Sazonov's theorem

В математике ( теорема Сазонова , названная в честь Сазонова Вячеслава Васильевича Вячеслав Васильевич Сазонов ), является теоремой функционального анализа .

Он утверждает, что ограниченный линейный оператор между двумя гильбертовыми пространствами является γ -радонифицирующим, если он является оператором Гильберта–Шмидта . Этот результат также важен при изучении случайных процессов и исчисления Маллявена , поскольку результаты, касающиеся вероятностных мер в бесконечномерных пространствах, имеют центральное значение в этих областях. Теорема Сазонова имеет и обратную сторону: если отображение не Гильберта–Шмидта, то оно не является γ -радонифицирующим.

Формулировка теоремы

Пусть G и H — два гильбертовых пространства, и пусть : G → H — ограниченный оператор из G в H. T Напомним, что T называется γ -радонифицирующим , если продвижение вперед меры множества канонических гауссовских цилиндров на G является добросовестной мерой на H . Напомним также, что T называется оператором Гильберта–Шмидта, если существует ортонормированный базис { e _i : i ∈ I } группы G такой, что

$\sum _{i\in I}\|T(e_{i})\|_{H}^{2}<+\infty .$

Тогда теорема Сазонова состоит в том, что T является γ -радонифицирующим, если он является оператором Гильберта–Шмидта.

В доказательстве используется теорема Прохорова .

Примечания

Каноническая мера множества гауссовых цилиндров в бесконечномерном гильбертовом пространстве никогда не может быть истинной мерой; эквивалентно, тождественная функция в таком пространстве не может быть γ -радонифицирующей.

См. также

• Теорема Кэмерона – Мартина - Теорема, определяющая перевод гауссовских мер (мер Винера) в гильбертовых пространствах.
• Теорема Гирсанова - Теорема об изменении случайных процессов
• Радонизирующая функция

Ссылки

• Шварц, Лоран (1973), Радоновские меры на произвольных топологических пространствах и цилиндрические меры. , Институт фундаментальных исследований в области математики Таты, Лондон: Oxford University Press, стр. xii+393, ​​MR   0426084