Кватернионный анализ

В математике кватернионный анализ — это исследование функций с кватернионами в качестве области определения и/или диапазона. Такие функции можно назвать функциями переменной кватерниона так же, как функции действительной переменной или комплексной переменной называются .

Как и в случае сложного и реального анализа , можно изучать понятия аналитичности , голоморфности , гармоничности и конформности в контексте кватернионов. В отличие от комплексных чисел и действительных чисел , четыре понятия не совпадают.

Свойства

Проекции являются примерами, которые являются основными кватерниона на его скалярную часть или на его векторную часть, а также функции модуля и версора для понимания структуры кватерниона.

Важным примером функции переменной кватерниона является

$f_{1}(q)=uqu^{-1}$

который поворачивает векторную часть q на двойной угол, представленный u .

кватернион Мультипликативный обратный $f_{2}(q)=q^{-1}$ — еще одна фундаментальная функция, но, как и в других системах счисления, $f_{2}(0)$ и связанные с этим проблемы обычно исключаются из-за особенностей деления на ноль .

Аффинные преобразования кватернионов имеют вид

$f_{3}(q)=aq+b,\quad a,b,q\in \mathbb {H} .$

Дробно-линейные преобразования кватернионов могут быть представлены элементами матричного кольца $M_{2}(\mathbb {H} )$ действующий на проективной прямой над $\mathbb {H}$. Например, отображения $q\mapsto uqv,$ где $u$ и $v$ фиксированные версоры служат для создания движений эллиптического пространства .

Теория кватернионных переменных в некоторых отношениях отличается от теории комплексных переменных. Например: Комплексно-сопряженное отображение комплексной плоскости является центральным инструментом, но требует введения неарифметической, неаналитической операции. Действительно, сопряжение меняет ориентацию плоских фигур, чего не меняют арифметические функции.

В отличие от комплексного сопряжения , сопряжение кватернионов можно выразить арифметически, как $f_{4}(q)=-{\tfrac {1}{2}}(q+iqi+jqj+kqk)$

Это уравнение можно доказать, начиная с базиса {1, i, j, k}:

$f_{4}(1)=-{\tfrac {1}{2}}(1-1-1-1)=1,\quad f_{4}(i)=-{\tfrac {1}{2}}(i-i+i+i)=-i,\quad f_{4}(j)=-j,\quad f_{4}(k)=-k$.

Следовательно, поскольку $f_{4}$ является линейным ,

$f_{4}(q)=f_{4}(w+xi+yj+zk)=wf_{4}(1)+xf_{4}(i)+yf_{4}(j)+zf_{4}(k)=w-xi-yj-zk=q^{*}.$

Успех комплексного анализа в предоставлении богатого семейства голоморфных функций для научной работы побудил некоторых исследователей попытаться расширить плоскую теорию, основанную на комплексных числах, до исследования четырехмерного пространства с функциями кватернионной переменной. Эти усилия были обобщены в Deavours (1973) .

Хотя $\mathbb {H}$ появляется как объединение комплексных плоскостей , следующее предложение показывает, что расширение сложных функций требует особой осторожности:

Позволять $f_{5}(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ быть функцией комплексной переменной, $z=x+iy$. Предположим также, что $u$ является функцией четной $y$ и это $v$ является нечетной функцией $y$. Затем $f_{5}(q)=u(x,y)+rv(x,y)$ является продолжением $f_{5}$ к переменной кватерниона $q=x+yr$ где $r^{2}=-1$ и $r\in \mathbb {H}$.Тогда пусть $r^{*}$ представляют собой сопряженное $r$, так что $q=x-yr^{*}$. Расширение для $\mathbb {H}$ будет полным, когда будет показано, что $f_{5}(q)=f_{5}(x-yr^{*})$. Действительно, по гипотезе

$u(x,y)=u(x,-y),\quad v(x,y)=-v(x,-y)\quad$ получается

$f_{5}(x-yr^{*})=u(x,-y)+r^{*}v(x,-y)=u(x,y)+rv(x,y)=f_{5}(q).$

Гомографии

Далее двоеточия и квадратные скобки используются для обозначения однородных векторов .

