. 157–216.
- ^ Каттанео, Альберто ; Фельдер, Джованни (2000). «Подход с интегралом по траекториям к формуле квантования Концевича». Связь в математической физике . 212 (3): 591–611. arXiv : математика/9902090 . Бибкод : 2000CMaPh.212..591C . дои : 10.1007/s002200000229 . S2CID 8510811 .