Пи-система

Эта статья о π -системе в математике. Чтобы узнать о π -системах в химии, см. пи-связь .

В математике π - система (или пи-система ) на множестве $\Omega$ это коллекция $P$ определенных подмножеств ​ $\Omega ,$ такой, что

• $P$ не пуст .
• Если $A,B\in P$ затем $A\cap B\in P.$

То есть, $P$ является непустым семейством подмножеств $\Omega$ замкнутое относительно непустых конечных пересечений . Важность π -систем возникает из-за того, что если две вероятностные меры согласуются в π -системе, то они согласуются и в 𝜎-алгебре, порожденной этой π- системой. -системы справедливы и другие свойства, например равенство интегралов, Более того, если для π то они справедливы и для порожденной 𝜎-алгебры. Это имеет место, когда совокупность подмножеств, для которых выполняется это свойство, является 𝜆-системой . π -системы также полезны для проверки независимости случайных величин.

Это желательно, поскольку на практике с π -системами работать зачастую проще, чем с 𝜎-алгебрами. Например, может быть неудобно работать с 𝜎-алгебрами, порожденными бесконечным множеством множеств. $\sigma (E_{1},E_{2},\ldots ).$ Поэтому вместо этого мы можем рассмотреть объединение всех 𝜎-алгебр, порожденных конечным числом множеств. ${\textstyle \bigcup _{n}\sigma (E_{1},\ldots ,E_{n}).}$ Это образует π -систему, порождающую искомую 𝜎-алгебру. Другой пример — совокупность всех интервалов вещественной прямой вместе с пустым множеством, представляющая собой π -систему, порождающую очень важную борелевскую 𝜎-алгебру подмножеств вещественной прямой.

Определения

π — -система это непустая совокупность множеств $P$ замкнутый относительно непустых конечных пересечений, что эквивалентно $P$ содержащее пересечение любых двух его элементов. Если каждое множество в этой π -системе является подмножеством $\Omega$ то она называется π -системой на $\Omega .$

Для любой непустой семьи $\Sigma$ подмножеств $\Omega ,$ существует π -система ${\mathcal {I}}_{\Sigma },$ называемая π -системой, порожденной ${\boldsymbol {\varSigma }}$, то есть единственная наименьшая π -система $\Omega$ содержащий каждый элемент $\Sigma .$ Оно равно пересечению всех π -систем, содержащих $\Sigma ,$ и может быть явно описан как множество всех возможных непустых конечных пересечений элементов $\Sigma :$

$$\left\{E_{1}\cap \cdots \cap E_{n}~:~1\leq n\in \mathbb {N} {\text{ and }}E_{1},\ldots ,E_{n}\in \Sigma \right\}.$$

Непустое семейство множеств обладает свойством конечного пересечения тогда и только тогда, когда порождаемая им π -система не содержит пустого множества в качестве элемента.

Примеры

• Для любых действительных чисел $a$ и $b,$ интервалы $(-\infty ,a]$ образуют π -систему, а интервалы $(a,b]$ образуют π -систему, если в нее включено и пустое множество.
• Топология ) (совокупность открытых подмножеств любого топологического пространства является π -системой.
• Каждый фильтр является π -системой. Каждая π -система, не содержащая пустого множества, является префильтром (также известным как база фильтра).
• Для любой измеримой функции $f:\Omega \to \mathbb {R} ,$ набор ${\mathcal {I}}_{f}=\left\{f^{-1}((-\infty ,x]):x\in \mathbb {R} \right\}$ определяет π -систему и называется π -системой порожденной , $f.$ (В качестве альтернативы $\left\{f^{-1}((a,b]):a,b\in \mathbb {R} ,a<b\right\}\cup \{\varnothing \}$ определяет π -систему, порожденную $f.$)
• Если $P_{1}$ и $P_{2}$ являются π -системами для $\Omega _{1}$ и $\Omega _{2},$ соответственно, тогда $\{A_{1}\times A_{2}:A_{1}\in P_{1},A_{2}\in P_{2}\}$ является π -системой для декартова произведения $\Omega _{1}\times \Omega _{2}.$
• Каждая 𝜎-алгебра является π -системой.

