Алгебра Пуассона

В математике алгебра Пуассона — это ассоциативная алгебра вместе со скобкой Ли , которая также удовлетворяет закону Лейбница ; то есть скобка тоже является выводом . Алгебры Пуассона естественным образом появляются в гамильтоновой механике , а также играют центральную роль в изучении квантовых групп . Многообразия со структурой алгебры Пуассона известны как многообразия Пуассона которых являются симплектические многообразия и группы Пуассона–Ли , частным случаем . Алгебра названа в честь Симеона Дени Пуассона .

Определение

Алгебра Пуассона — это векторное пространство над полем K, снабженное двумя билинейными произведениями ⋅ и {, }, имеющими следующие свойства:

• Произведение ⋅ образует ассоциативную K -алгебру .
• Произведение {, }, называемое скобкой Пуассона , образует алгебру Ли , поэтому оно антисимметрично и подчиняется тождеству Якоби .
• Скобка Пуассона действует как производное ассоциативного произведения ⋅, так что для любых трех элементов x , y и z в алгебре имеем { x , y ⋅ z } = { x , y } ⋅ z + y ⋅ { x , г }.

Последнее свойство часто позволяет дать множество различных формулировок алгебры, как отмечено в примерах ниже.

Примеры

Алгебры Пуассона встречаются в различных ситуациях.

Симплектические многообразия

Пространство вещественных гладких функций над симплектическим многообразием образует алгебру Пуассона. На симплектическом многообразии каждая вещественная функция H на многообразии индуцирует векторное поле X _H , гамильтоново векторное поле . Тогда для любых двух гладких функций F и G на симплектическом многообразии скобка Пуассона может быть определена как:

$\{F,G\}=dG(X_{F})=X_{F}(G)\,$.

Это определение непротиворечиво отчасти потому, что скобка Пуассона действует как вывод. Эквивалентно, можно определить скобку {,} как

$X_{\{F,G\}}=[X_{F},X_{G}]\,$

где [,] — производная Ли . Когда симплектическое многообразие есть R ^{2 н} со стандартной симплектической структурой, то скобка Пуассона принимает известный вид

$\{F,G\}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial G}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial G}{\partial q_{i}}}.$

Аналогичные соображения применимы к многообразиям Пуассона , которые обобщают симплектические многообразия, позволяя симплектическому бивектору иметь дефектный ранг.

Алгебры Ли

Тензорная алгебра алгебры Ли имеет структуру алгебры Пуассона. Очень явная конструкция этого дана в статье об универсальных обертывающих алгебрах .

Конструкция начинается с построения тензорной алгебры основного векторного пространства алгебры Ли. Тензорная алгебра — это просто несвязное объединение ( прямая сумма ⊕) всех тензорных произведений этого векторного пространства. Затем можно показать, что скобка Ли может быть последовательно поднята на всю тензорную алгебру: она подчиняется как правилу произведения, так и тождеству Якоби скобки Пуассона и, таким образом, является скобкой Пуассона при поднятии. Тогда пара произведений {,} и ⊗ образует алгебру Пуассона. Заметьте, что ⊗ не является ни коммутативным, ни антикоммутативным: оно просто ассоциативно.

Таким образом, имеет место общее утверждение, что тензорная алгебра любой алгебры Ли является алгеброй Пуассона. Универсальная обертывающая алгебра получается путем изменения структуры алгебры Пуассона.

Ассоциативные алгебры

Если A — ассоциативная алгебра , то введение коммутатора [ x , y ]= xy − yx превращает ее в алгебру Пуассона (и, следовательно, также в алгебру Ли) A _L . Обратите внимание, что полученный результат AL _. не следует путать с конструкцией тензорной алгебры, описанной в предыдущем разделе При желании можно было бы применить и эту конструкцию, но это дало бы другую алгебру Пуассона, гораздо большую.

операторов

Для алгебры вершинных операторов (V,Y, ω, 1) пространство V/C ₂ (V) является алгеброй Пуассона с {a, b} = a ₀ b и a ⋅ b = a ₋₁ b . Для некоторых алгебр вершинных операторов эти алгебры Пуассона конечномерны.

Z ₂ Оценка

Алгебрам Пуассона можно присвоить Z ₂ - градуировку одним из двух различных способов. Эти два результата приводят к супералгебре Пуассона и алгебре Герстенхабера . Разница между ними заключается в классификации самого продукта. Для супералгебры Пуассона градуировка определяется выражением

$|\{a,b\}|=|a|+|b|$

тогда как в алгебре Герстенхабера скобка уменьшает градуировку на единицу:

$|\{a,b\}|=|a|+|b|-1$

В обоих этих выражениях $|a|=\deg a$ обозначает оценку элемента $a$; обычно рассчитывается, как $a$ можно разложить на четное или нечетное произведение порождающих элементов. Алгебры Герстенхабера обычно возникают при БРСТ-квантовании .

См. также

• Кронштейн Мойал
• Формула квантования Концевича

Ссылки

• Ю. Косман-Шварцбах (2001) [1994], «Алгебра Пуассона» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Бхаскара, Х.; Вишванат, К. (1988). Алгебры Пуассона и многообразия Пуассона . Лонгман. ISBN  0-582-01989-3 .