Гармонический анализ
Гармонический анализ — это раздел математики, занимающийся исследованием связей между функцией и ее представлением в виде частоты . Частотное представление находится с помощью преобразования Фурье для функций на действительной прямой или с помощью ряда Фурье для периодических функций. Обобщение этих преобразований на другие области обычно называется анализом Фурье , хотя этот термин иногда используется как синоним гармонического анализа. Гармонический анализ стал обширной темой, имеющей приложения в таких разнообразных областях, как теория чисел , теория представлений , обработка сигналов , квантовая механика , приливной анализ и нейробиология .
Термин « гармоника » произошел от древнегреческого слова «гармоникос» , что означает «искусный в музыке». [1] В физических задачах на собственные значения под ним стали обозначать волны, частоты которых являются целыми кратными друг другу, как и частоты гармоник музыкальных нот . Тем не менее, этот термин получил обобщение, выходящее за рамки его первоначального значения.
анализ Классический гармонический
Исторически гармонические функции были решениями уравнения Лапласа: [2] эта концепция была распространена сначала на специальные функции , [3] затем к общим эллиптическим операторам [4] и в настоящее время гармонические функции рассматриваются как обобщение периодических функций. [5] на функциональных пространствах, определенных на многообразии , например, как решения общих, не обязательно эллиптических , уравнений в частных производных , включая некоторые граничные условия , которые могут определять их симметрию или периодичность. [6]
Фурье Анализ
Классическое преобразование Фурье на R н все еще является областью продолжающихся исследований, особенно в отношении преобразования Фурье для более общих объектов, таких как умеренные распределения . Например, если мы налагаем некоторые требования на распределение f , мы можем попытаться перевести эти требования в преобразование Фурье f . Теорема Пэли – Винера является примером. Из теоремы Пэли–Винера сразу следует, что если f — ненулевое распределение с компактным носителем (к ним относятся функции с компактным носителем), то его преобразование Фурье никогда не имеет компактного носителя (т. е. если сигнал ограничен в одной области, он неограничен в другой). Это элементарная форма принципа неопределенности в условиях гармонического анализа.
Ряды Фурье удобно изучать в контексте гильбертовых пространств , что обеспечивает связь между гармоническим анализом и функциональным анализом . Существует четыре версии преобразования Фурье, в зависимости от пространств, отображаемых преобразованием:
- дискретный/периодический – дискретный/периодический: дискретное преобразование Фурье ,
- непрерывный/периодический-дискретный/апериодический: ряд Фурье ,
- дискретный/апериодический – непрерывный/периодический: преобразование Фурье с дискретным временем ,
- непрерывный/апериодический – непрерывный/апериодический: преобразование Фурье .
гармонический Абстрактный анализ
Абстрактный гармонический анализ в первую очередь касается того, насколько реальна иликомплексные функции (часто в очень общих областях) можно изучать с использованием таких симметрий, каккак сдвиги или вращения (например, посредством преобразования Фурье и его родственников); это поле имеетКурс связан с гармоническим анализом реальных переменных, но, возможно, по духу ближе к теории представлений и функциональному анализу . [7]
Одной из наиболее современных отраслей гармонического анализа, берущей свое начало в середине 20 века, является анализ на топологических группах . Основными мотивирующими идеями являются различные преобразования Фурье , которые можно обобщить до преобразования функций, определенных на хаусдорфовых локально компактных топологических группах . [8]
Один из важнейших результатов теории функций на абелевых локально компактных группах называется двойственностью Понтрягина . Гармонический анализ изучает свойства этой двойственности. Различные обобщения преобразований Фурье пытаются распространить эти функции на разные ситуации, например, сначала на случай общих абелевых топологических групп , а затем на случай неабелевых групп Ли . [9]
Гармонический анализ тесно связан с теорией унитарных групповых представлений общих неабелевых локально компактных групп. Для компактных групп теорема Питера – Вейля объясняет, как можно получить гармоники, выбрав одно неприводимое представление из каждого класса эквивалентности представлений. [10] Этот выбор гармоник обладает некоторыми ценными свойствами классического преобразования Фурье с точки зрения переноса сверток в точечные произведения или иного проявления определенного понимания базовой структуры группы . См. также: Некоммутативный гармонический анализ .
Если группа не является ни абелевой, ни компактной, то в настоящее время не известна общая удовлетворительная теория («удовлетворительная» означает, по крайней мере, такую же сильную, как теорема Планшереля ). Однако было проанализировано множество конкретных случаев, например SL n . В этом случае представления в бесконечных измерениях решающую роль играют .
гармонический Прикладной анализ
Многие применения гармонического анализа в науке и технике начинаются с идеи или гипотезы о том, что явление или сигнал состоит из суммы отдельных колебательных компонентов. Океанские приливы и вибрирующие струны — распространенные и простые примеры. Теоретический подход часто пытается описать систему дифференциальным уравнением или системой уравнений, чтобы предсказать основные характеристики, включая амплитуду, частоту и фазы колебательных составляющих. Конкретные уравнения зависят от области, но теории обычно стараются выбирать уравнения, которые отражают важные применимые принципы.
Экспериментальный подход обычно заключается в получении данных , которые точно количественно определяют явление. Например, при изучении приливов и приливов экспериментатор должен получать образцы глубины воды в зависимости от времени через достаточно близкие интервалы, чтобы увидеть каждое колебание, и в течение достаточно большой продолжительности, чтобы, вероятно, было включено несколько периодов колебаний. При исследовании вибрирующих струн экспериментатор обычно получает звуковую волну, дискретизированную со скоростью, по крайней мере, в два раза превышающей ожидаемую самую высокую частоту, и с продолжительностью, во много раз превышающей период ожидаемой самой низкой частоты.