Связь с 𝜆-системами

𝜆 -система на $\Omega$ это набор $D$ подмножеств $\Omega ,$ удовлетворяющий

• $\Omega \in D,$
• если $A\in D$ затем $\Omega \setminus A\in D,$
• если $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ представляет собой последовательность (попарно) непересекающихся подмножеств в $D$ затем $\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.$

Хотя верно, что любая 𝜎-алгебра одновременно является π -системой и 𝜆-системой, неверно, что любая π -система является 𝜆-системой, и, более того, неверно, что любая π -система является 𝜆-системой . система является 𝜎-алгеброй. Однако полезная классификация состоит в том, что любая система множеств, которая является одновременно 𝜆-системой и π -системой, является 𝜎-алгеброй. Это используется как шаг в доказательстве теоремы π -𝜆.

Теорема π -𝜆

См. Также: Система Дынкина § Теорема Серпинского – Дынкина о π-λ.

Позволять $D$ — 𝜆-система, и пусть ${\mathcal {I}}\subseteq D$ — π -система, содержащаяся в $D.$ Теорема π -𝜆 утверждает, что 𝜎-алгебра $\sigma ({\mathcal {I}})$ созданный ${\mathcal {I}}$ содержится в $D~:~$ $\sigma ({\mathcal {I}})\subseteq D.$

Теорему π -𝜆 можно использовать для доказательства многих результатов теории элементарной меры . Например, он используется при доказательстве утверждения единственности теоремы Каратеодори о продолжении для 𝜎-конечных мер.

Теорема π -𝜆 тесно связана с теоремой о монотонных классах , которая обеспечивает аналогичную связь между монотонными классами и алгебрами и может использоваться для получения многих из тех же результатов. Поскольку π -системы являются более простыми классами, чем алгебры, идентифицировать множества, входящие в них, может быть проще, в то время как, с другой стороны, проверить, определяет ли рассматриваемое свойство 𝜆-систему, часто относительно легко. Несмотря на разницу между двумя теоремами, теорему π -𝜆 иногда называют теоремой о монотонном классе.

Пример

Позволять $\mu _{1},\mu _{2}:F\to \mathbb {R}$ — две меры на 𝜎-алгебре $F,$ и предположим, что $F=\sigma (I)$ порождается π -системой $I.$ Если

1. $\mu _{1}(A)=\mu _{2}(A)$ для всех $A\in I,$ и
2. $\mu _{1}(\Omega )=\mu _{2}(\Omega )<\infty ,$

затем $\mu _{1}=\mu _{2}.$Это утверждение о единственности теоремы Каратеодори о продолжении для конечных мер. Если этот результат не кажется вам слишком примечательным, учтите тот факт, что обычно очень сложно или даже невозможно полностью описать каждое множество в 𝜎-алгебре, и поэтому без такого инструмента задача приравнивания мер была бы совершенно безнадежной.

Идея доказательства Определить коллекцию наборов

$$D=\left\{A\in \sigma (I)\colon \mu _{1}(A)=\mu _{2}(A)\right\}.$$

По первому предположению, $\mu _{1}$ и $\mu _{2}$ согласиться на $I$ и таким образом $I\subseteq D.$ По второму предположению, $\Omega \in D,$ и далее можно показать, что $D$ является 𝜆-системой. следует , что Из теоремы π -𝜆 $\sigma (I)\subseteq D\subseteq \sigma (I),$ и так $D=\sigma (I).$ То есть меры согласуются $\sigma (I).$

π -Вероятностные системы

π -системы чаще используются при изучении теории вероятностей, чем в общей области теории меры. Это связано прежде всего с вероятностными понятиями, такими как независимость , хотя это также может быть следствием того факта, что теорема π -𝜆 была доказана вероятностным специалистом Евгением Дынкиным . Стандартные тексты по теории меры обычно доказывают те же результаты с помощью монотонных классов , а не π -систем.