Вращение вокруг оси r — это классическое применение кватернионов к отображению пространства . В терминах гомографии вращение выражается

$[q:1]{\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}=[qu:u]\thicksim [u^{-1}qu:1],$

где $u=\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta$ это версор . Если p * = − p , то перевод $q\mapsto q+p$ выражается

$[q:1]{\begin{pmatrix}1&0\\p&1\end{pmatrix}}=[q+p:1].$

Вращение и перемещение xr вдоль оси вращения определяется выражением

$[q:1]{\begin{pmatrix}u&0\\uxr&u\end{pmatrix}}=[qu+uxr:u]\thicksim [u^{-1}qu+xr:1].$

Такое отображение называется винтовым смещением . В классической кинематике утверждает , теорема Шалеса что любое движение твердого тела может быть отображено как винтовое смещение. Точно так же, как представление изометрии евклидовой плоскости в виде вращения является вопросом арифметики комплексных чисел, так и теорема Шасла и требуемая винтовая ось являются вопросом кватернионной арифметики с гомографиями: пусть s будет правым версором или квадратным корнем. минус один, перпендикулярно r , с t = rs .

Рассмотрим ось, проходящую через s и параллельную r . Вращение вокруг него выражено по составу гомографии

${\begin{pmatrix}1&0\\-s&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\s&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u&0\\z&u\end{pmatrix}},$

где $z=us-su=\sin \theta (rs-sr)=2t\sin \theta .$

Теперь в плоскости ( s,t ) параметр θ очерчивает окружность $u^{-1}z=u^{-1}(2t\sin \theta )=2\sin \theta (t\cos \theta -s\sin \theta )$ в полуплоскости $\lbrace wt+xs:x>0\rbrace .$

Любой p в этой полуплоскости лежит на луче из начала координат, проходящем через окружность. $\lbrace u^{-1}z:0<\theta <\pi \rbrace$ и можно написать $p=au^{-1}z,\ \ a>0.$

Тогда up = az , при этом ${\begin{pmatrix}u&0\\az&u\end{pmatrix}}$ как гомография, выражающая сопряжение вращения трансляцией с.

Производная для кватернионов

Со времен Гамильтона стало понятно, что требование независимости производной от пути, по которому дифференциал движется к нулю, является слишком ограничительным: оно исключает даже $f(q)=q^{2}$ от дифференциации. Следовательно, для функций кватернионной переменной необходима производная, зависящая от направления. Рассмотрение приращения полиномиальной функции кватернионного аргумента показывает, что приращение представляет собой линейную карту приращения аргумента. Исходя из этого, можно дать определение:

Непрерывная карта $f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$называется дифференцируемым на множестве $U\subset \mathbb {H}$, если в каждой точке $x\in U$, приращение карты $f$ может быть представлено как

$f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)$

где

${\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$

является линейным отображением алгебры кватернионов $\mathbb {H}$ и $o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$является непрерывным отображением таким, что

$\lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0$

Линейная карта ${\frac {df(x)}{dx}}$называется производной отображения $f$.

На кватернионах производная может быть выражена как

${\frac {df(x)}{dx}}=\sum _{s}{\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}$

Следовательно, дифференциал отображения $f$ можно выразить следующим образом, используя скобки по обе стороны.

${\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left(\sum _{s}{\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}\right)\circ dx=\sum _{s}{\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}$

Количество членов в сумме будет зависеть от функции f . Выражения ${\frac {d_{sp}df(x)}{dx}},p=0,1$ называютсякомпоненты производной.

Производная кватернионной функции имеет следующие равенства

${\frac {df(x)}{dx}}\circ h=\lim _{t\to 0}(t^{-1}(f(x+th)-f(x)))$

${\frac {d(f(x)+g(x))}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}+{\frac {dg(x)}{dx}}$

${\frac {df(x)g(x)}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}\ g(x)+f(x)\ {\frac {dg(x)}{dx}}$

${\frac {df(x)g(x)}{dx}}\circ h=\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)\ g(x)+f(x)\left({\frac {dg(x)}{dx}}\circ h\right)$

${\frac {daf(x)b}{dx}}=a\ {\frac {df(x)}{dx}}\ b$

${\frac {daf(x)b}{dx}}\circ h=a\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)b$

Для функции f ( x ) = axb производная равна

${\frac {daxb}{dx}}=a\otimes b$

$dy={\frac {daxb}{dx}}\circ dx=a\,dx\,b$

и поэтому компоненты:

${\frac {d_{10}axb}{dx}}=a$

${\frac {d_{11}axb}{dx}}=b$

Аналогично для функции f ( x ) = x ² , производная

${\frac {dx^{2}}{dx}}=x\otimes 1+1\otimes x$

$dy={\frac {dx^{2}}{dx}}\circ dx=x\,dx+dx\,x$

и компоненты:

