Логарифмически вогнутая мера

В математике борелевская мера µ в n - мерном евклидовом пространстве. $\mathbb {R} ^{n}$ называется логарифмически вогнутым (или для краткости логарифмически вогнутым ), если для любых компактных подмножеств A и B из $\mathbb {R} ^{n}$ и 0 < λ < 1, имеем

$\mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda },$

где λ   A + (1 − λ ) B обозначает сумму Минковского λ A   и ( 1 − λ ) B .

Примеры

Неравенство Брунна –Минковского утверждает, что мера Лебега логарифмически вогнута. Ограничение меры Лебега на любое выпуклое множество также является лог-вогнутым.

По теореме Борелла вероятностная мера на R^d является логарифмически вогнутой тогда и только тогда, когда она имеет плотность относительно меры Лебега на некоторой аффинной гиперплоскости, и эта плотность является логарифмически вогнутой функцией . Таким образом, любая гауссова мера логарифмически вогнута.

Неравенство Прекопы – Лейндлера показывает, что свертка логарифмически вогнутых мер является логарифмически вогнутой.

См. также

• Выпуклая мера , обобщение этого понятия.
• Логарифмически вогнутая функция