Равенство в распределении

Теорема π -𝜆 мотивирует общее определение распределения вероятностей . случайной величины $X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R}$ с точки зрения его кумулятивной функции распределения . Напомним, что кумулятивное распределение случайной величины определяется как

$$F_{X}(a)=\operatorname {P} [X\leq a],\qquad a\in \mathbb {R} ,$$

тогда как, казалось бы, более общий закон переменной - это вероятностная мера

$${\mathcal {L}}_{X}(B)=\operatorname {P} \left[X^{-1}(B)\right]\quad {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),$$

где ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ есть борелевская 𝜎-алгебра. Случайные величины $X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R}$ и $Y:({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {\operatorname {P} }})\to \mathbb {R}$ (на двух возможно разных вероятностных пространствах ) равны по распределению (или закону ), обозначаемому $X\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,Y,$ если они имеют одинаковые кумулятивные функции распределения; то есть, если $F_{X}=F_{Y}.$ Мотивация определения проистекает из наблюдения, что если $F_{X}=F_{Y},$ тогда это именно так сказать ${\mathcal {L}}_{X}$ и ${\mathcal {L}}_{Y}$ согласен насчет π -системы $\{(-\infty ,a]:a\in \mathbb {R} \}$ который генерирует ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),$ и так по примеру выше : ${\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{Y}.$

Аналогичный результат справедлив и для совместного распределения случайного вектора. Например, предположим $X$ и $Y$ две случайные величины, определенные в одном вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),$ с соответственно порожденными π -системами ${\mathcal {I}}_{X}$ и ${\mathcal {I}}_{Y}.$ Совместная кумулятивная функция распределения $(X,Y)$ является

$$F_{X,Y}(a,b)=\operatorname {P} [X\leq a,Y\leq b]=\operatorname {P} \left[X^{-1}((-\infty ,a])\cap Y^{-1}((-\infty ,b])\right],\quad {\text{ for all }}a,b\in \mathbb {R} .$$

Однако, $A=X^{-1}((-\infty ,a])\in {\mathcal {I}}_{X}$ и $B=Y^{-1}((-\infty ,b])\in {\mathcal {I}}_{Y}.$ Потому что

$${\mathcal {I}}_{X,Y}=\left\{A\cap B:A\in {\mathcal {I}}_{X},{\text{ and }}B\in {\mathcal {I}}_{Y}\right\}$$

является π -системой, порожденной случайной парой $(X,Y),$ Теорема π -𝜆 используется, чтобы показать, что совместная кумулятивная функция распределения достаточна для определения совместного закона $(X,Y).$ Другими словами, $(X,Y)$ и $(W,Z)$ имеют одинаковое распределение тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую совместную кумулятивную функцию распределения.

В теории случайных процессов два процесса $(X_{t})_{t\in T},(Y_{t})_{t\in T}$ известно, что они равны по распределению тогда и только тогда, когда они согласуются по всем конечномерным распределениям; то есть для всех $t_{1},\ldots ,t_{n}\in T,\,n\in \mathbb {N} ,$

$$\left(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}\right)\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,\left(Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}\right).$$

Доказательством этого является еще одно применение теоремы π -𝜆.

Независимые случайные величины

Теория π -системы играет важную роль в вероятностном понятии независимости . Если $X$ и $Y$ две случайные величины, определенные в одном вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )$ то случайные величины независимы тогда и только тогда, когда их π -системы ${\mathcal {I}}_{X},{\mathcal {I}}_{Y}$ удовлетворить всех $A\in {\mathcal {I}}_{X}$ и $B\in {\mathcal {I}}_{Y},$

$$\operatorname {P} [A\cap B]~=~\operatorname {P} [A]\operatorname {P} [B],$$

то есть ${\mathcal {I}}_{X},{\mathcal {I}}_{Y}$ независимы. Фактически это частный случай использования π -систем для определения распределения $(X,Y).$

Пример

Позволять $Z=\left(Z_{1},Z_{2}\right),$ где $Z_{1},Z_{2}\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ являются iid стандартными нормальными случайными величинами. Определите переменные радиуса и аргумента (arctan).

$$R={\sqrt {Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}}},\qquad \Theta =\tan ^{-1}\left(Z_{2}/Z_{1}\right).$$

Затем $R$ и $\Theta$ являются независимыми случайными величинами.