${\frac {d_{10}x^{2}}{dx}}=x$		${\frac {d_{11}x^{2}}{dx}}=1$
${\frac {d_{20}x^{2}}{dx}}=1$		${\frac {d_{21}x^{2}}{dx}}=x$

Наконец, для функции f ( x ) = x ⁻¹ , производная

${\frac {dx^{-1}}{dx}}=-x^{-1}\otimes x^{-1}$

$dy={\frac {dx^{-1}}{dx}}\circ dx=-x^{-1}dx\,x^{-1}$

и компоненты:

${\frac {d_{10}x^{-1}}{dx}}=-x^{-1}$

${\frac {d_{11}x^{-1}}{dx}}=x^{-1}$

См. также

• Преобразование Кэли
• Кватернионное многообразие

Ссылки

• Арнольд, Владимир (1995), «Геометрия сферических кривых и алгебра кватернионов», Russian Mathematical Surveys , 50 (1), перевод Портеуса, Яна Р .: 1–68, doi : 10.1070/RM1995v050n01ABEH001662 , S2CID   250897899 , Збл   0848.58005
• Кэли, Артур (1848), «О применении кватернионов к теории вращения» , Лондонский и Эдинбургский философский журнал , серия 3, 33 (221): 196–200, doi : 10.1080/14786444808645844
• Деворс, Калифорния (1973), «Кватернионное исчисление», American Mathematical Monthly , 80 (9), Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки: 995–1008, doi : 10.2307/2318774 , ISSN   0002-9890 , JSTOR   2318774 , Zbl   0282.30040
• Дю Валь, Патрик (1964), Гомографии, кватернионы и вращения , Оксфордские математические монографии, Оксфорд: Clarendon Press, MR   0169108 , Zbl   0128.15403
• Фютер, Рудольф (1936), «Об аналитическом представлении регулярных функций кватернионной переменной», Commentarii Mathematici Helvetici (на немецком языке), 8 : 371–378, doi : 10.1007/BF01199562 , S2CID   121227604 , Zbl   0014.16702
• Джентили, Грациано; Стоппато, Катерина; Струппа, Даниэле К. (2013), Регулярные функции кватернионной переменной , Берлин: Springer, doi : 10.1007/978-3-642-33871-7 , ISBN  978-3-642-33870-0 , S2CID   118710284 , Збл   1269.30001
• Гормли, П.Г. (1947), «Стереографическая проекция и дробно-линейная группа преобразований кватернионов», Труды Королевской ирландской академии, раздел A , 51 : 67–85, JSTOR   20488472
• Гюрлебек, Клаус; Шпрессиг, Вольфганг (1990), Кватернионный анализ и эллиптические краевые задачи , Базель: Биркхойзер, ISBN  978-3-7643-2382-0 , Збл   0850.35001
• Джон К. Холладей (1957), «Теорема Стоуна – Вейерштрасса для кватернионов» (PDF) , Proc. амер. Математика. Соц. , 8 :656, номер документа : 10.1090/S0002-9939-1957-0087047-7 .
• Гамильтон, Уильям Роуэн (1853), Лекции по кватернионам , Дублин: Ходжес и Смит, OL   23416635M
• Гамильтон, Уильям Роуэн (1866), Гамильтон, Уильям Эдвин (редактор), Элементы кватернионов , Лондон: Longmans, Green, & Company, Zbl   1204.01046
• Джоли, Чарльз Джаспер (1903), «Кватернионы и проективная геометрия», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 201 (331–345): 223–327, Бибкод : 1903RSPTA.201..223J , doi : 10.1098/rsta. 1903.0018 , ДФМ   34.0092.01 , ДЖСТОР   90902
• Лесан, Шарль-Анж (1881), Введение в метод кватернионов (на французском языке), Париж: Готье-Виллар, JFM   13.0524.02
• Портер, Р. Майкл (1998), «Инвариантная кватернионная геометрия Мёбиуса» (PDF) , Конформная геометрия и динамика , 2 (6): 89–196, doi : 10.1090/S1088-4173-98-00032-0 , Zbl   0910.53005
• Садбери, А. (1979), «Кватернионный анализ», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 85 (2): 199–225, Bibcode : 1979MPCPS..85..199S , doi : 10.1017/S0305004100055638 , hdl : 10338. dmlcz/101933 , S2CID   7606387 , Збл   0399.30038