Например, верхний сигнал справа представляет собой звуковую волну бас-гитары, играющей на открытой струне, соответствующую ноте ля с основной частотой 55 Гц. Форма волны выглядит колебательной, но она более сложна, чем простая синусоидальная волна, что указывает на наличие дополнительных волн. Различные волновые компоненты, влияющие на звук, можно обнаружить, применив метод математического анализа, известный как преобразование Фурье , показанный на нижнем рисунке. Имеется заметный пик на частоте 55 Гц, но есть и другие пики на частотах 110 Гц, 165 Гц и на других частотах, соответствующих целым числам, кратным 55 Гц. В этом случае 55 Гц идентифицируется как основная частота вибрации струны, а целочисленные кратные частоты известны как гармоники .
Другие филиалы [ править ]
- Исследование собственных значений и собственных векторов лапласиана , на областях и ( в многообразиях меньшей степени) графах также считается отраслью гармонического анализа. См., например, слух о форме барабана . [12]
- Гармонический анализ в евклидовых пространствах занимается свойствами преобразования Фурье на R. н не имеющие аналога в общих группах. Например, тот факт, что преобразование Фурье инвариантно относительно вращения. Разложение преобразования Фурье на радиальную и сферическую составляющие приводит к таким темам, как функции Бесселя и сферические гармоники .
- Гармонический анализ в трубчатых областях занимается обобщением свойств пространств Харди на более высокие измерения.
- Автоморфные формы — это обобщенные гармонические функции относительно группы симметрии. Они являются старой и в то же время активной областью развития гармонического анализа из-за их связи с программой Ленглендса .
- Нелинейный гармонический анализ — это использование инструментов и методов гармонического и функционального анализа для изучения нелинейных систем . Сюда входят как задачи с бесконечными степенями свободы , так и нелинейные операторы и уравнения . [13]
Основные результаты
![[икона]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Wiki_letter_w_cropped.svg/20px-Wiki_letter_w_cropped.svg.png){kind=small} | Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( май 2024 г. ) |
См. также [ править ]
- Сходимость ряда Фурье
- Анализ Фурье для вычисления периодичности в равномерно распределенных данных
- Гармоника (математика)
- Спектральный анализ методом наименьших квадратов для вычисления периодичности в неравномерно расположенных данных
- Оценка спектральной плотности
- диссертация Тейта
Ссылки [ править ]
- ^ "Гармония" . Интернет-словарь этимологии .
- ^ https://www.math.ru.nl/~burtscher/lecturenotes/2021PDEnotes.pdf
- ^ Н. Виленкин (1968). Специальные функции и теория представления групп .
- ^
- ^ «Гармонический анализ | Математика, ряды Фурье и формы сигналов | Британника» .
- ^ https://www.math.ucla.edu/~tao/247a.1.06f/notes0.pdf
- ^ https://www.math.ucla.edu/~tao/247a.1.06f/notes0.pdf
- ^ Ален Робер. Введение в теорию представлений компактных и локально компактных групп .
- ^ Джеральд Б. Фолланд. Курс абстрактного гармонического анализа .
- ^ Ален Робер. Введение в теорию представлений компактных и локально компактных групп .
- ^ Рассчитано с помощью https://sourceforge.net/projects/amoreaccuratefouriertransform/ .
- ^ Террас, Одри (2013). Гармонический анализ симметричных пространств - евклидово пространство, сфера и верхняя полуплоскость Пуанкаре (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. п. 37. ИСБН 978-1461479710 . Проверено 12 декабря 2017 г.
- ^ Койфман, Р.Р.; Мейер, Ив (1987). «Нелинейный гармонический анализ, теория операторов и PDE» . Пекинские лекции по гармоническому анализу. (АМ-112) . стр. 1–46. дои : 10.1515/9781400882090-002 . ISBN 978-1-4008-8209-0 .
Библиография [ править ]
- Элиас Штайн и Гвидо Вайс , Введение в анализ Фурье евклидовых пространств , Princeton University Press , 1971. ISBN 0-691-08078-X
- Элиас Стейн с Тимоти С. Мерфи, Гармонический анализ: методы действительных переменных, ортогональность и осциллирующие интегралы , Princeton University Press, 1993.
- Элиас Стейн , Темы гармонического анализа, связанные с теорией Литтлвуда-Пэли , Princeton University Press, 1970.
- Ицхак Кацнельсон , Введение в гармонический анализ , Третье издание. Издательство Кембриджского университета, 2004. ISBN 0-521-83829-0 ; 0-521-54359-2
- Теренс Тао , Преобразование Фурье . (Вводит разложение функций на нечетные + четные части как гармоническое разложение по .)
- Юрий Иванович Любич. Введение в теорию банаховых представлений групп . Перевод русскоязычного издания 1985 года (Харьков, Украина). Биркхойзер Верлаг. 1988.
- Джордж В. Макки , Гармонический анализ как использование симметрии – исторический обзор , Bull. амер. Математика. Соц. 3 (1980), 543–698.
- М. Бухоса, А. Бухоса и А. Гарсия-Феррер. Математическая основа псевдоспектров линейных стохастических разностных уравнений , Транзакции IEEE по обработке сигналов, том. 63 (2015), 6498–6509.
Внешние ссылки [ править ]