Чтобы доказать это, достаточно показать, что π -системы ${\mathcal {I}}_{R},{\mathcal {I}}_{\Theta }$ независимы: то есть для всех $\rho \in [0,\infty )$ и $\theta \in [0,2\pi ],$

$$\operatorname {P} [R\leq \rho ,\Theta \leq \theta ]=\operatorname {P} [R\leq \rho ]\operatorname {P} [\Theta \leq \theta ].$$

Подтверждением того, что это так, является упражнение по изменению переменных. Исправить $\rho \in [0,\infty )$ и $\theta \in [0,2\pi ],$ тогда вероятность можно выразить как интеграл от функции плотности вероятности $Z.$

$${\begin{aligned}\operatorname {P} [R\leq \rho ,\Theta \leq \theta ]&=\int _{R\leq \rho ,\,\Theta \leq \theta }{\frac {1}{2\pi }}\exp \left({-{\frac {1}{2}}(z_{1}^{2}+z_{2}^{2})}\right)dz_{1}\,dz_{2}\\[5pt]&=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{\rho }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\;r\,dr\,d{\tilde {\theta }}\\[5pt]&=\left(\int _{0}^{\theta }{\frac {1}{2\pi }}\,d{\tilde {\theta }}\right)\;\left(\int _{0}^{\rho }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\;r\,dr\right)\\[5pt]&=\operatorname {P} [\Theta \leq \theta ]\operatorname {P} [R\leq \rho ].\end{aligned}}$$

См. также

showСемьи ${\mathcal {F}}$ сетов закончилось $\Omega$
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	Directed by $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
π-system
Semiring										Never
Semialgebra (Semifield)										Never
Monotone class						only if $A_{i}\searrow$	only if $A_{i}\nearrow$
𝜆-system (Dynkin System)				only if $A\subseteq B$			only if $A_{i}\nearrow$ or they are disjoint			Never
Ring (Order theory)
Ring (Measure theory)										Never
δ-Ring										Never
𝜎-Ring										Never
Algebra (Field)										Never
𝜎-Algebra (𝜎-Field)										Never
Dual ideal
Filter				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Prefilter (Filter base)				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Filter subbase				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Open Topology							(even arbitrary $\cup$)			Never
Closed Topology						(even arbitrary $\cap$)				Never
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	directed downward	finite intersections	finite unions	relative complements	complements in $\Omega$	countable intersections	countable unions	contains $\Omega$	contains $\varnothing$	Finite Intersection Property
Additionally, a semiring is a π-system where every complement $B\setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ A semialgebra is a semiring where every complement $\Omega \setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ are arbitrary elements of ${\mathcal {F}}$ and it is assumed that ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$

• δ -кольцо - Кольцо, замкнутое относительно счетных пересечений.
• Поле множеств - алгебраическое понятие в теории меры, также называемое алгеброй множеств.
• Идеал (теория множеств) - непустое семейство множеств, замкнутое относительно конечных объединений и подмножеств.
• Независимость (теория вероятностей) – когда возникновение одного события не влияет на вероятность другого.
• 𝜆-система (система Дынкина) - семейство, замкнутое относительно дополнений и счетных непересекающихся объединений.
• Теорема о монотонном классе
• Распределение вероятностей - математическая функция вероятности возникновения данного результата в эксперименте.
• Кольцо множеств - Семья, замкнутая союзами и относительными дополнениями.
• σ-алгебра - алгебраическая структура алгебры множеств.
• 𝜎-идеал - семейство, замкнутое относительно подмножеств и счетных объединений.
• 𝜎-кольцо – кольцо, замкнутое счетными объединениями.

Ссылки

• Гут, Аллан (2005). Вероятность: аспирантура . Тексты Спрингера в статистике. Нью-Йорк: Спрингер. дои : 10.1007/b138932 . ISBN  0-387-22833-0 .
• Уильямс, Дэвид (1991). Вероятность с Мартингалами . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-40605-6 .
• Дарретт, Ричард (2019). Вероятность: теория и примеры (PDF) . Кембриджская серия по статистической и вероятностной математике. Том. 49 (5-е изд.). Кембридж, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-1-108-47368-2 . OCLC   1100115281 . Проверено 5 ноября 2020 г.